Elettrotecnica: Elementi di Elettromagnetismo e Circuiti Magnetici

Elementi di Elettromagnetismo

Università di Padova - Scuola di Ingegneria Massimo Guarnieri Elettrotecnica Elementi di Elettromagnetismo Capitolo 4: Circuiti magnetici

Cosa sono i circuiti magnetici?

Sono strutture nelle quali l'induzione magnetica è canalizzata per mezzo dell'elevata permeabilità magnetica dei materiali ferromagnetici, invece che grazie alle simmetrie con cui è distribuita la densità di corrente (esemplificate nel capitolo precedente). Per studiare i circuiti magnetici si considerano fondamentalmente gli stessi concetti esaminati nel capitolo precedente, ma da un punto di vista diverso. Si considerano (anche qui):

• campo magnetico H(P,t) - correlato alle linee
• induzione magnetica B(P,t) - correlato alle superfici
• e le correnti i(t) che li generano 2

Definizione dei circuiti magnetici

Cosa sono i circuiti magnetici?

• come la condizione div J=0 permette di definire i circuiti elettrici = percorsi chiusi per J
• così la proprietà div B=0 permette di definire i circuiti magnetici = percorsi chiusi per B
• circuiti elettrici: y /y1 fino a 1020 -> confinamento di J in zone prestabilite = canalizzazione
• circuiti magnetici: w/u fino a 105 -> confinamento di B in zone prestabilite = canalizzazione 3

Legge di Ampère e canalizzazione

Cosa sono i circuiti magnetici? Legge di Ampère applicata alla struttura schematizzata* H.t dl = Ni lc applicata lungo 1 e 2 con stessa lunghezza > mediamente H1 ~ H2 se /2>> [] (1=aria, 2=mezzo ferromagnetico) > B2 = 12H2>> B1 = p1H1 > In pratica B1 può essere trascurata* > l'induzione è canalizzata dentro al mezzo 2 * rappresenta primario + circuito magnetico di un trasformatore In realtà, essendo /2/ u]< 105, la canalizzazione è buona ma non completa, per cui un debole esiste un debole B1 fuori dal mezzo ferromagnetico

B H € 2 μ1 B2 H2 Ni i2(t) N2 i1(t) N 4

Traferro nelle macchine elettriche

I circuiti magnetici si usano in molte macchine elettriche, come i trasformatori e le macchine elettriche rotanti (motori e generatori) e in molti strumenti di misura (elettromeccanici) per ottenere B elevate e canalizzate Negli ultimi due casi i circuiti magnetici si estendono in parti che sono in moto relativo, consentito da un sottile strato d'aria: il traferro a) mezzo ferromagnetico 2 lt 1 traferro Il tubo di flusso ha la stessa portata nel ferro e nel traferro: St 2 mezzo ferromagnetico linee di B Nel traferro succede un fatto particolare 2 Pt= BfSf= BỊSt e quindi ... 5

Induzione nel traferro

Se t è piccolo il tubo di flusso di B mantiene nel traferro la stessa sezione che ha nel ferro: St ~ Se quindi l'induzione nel traferro è uguale a quella nel ferro > BI~ Bf se Lf >>po > H1= B|> BJ/ M = Hf H,>> Hf H ha sorgenti e pozzi dove entra ed esce dal traferro (ove divH/0) a) b) mezzo ferromagnetico 2 lt 1 traferro 1 1 St 2 2 mezzo ferromagnetico linee di B linee di H 6 2

Circuiti magnetici con traferro

Traferro > Nei circuiti magnetici con traferro e ulf >>p .: in prima approssimazione si può assumere Ulf = 00 > Hf=0 a) mezzo ferromagnetico 2 lt 1 traferro 1 St 2 2 mezzo ferromagnetico linee di B b) 2 linee di H 7

Legge di rifrazione del campo vettoriale

Campo vettoriale descritto da: V1 legato alle superfici, v2 legato alle linee ( v1-v2= J-E, D-E, B-H) legge costitutiva: v1 = k v2 (k=γ, ε, μ) Condizioni: · il campo interessa due mezzi A e B con proprietà diverse e kA < KB · sulla superfice di discontinuità E non vi sono sorgenti del campo a = angoli con le normali: rispettano la legge a) Σ (sezione) V1A VIB O B Β Α tana A / tan aB = KA / KB b) V2A Σ (sezione) Β Α 8

Rifrazione della luce nell'acqua

8H20 = 80 0 e vetro raggi rifratti fuoco prima rifrazione distanza focale seconda rifrazione 9

