Segnali e loro trasmissione: conversione analogico-digitale e digitale-analogica

Segnali e loro trasmissione

Roberto Cortiana 19 settembre 2022

Indice

1. Generalità sui segnali
2. Scomposizione dei segnali periodici e teorema di Fourier

   Campionamento e Teorema di Shannon

   Aliasing

3. Conversione analogico/digitale (ADC)

   Generalità sulla conversione analogico-digitale

   Convertitori analogico-digitali (ADC)

   Convertitore FLASH

   Convertitore a rampa

   Convertitore ad approssimazioni successve

4. Conversione digitale / analogica (ADC)

   Generalità sulla conversione digitale / analogica

   Convertitori digitali-analogico .

   Convertitore a resistenze pesate

   Convertitore a rete R-2R

5. Trasmissione dei segnali

Elenco delle figure

1. Segnale analogico e digitale
2. Segnale periodico
3. Segnale a valor medio nullo
4. Segnale a valore medio non nullo
5. Segnale campionato
6. Esempio di segnale quantizzato
7. Segnale digitale
8. Esempio di terza armonica .
9. esempi di armoniche
10. esempio di campionamento di un segnale continuo
11. campionamento e ricostruzione di un segnale
12. sottocampionamento del segnale e aliasing
13. conversione analogico/digitale
14. convertitore analogico/digitale .
15. Corrispondenza tra tensione e numero binario
16. Calcolo del valore in uscita dal convertitore
17. Legame IN/OUT di un DAC a 3 bit
18. ADC flash
19. Convertitore a rampa semplice
20. Convertitore ad approssimazioni successive .
21. Conversione analogico-digitale
22. Convertitore a resistori pesati
23. Convertitore a rete R-2R .

Generalità sui segnali

Definizione 1. Un segnale s(t) è una funzione matematica che rappresenta l'andamento nel tempo di una grandezza fisica. Ad esempio, una tensione sinusoidale ha espressione v(t) = 10 · sin(w . t) ed assume dei valori diversi ai diversi istanti di tempo t. I segnali si suddividono in: · Analogici o continui : sono quelli che variano con continuità sia nel tempo che nelle ampiezze. · Discreti: assumono valori solo in determinati istanti di tempo. I valori che possono assumere possono essere sia continui che discontinui (solo un determinato insieme di valori) Alcuni esempi di segnali analogici e discreti sono riportati in figura 1

s(nT) + Segnale a tempo discreto 7 nT s(t)+ Segnale a tempo continuo > t

Figura 1: Segnale analogico e digitale

Sia i segnali continui che discreti si suddividono a loro volta in: · Segnali periodici : sono quei segnali che si ripetono ad intervalli di tempo regolari. Questo intervallo di tempo è detto "periodo del segnale" ed è legato alla frequenza dalla nota relazione: f = 1/T. La figura 2 mostra un segnale periodico · Segnali aperiodici : sono quei segnali che non si ripetono ad intervalli di tempo regolari.

s(t)

t

Figura 2: Segnale periodico

I segnali periodici si suddividono a loro volta in: 3· Segnali alternati : si chiamano alternati i segnali che hanno valore medio nullo. Il valore medio in un periodo si calcola considerando l'area positiva e negativa del segnale. Valoremedio = Areapositiva - Areanegativa T (1) Se le due aree (quella positiva e quella negativa) sono uguali,il valore medio è nullo. Ad esempio, quello mostrato in figura 3 è un segnale alternato, in quanto l'area positiva è uguale all'area negativa in un periodo

s(t) + > t

Figura 3: Segnale a valor medio nullo

· Segnali non alternati : sono i segnali che non hanno valore medio nullo, e che quindi presentano una componente continua (positiva o negativa) Quello mostrato in figura 4 invece è un segnale non alternato, perché il valore medio è diverso da zero

T Vmax Vpp Vmedio Vmin

Figura 4: Segnale a valore medio non nullo

I segnali discreti si dividono a loro volta in: - Segnale campionato: E' un segnale che è continuo nelle ampiezze e discreto nel tempo. Questo significa che il segnale varia solo ad intervalli prestabiliti (che prende il nome di periodo di campionamento) Un esempio di segnale campionato è quello di figura 5 nella pagina seguente - Segnale quantizzato : E' un segnale continuo nel tempo e discreto nelle ampiezze. Tale segnale può assumere solamente un numero prestabilito di valori nelle ampiezze, come ad esempio il segnale della figura 6 nella pagina successiva - Segnale digitale: è un segnale discreto nel tempo e nelle ampiezze : può assumere solamente valori limitati nelle ampiezze e varia solo dopo un intervallo di tempo predefinito, che viene chiamato tempo di bi. Un caso particolarmente importante di segnale digitale è il segnale 4s(nT)

Segnale a tempo discreto

nT

Figura 5: Segnale campionato

s[1) 4

segnale discreto [nelle ampiezze)

0 1

Figura 6: Esempio di segnale quantizzato

binario la cui particolarità è che può assumere solo due valori delle ampiezze. Questi valori vengono generalmente identificati con "0" e "1". Un esempio di segnale digitale è riportato in figura 7:

