Definizione di limite infinito per x tendente a valore finito, Università eCampus

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS

Facoltà di Economia

R.E.
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Insegnamento:
Lezione nº:
Titolo:
Attività nº:
ECONOMIA - SC. BANCARIE ASSICURATIVE
METODI MATEMATICI
17
DEFINIZIONE LIMITE
1
E
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Limite infinito per x tendente a valore finito

10 -2
LIMITE INFINITO PER X->VALORE FINITO
Studiamo il secondo caso della tabella introduttiva:
Il caso in cui per l'incognita x che tende ad un valore finito
x0 f(x) assume un valore infinito.
Si tratta di dare significato alla espressione
lim f(x)=00
x->x0
VkER =&ER+ :
x-x <8
f(x) > k|
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TAR.E.
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ECONOMIA - SC. BANCARIE ASSICURATIVE
METODI MATEMATICI
17
DEFINIZIONE LIMITE
1
E
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che si legge:
per ogni k reale, esiste un § positivo, in generale
dipendente da k, tale che, se x dista da X meno di
8, allora f(x) > k
cioè f(x) >k se il limite va a +00
f(x) < - k se il limite va a -00
La funzione f (x) di questo esempio risulta avere
un asintoto verticale di equazione x = X0.
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DEFINIZIONE LIMITE
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E
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k
O
-8
+ d
TA
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Limite finito per x tendente a valore infinito

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DEFINIZIONE LIMITE
1
E
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10 -3
LIMITE FINITO PER X-VALORE INFINITO
Studiamo il terzo caso della tabella introduttiva:
Il caso in cui per l'incognita x che tende ad un valore
infinito f(x) assume un valore finito e.
Si tratta di dare significato alla espressione
lim_f(x)=1
x>00
VEER
+
EM : x> M => |f(x) - 1 < 8
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METODI MATEMATICI
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DEFINIZIONE LIMITE
1
E
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Che si legge:
/ è il limite di
f (x)
per x che tende a 00 , se per
ogni & > 0 esiste un M, in generale dipendente
da &, tale che, se x>M ( x ->+00) oppure se x <- M
(se x->-o) , allora
f (x)
dista da l meno di &.
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DEFINIZIONE LIMITE
1
E
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1+8
1
I
1-8
0
M
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Limite infinito per x tendente a valore infinito

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DEFINIZIONE LIMITE
1
E
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10 - 4
LIMITE INFINITO PER X-VALORE INFINITO
Studiamo ora l'ultimo caso della tabella introduttiva:
Il caso in cui per l'incognita x che tende ad un valore
infinito anche f(x) assume un valore infinito.
Si tratta di dare significato alla espressione:
lim f(x)= 00
x>00
VKER EM: x > M >
f( x ) >k
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DEFINIZIONE LIMITE
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E
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che si legge:
per ogni k reale, esiste un M, in generale
dipendente da k, tale che, se x è maggiore di
|M | ( cioè maggiore di M o minore di -M)allora
f (x)
è maggiore di | k | ( cioè maggiore di k o
minore di -k)
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DEFINIZIONE LIMITE
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₭
M
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Infiniti e infinitesimi

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METODI MATEMATICI
17
DEFINIZIONE LIMITE
1
E
Facoltà di Economia
10 - 5
INFINITI ED INFINITESIMI
Sia X un punto di accumulazione per il dominio di
f (x), e non importa se Xo sia finito o infinito:

• se lim f (x) = oo, si dice che f (x) è un infinito
  x->x0
  per x -> X0;
• se
  lim f (x)
  =0, si dice che
  f (x)
  è un
  x->xo
  infinitesimo per x -> X0 .
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METODI MATEMATICI
17
DEFINIZIONE LIMITE
1
E
Facoltà di Economia
Dire che f (x) è un infinito, oppure un infinitesimo
non significa nulla, se non si aggiunge l'espressione
per x > X0.
Ad esempio la funzione
f(x) = "
che abbiamo
precedentemente esaminato, è un infinitesimo per
x >-co ed un infinito per x > +00.
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Approfondimenti sui limiti

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METODI MATEMATICI
17/S1
Approfondimento
1
E
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Attività 2 - Approfondimenti
Date le 4 basilari definizioni di limite, si possono
ricavare tutte le definizioni legate ai casi particolari.
Vediamo ad esempio come si possono definire i
limiti agli estremi del campo di esistenza per la
funzione ( dominio e codominio tutto R)
y =- x3
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METODI MATEMATICI
17/S1
Approfondimento
1
E
Facoltà di Economia
Senza scendere nel dettaglio del calcolo dei limiti, in
questo caso intuitivamente riusciamo già a dire che,
partendo da -co , cioè per x >-co, la funzione
assumerà valori sempre più grandi negativi ma,
essendoci davanti un segno meno, in definitiva
assumerà valori sempre più grandi positivi.
Si riassume formalmente come segue:
lim f (x) = +00
x100
ed analogamente
lim f(x) =- 00
x->+00
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Informazioni per la stesura dei grafici

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17/S1
Approfondimento
1
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Per cominciare ad avvicinarci alla stesura dei grafici
delle funzioni riassumiamo le informazioni finora
conosciute:

• Domino:
  tutto R
  (-00,+00)
• Intersezione con gli assi:
  Per x=0 (asse delle y) > y=0
  Per y=0 (asse delle x) > 0 =- x' > x= 0
  >f(x) taglierà entrambi gli assi solo nell'origine.
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Studio del segno della funzione

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17/S1
Approfondimento
1
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Studio del segno
Ogni potenza dispari è positiva quando la base
è positiva e negativa quando la base è negativa.
Ma in questa funzione la potenza è preceduta
da un segno negativo (-) che inverte queste
considerazioni.
Quindi
f(x) >0 sex <0
f(x)=0 se x=0
f(x)<0 sex>0
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Studio dei limiti agli estremi del dominio

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17/S1
Approfondimento
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Studio dei limiti gli estremi del Dominio
lim f(x)=+00
X80
lim f(x) =- 00
x->+00
Non abbiamo per ora altre informazioni circa
eventuali asintoti, crescenza, descrescenza, punti di
massimo,
minimo,
flessi,
concavità ...
che
wwww
impareremo a valutare in seguito.
Ma già riassumendo i precedenti dati nel grafico
abbiamo un'idea di massima su quello che può
riservarci lo studio futuro della funzione stessa.
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Grafico della funzione

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Approfondimento
E
1
TA
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4
V 1
3
2
1
0
x
-1
-2
-3
-4
3/
-2
-1
0
1
2
3
4
-4
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