Geometria delle linee vettoriali al traferro

Traferro Geometria delle linee vettoriali al traferro: in prossimità del traferro (a = angolo con la normale) > legge di rifrazione con uf>> p. : quindi at >0 per qualsiasi of >H è sempre ortogonale alle superfici nel traferro Espansioni polari al traferro sagomate per sagomare la distribuzione di induzione al traferro tan at tand f = 0 Mf D D D D aria f f 10

Traferro ed espansione polare

× DUANGLAH SANN PADA TRE 11

Tubo di flusso in un circuito magnetico

Tratto di tubo di flusso in un circuito magnetico portata del tubo di flusso [Wb]=[Tm2]=[Vs]: Q, (t)= [ Js, B· n dS tensione magnetica [A]: V.(t)^S.H.tdl – Pt B 1 SB + H t=n B A SA per la legge di Ampère rot H = J non è conservativa ovunque Ma dentro al tubo J = 0 (le correnti sono avvolte all'esterno) > ivi rot H = 0 > dentro al tubo la tensione magnetica è localmente conservativa, ossia dipende solo dai punti estremi A e B Y AB ! S l AB H.t dl 12 UAB e

Riluttanza di un tratto di tubo di flusso

Tratto di tubo di flusso in un circuito magnetico Riluttanza di un tratto di tubo di flusso RAY AB ϕt u.m .: [A/Vs]=[H-1] B A SA se B è uniforme sulle S, normali a lAB , B=Q}/S: R =- 1 e US dl= AB AB ∫ dl US se St e u uniformi lungo lAB: R= & AB us riluttanza al traferro (sottile e privo di spanciamenti): Rt = post – Pt B UAB 1 e SB + H t=n Calcolo semplice: AB = linea vettoriale 13

Leggi dei circuiti magnetici

Legge di Ohm per i circuiti magnetici: y = Rot legge di Ohm dei circuiti magnetici estesa ad un intero tubo chiuso non ramificato la legge di Ampére: H .t dl = Ni B1 H € 2 μ1 B2 H2 Ni lc Legge di Hopkinson: Ni=R o Ni: forza magnetomotrice (f.m.m.), R .: riluttanza del tubo chiuso relazione con induttanza dell'induttore: L =- i Pc_ Not i = N2 C R. 14

Leggi di Kirchhoff per i circuiti magnetici

Leggi dei circuiti magnetici Prima legge di Kirchhoff per i circuiti magnetici da div B = 0 : (analoga a _±I=0) Seconda legge di Kirchhoff per i circuiti magnetici da rot H = J: Z-w;(t)= _ ±Ni;(t) (analoga a ±VR= >±E) Sc 92(t) 1(t) P3(t) Ni1(t)/ – + – + 14(t) Ni2(t) y2(t) + – – y3(t) + 1 Ni3(t) 15

Confronto circuiti elettrici e magnetici

Leggi dei circuiti magnetici Circuiti elettrici adin. Circuiti magnetici solenoidalità (linee chiuse) div J = 0 div B = 0 mezzi canalizzanti mat. conduttori mat. ferromagnetici portata dei tubi di flusso I Pt tensione dei tubi di flusso VR parametro dei tubi di flusso R R legge di Ohm VR=RI V = R Ọt sorgente (generatore) E Ni tubo di flusso chiudo semplice E = Rc I Ni = Rc Pt prima legge di Kirchhoff >=I= 0 ∑±Qt=0 seconda legge di Kirchhoff E+E = >=VR E=Ni = >± parametro equivalente Req Req 16

Analisi dei circuiti magnetici

Note le fmm Ni e le riluttanze R, consiste nel calcolare i flussi ot con i metodi di analisi circuitale noti si possono usare · riluttanze equivalenti Reg a serie e paralleli · partitori di flusso e di tensione magnetica • ... Riluttanza equivalente Reg vista da una f.m.m. Ni estende la legge di Hopkinson a circuiti ramificati con una f.m.m .: Ni=Root 17

Non linearità dei circuiti magnetici

Deriva dalla non linearità dei mezzi ferromagnetici u=u(B) · note le f.m.m .: per calcolare i flussi ot = v/R servono le riluttanze, del tipo R = l/us, con u = u(B) · per conoscere u serve B . ma le induzioni B= Qt/S sono note solo dopo aver calcolato i flussi ot · loop matematico > algoritmi iterativi · situazioni complesse > metodi numerici all'elaboratore 18

