La Retta in R2: equazioni e risoluzione di esercizi, Università eCampus

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS

Facoltà di Economia

Corso di Laurea: ECONOMIA E COMMERCIO Insegnamento: METODI MATEMATICI Lezione nº: 9 Titolo: LA RETTA IN RXR Attività nº: 1

La Retta in R2

Si è detto che ad ogni equazione nelle due variabili x e y corrisponde una retta o curva nel piano cartesiano. Esaminiamo il caso più semplice: Quello dell'equazione di due variabili legate fra loro da una relazione lineare, cioè di primo grado del tipo ax+by +c=0 in forma implicita oppure y = mx + p in forma esplicita

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Da forma implicita a forma esplicita

Riconduzione delle forme della retta

Teniamo sempre ben presenti le due forme in cui la retta può essere scritta. Una forma si riconduce all'altra con semplici passaggi tra i due membri dell'equazione, dai quali s deduce che:

• a m = b
• C p = b

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Casi di a e b

Caso con a ≠ 0, b ≠ 0

A secondo di a e b si possono distinguere vari casi :

• caso con a 0 , b#0 ax + by + c = 0 -c/b -cza 0 H .Si noti come dai coefficienti della x e della y si possano già dedurre le intersezioni sugli assi

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Caso con a = 0, b ≠ 0

• caso con a = 0 , b # 0 y = - c/b 0 Una equazione del tipo y = k ( Es. y= 3) e' quindi l'equazione di una retta parallela all'asse delle ascisse che interseca l'asse delle ordinate in k ( nell'esempio in 3)

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Caso con a ≠ 0, b = 0

• caso con a * 0 , b = 0 : 0 X = - c/a Una equazione del tipo x = k ( Es. x= 3) e' quindi l'equazione di una retta parallela all'asse delle ordinate che interseca l'asse delle ascisse in k ( nell'esempio in 3)

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Il coefficiente angolare m

Parametri m e p

Nel caso in cui b # 0, l'equazione della retta può essere messa in forma esplicita : y = mx + p - a - C Con m= e P = b b Il parametro m si chiama coefficiente angolare della retta ed il parametro p si chiama ordinata all'origine.

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Significato geometrico della forma esplicita

Il significato geometrico della forma esplicita di una retta è il seguente : 1 y = mx + P P > -p/m 0 x m = tg cx Il coefficiente angolare m della retta ne rappresenta la pendenza. Ovviamente la forma esplicita non rappresenta le rette del tipo x = k , ovvero le rette parallele all'asse delle y .

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Relazione tra coefficiente angolare e angolo

Il coefficiente angolare m è in effetti uguale alla tangente trigonometrica dell'angolo a che la retta forma con l'asse delle x, commisurato in senso antiorario. Essendo questa tangente ciclicamente positiva per angoli 0<a<90° e negativa per angoli 90°<a<180° ne consegue che, rispetto all'asse delle ascisse:

• se m >0 > la retta ha inclinazione inferiore ai 90°
• se m <0 → la retta ha inclinazione superiore ai 90°

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Fascio di rette per un punto

. P[x .y.] 0 x Le infinite rette che passano per il punto 'p(x0,y0) hanno la seguente equazione a(x-x0)+b(y-y0)=0

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Retta per due punti

La retta che passa per due punti A(x1,y1) B\x2,y2) B[x2-32) A[x1 - 3] ha la seguente equazione y-y1 = x-X1 X2 -X1 0 x I casi in cui la retta è parallela ad un asse coordinato non sono ovviamente contemplati in questa equazione in quanto i denominatori si annullerebbero.

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Condizione di parallelismo

y Due rette di equazione esplicita y=mx+p y=mx+p' sono parallele quando vale la relazione : m = m' 0 x Cioè quando sono uguali i coefficienti angolari in quanto in questo case le due rette hanno la stessa pendenza. Le rette parallele all'asse delle ordinate , non rappresentabili in forma esplicita, sono ovviamente sempre parallele tra loro.

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Condizione di perpendicolarità

Due rette di equazione y=mx+p y=m'x+p 1 sono perpendicolari quando vale la relazione m. m' =- 1 0 x Le rette parallele agli assi coordinati vanno ovviamente conside- rate a parte. Esse sono rette del tipo x = k ed y = k' tra loro naturalmente perpendicolari.

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Approfondimento

Attività 2 - approfondimento

Dati due punti A e B nel piano, essi individuano (univocamente) una retta corrispondente ad una equazione di primo grado in 2 incognite Tutti e soli i punti le cui coordinate soddisfano l'equazione, cioè ne sono le soluzioni, sono tutti e soli i punti del piano appartenenti alla retta Viceversa, tutte e solo le coppie ordinate di valori x e y che sono soluzioni per l'equazione, sono tutti e soli i punti del piano che giacciono sulla retta.

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Verifica delle affermazioni

Verifichiamo in un esercizio le due affermazioni precedenti: Tracciamo nel piano cartesiano il grafico della retta: 3x-2y+1=0 Basterà determinare due punti appartenenti alla retta e, per l'unicità delle retta che passa per due punti, unendoli si avrà l'unica retta equivalente all' equazione data. 6 . B -4.5. . + +3 A +1/5. X + -6 -3 3 6 +-1.5 . -- 3 . -- 4.5 -6 .

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Determinazione del primo punto

Per determinarli si assegna un valore casuale all'incognita indipendente x ( es. x=1) e dall'equazione si deduce il corrispondente valore y. 3*1-2y+1=0 > 3 - 2y +1 = 0 > -2 y= - 4 -> y = 2 La coppia (1,2) soddisfa l'equazione cioè è tale che sostituita alle incognite davvero verifica l'uguaglianza scritta ( primo membro deve essere =0) 3*1-2*2 +1 è davvero uguale a zero del secondo membro! Si ricorda per inciso che le soluzioni di una equazione sono quei valori che rendono vera l'uguagliaglianza.

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Determinazione del secondo punto

Analogamente cerchiamo un secondo punto. Sempre per esempio x= 3 Analogamente si deduce y= 5 Quindi anche la coppia (3,5) soddisfa l'equazione ed un punto della retta cercata. Disegniamo nel grafico i due punti trovati A(1,2) e B(3,5). La retta che li congiunge e la retta cercata.

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