Esempio di segnale digitale

segnale

tempo

Figura 7: Segnale digitale

Scomposizione dei segnali periodici e teorema di Fourier

Qualunque segnale periodico può essere generato sommando insieme tanti segnali sinusoidali (detti ar- moniche) aventi frequenze multiple intere della frequenza del segnale periodico (detta frequenza fonda- mentale). Il teorema di Fourier ci permette quindi di scomporre un segnale periodico in più segnali sinusoidali aventi ampiezze opportune. Le frequenze di questi segnali sono la frequenza f0 ( frequenza del segnale, o frequenza fondamentale), f2,f3,f4 ... che sono le frequenze della seconda, terza, quarta armonica e così via. In figura 8 è mostrato un esempio di scomposizione di un segnale periodico

400 300 2000 - 1000 vel one 20 40 00 100 A20 540 500 50 200 220 /40 260 200 300 300 340 -100 -300 -300 -400

Figura 8: Esempio di terza armonica

Nella figura 9 invece è evidenziato un segnale ad onda quadra, con le sue prime tre componen- ti: la fondamentale, avente la stessa frequenza dell'onda quadra, la terza e la quinta armonica, aventi rispettivamente frequenza tripla e quintupla della fondamentale.

Square wave Fundamental sine wave component 3rd harmonic 5th harmonic 1

Figura 9: esempi di armoniche

6Definizione 2. Si chiama banda di un segnale l'estensione in frequenza del segnale stesso, data dalla differenza tra la massima e la minima frequenza contenute nel segnale. In formula : B = fmax - fmin (2) Ad esempio, si consideri un segnale periodico con frequenza di 1 kHz. Se supponiamo che esso contenga le prime 20 armoniche (fino alla ventesima), la sua banda sarà: · Frequenza minima contenuta nel segnale : fmin =1kHz · Frequenza massima contenuta nel segnale: fmax = No · fo = 20 . 1kHz = 20kHz · Banda : B = fmax - fmin = 20 - 1 = 19kHz E questa sarà anche la massima frequenza contenuta nel segnale.

Campionamento e Teorema di Shannon

Il campionamento consiste nell'andare misurare il valore di un segnale analogico in istanti di tempo regolari. Il tempo T che intercorre tra una valutazione e l'altra si chiama periodo di campionamento. La frequenza di campionamento è invece il reciproco periodo di campionamento. 1 Tc (3) La figura 10 mostra il significato di campionamento:

A(t)

0 0 0

t T

Figura 10: esempio di campionamento di un segnale continuo

Il segnale analogico viene "letto" ad intervalli di tempo regolari. Il periodo di campionamento è Tc indicato nella figura sopra. I "pallini" sono i campioni del segnale. In pratica, campionare un segnale significa trasformare il segnala da analogico a discreto. I campioni verranno successivamente convertiti in un numero digitale e salvati su supporto informatico. In generale il campionamento di una grandezza ana- logica è ottimale se non comporta perdita di informazioni, ovvero se è possibile ricostruire perfettamente la grandezza analogica originaria a partire dai suoi campioni.

7campionamento (ideale) ricostruzione > 7 t T t t segnale analogico originale camp segnale analogico ricostruito (identico all'originale)

Figura 11: campionamento e ricostruzione di un segnale

Il teorema del campionamento (o teorema di Shannon) afferma che, per campionare correttamente (senza perdita di informazioni) un segnale a banda limitata, è sufficiente campionarlo con una frequenza di campionamento pari almeno al doppio della frequenza massima contenuta nel segnale del segnale. In pratica, affinchè si possa ricostruire un segnale a partire dai suoi campioni deve essere: fc ≥2.fmax (4) dove fc è la frequenza di campionamento e B è la banda del segnale. A titolo di esempio si supponga di avere un segnale periodico di frequenza pari a f0 = 500Hz, conte- nente 20 armoniche. Se si vuole campionarlo correttamente, bisogna che la frequenza di campionamento sia maggiore o uguale al doppio della frequenza massima contenuta nel segnale stesso. · Calcoliamo la massima frequenza : fmax = Narmoniche * fo = 20 . 500H z = 10KH z · Calcoliamo la frequenza di campionamento : fc ≥2.fmax =2.10000 = 20kHz · Calcoliamo anche la banda la banda del segnale : B = fmax - fmin = 10000 - 500 = 9500Hz La frequenza di campionamento deve essere quindi maggiore o uguale a 20kHz, mentre il periodo di campionamento si determina dalla formula seguente: Tc =- fc 1 20000 1 = =5.10-58 Quindi, il periodo di campionamento deve essere minore o uguale a 50ps.

Aliasing

L'aliasing in elettronica è un fenomeno per il quale due diversi segnali analogici possono risultare indistin- guibili una volta campionati. Questo succede quando non viene rispettato il teorema del campionamento, cioè quando la frequenza di campionamento del segnale risulta inferiore al doppio della banda del seg- nale. Ad esempio, si consideri la figura 12 : il segnale sinusoidale di colore blu viene campionato con una frequenza troppo bassa (i puntini che si vedono in figura); così facendo, quando si ricostruisce il segnale a partire dai campioni si ottiene il segnale rosso poichè passa esattamente peri punti campionati.Quindo, partendo dal segnale in colore blu, alla fine si ricostruisce un altro segnale che non ha nulla a che fare con quello di partenza. Il fenomeno dell'aliasing si può osservare anche nelle riprese cinematografiche di oggetti che ruotano molto velocemente, tipo le ruote delle macchine o dei carri. Un esempio lo si può vedere al seguente link 8