Caratteristica di magnetizzazione

In un circuito con una sola f.m.m. Ni È la curva che descrive il flusso ot ottenuto in un tratto di circuito (ad esempio al traferro) al variare della f.m.m. Ni · a causa della diminuzione di u e dell'aumento delle Reg dei tratti ferromagnetici al crescere di Ni e quindi di pt, la curva presenta saturazione (cresce meno che linearmente) · se Ni varia in modo ciclico, lo stesso fa ot e quindi B: a causa dell'isteresi nei tratti ferromagnetici la curva presenta isteresi A Pt Ni Pt PtM Ni NIM 19

Costruzione della caratteristica di magnetizzazione

Caratteristica di magnetizzazione Scelto un valore di induzione al traferro (4) Bt: > Pt = Best > Ptè uguale in tutti i tratti del circuito > nei tratti in ferro: B ;= Pt/Si -> μ; = μ(Β;) > R=liluiSi > NI = Rc Pt Ripetendo il calcolo per più valori di Bt si costruisce la caratteristica di magnetizzazione l I 1 N 2 2 {2 3 4 3 l3 l4 ! I I' I" 20

Circuiti magnetici con magneti permanenti

In assenza di fmm, Ni = 0, la legge di Hopkinson diviene: Rc Pt = Vc= Ni = 0 si può avere Pt#0 se R=ER=0 > richiede un tratto con Rm<0 > <0 succede ai mezzi ferromagnetici duri (fortemente isteretici) nel 2° e 4° quadrante qui essi funzionano da magneti permanenti > nel magnete Hm è opposta a B e ad H negli altri tratti. Così la tensione magnetica nel magnete Vm = Rm Pt ha segno opposto della tensione nel resto del circuito magnetico e si ottiene _ v=0 21

Flusso al traferro con magneti permanenti

Circuiti magnetici con magneti permanenti Nei tratti in ferro dolce ad alta permeabilità Assumiamo u; = ~ Ri= li/H;Si=0 > Consideriamo solo magnete e traferro Ym = Rm Pm Dm = Pt m R&D = 0 > Ym+Y =0 Pm = Pt m , Ym'= Yt n.b .: Ym = Hmlm , Dm = BmSm quanto maggiori sono B, e Hc del materiale usato per il magnete tanto maggiore è il flusso Pt=B, St prodotto al traferro P1 − + + m Ψ Ym' m Yt t m Фт m + − P2 ! t Pmt=Di* m m m' " Ψm * m * m 22 −

Energia nei circuiti magnetici

Applicando le espressioni di densità di energia di B e H ad ogni tratto di tubo di flusso: W =W_t= m B2 2 µ t= 2 2us2 Pt Sl= 2 2 R nel traferro: B2 W mt = >>W. mf = B2 2 Mf W mt = B2 2 M -Sql1 = tet 0,2R, 2 Wmt può essere prevalente sull'energia dei tratti in ferro (lo è se assumiamo ulf = ) Pressione magnetica al traferro. Da Fmal, + OWmt= 0: F = m - dw al, mt t S. = B2 2 2ust Pt Pm = lim S,->0 St Fm = B2 2 po 23

Correnti parassite

Lamina conduttrice sottile (d>>s) con induzione assile B(t) = By sen@t rotE; =- OB/ot > Ei e J=y E; in tutti i piani // ad A tubo di flusso di J : SJ-h(s/2) e l~2d E(t) > R=p~ = p SJ e 4 d hs B(t) h s A d legge di Faraday-Neumann lungo linee rosse: e(t) = - doddt = - S dB/dt su superficie S media orlata da : S=ds/2 e(t) =- do(t) =- S@ BMcos @t =- 12 E cos @t E= dt ds 2V2 WBM ------- .---- ℓ SJ --- h A s _ 2 d 24

Perdite per correnti parassite

P =- 8 p4d 32 p 2 dsh= s- @2 BM 2 32 p τ t = volume della lamina densità di potenza dissipata per correnti parassite [W/m3] P = cp P τ = 32 p w2 BUS2 H2 f2 Bus2 8 p = = k f2 B2, s2 ρ MS 2 2 s ß = coefficiente proprio del materiale 25 E R 2 = d2s2 @2B2 hs = s

Perdite complessive nel ferro

per isteresi e corrente parassite Pro= nf BM 1,6+2 + Bf2 B2 s2 22 fissati f e materiale e dimensioni del lamierino (fissati n, ß, s): fe =k BM [W/m3] dividendo per il peso specifico [kg/m3]: Pfe,p =kp BM fe,p [W/kg] kp [W/kgp/T2] = cifra di perdita del materiale in un dato spessore a f=50 Hz 26