Ingeniería Económica: Fundamentos de interés simple y compuesto

Conceptos y Ejercicios de Ingeniería Económica

M.A.P. Eduardo F. de J. Ordiales Yurrita

Tipos de Interés

Interés Simple y Compuesto

Interés simple ( 15): es el que causa siempre sobre el capital principal Interés compuesto ( Ic ): es el que paga interés sobre interés

Interés Nominal y Real

Interés nominal): es aquel que se publicita, es decir, se ofrece principalmente por instituciones financieras. Interés real: (1): es aquel que se obtiene de restarle al interés nominal la inflación.

Interés Efectivo y Continuo

Interés efectivo ( Ief ): se utiliza principalmente cuando el periodo de capitalización es menor a un año. = [1 + in - 1 n Interes continuo ( icont): se obtiene conforme disminuye el periodo de capitalización cuando tiende mas a obtener un interes infinitesimal Lim .00 =1+1 = e' ; cont = en .1

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Conceptos Clave

Periodo de Capitalización

Periodo de capitalización: es cada cuanto (tiempo) se paga o cobra el interés. De esta manera, las tasas de interés siempre serán anuales y se pueden dar los siguientes casos:

• Pero pueden ser semestrales entonces el interés se calcularía como: Interés anual entre 2.
• También pueden ser trimestrales y el interés se calcularía como: Interés anual entre 4.
• Pueden ser mensual y entonces el interés se calcularía como : Interés anual entre 12.
• Puede ser semanal y entonces el interés se calcularía como : Interés anual entre 52.
• En otros caso pudiera ser diario y el interés se calcularía como: Interés anual entre 365.

Anatocismo

Conclusión: entre mas pequeño sea el periodo de capitalización mas tenderemos al interés continuo, lo cual se denomina ANATOSISMO y esta prohibido por la ley.

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Casos para Evaluaciones Financieras

En el desarrollo de la ingeniería económica es necesario encontrar equivalencias entre los distintos valores presentes, futuros, series uniformes de pagos (anualidades) y gradientes. Los siguientes son ejemplos gráficos de los casos que se pueden presentar:

Caso 1: Presente a Futuro

Caso 1. Dado un presente (P) encontrar su valor futuro (7) a una tasa de interés " para un periodo establecido " 1 Diagrama de Flujo I = x % F = ? 0 1 2 3 4 5 6 = n Fórmula: Fn = P (1 + i)" P

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Desarrollo de la Fórmula de Interés Compuesto

Siguiendo con el desarrollo para generalizar la fórmula de interés compuesto tenemos lo siguiente: Procedimiento para obtener la fórmula: F = P (1 + i)" Para el primer periodo F1 = P + Pi Factorizando F1 = P (1 + i)1 Para el segundo periodo F2 = P + Pi (P +Pi) Lo que nos da: F2 = P + Pi + Pi + Pi2 Factorizando F2 = P (1 + 2 Pi + i2) = F2 = P (1 + i )2 Para el tercer periodo F3 = P + Pi + Pi + Pi2 + i (P + Pi + Pi + Pi2) Factorizando F3 = P (1 +3i +3;2 + i3) = F3 = P (1 + i )3 Generalizando para n periodos se obtiene la fórmula: Fn = P (1 + i)"

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Caso 2: Futuro a Presente

Casa 2. Dado un futuro (7) encontrar su valor presente (P) a una tasa de interés " para un periodo establecido " 2 Diagrama de Flujo I = x % Fórmula: P = F n- a P = ? (1 + i)n 0 1 2 3 4 5 = n F

Caso 3: Presente a Serie Uniforme de Pagos

Caso 3. Dado un Presente (P) encontrar una serie uniforme de pagos (A) a una tasa de interés " para un periodo establecido " 3 Diagrama de Flujo i = x % A = ? Fórmula: P = A [ (1 + i)n- 1 i(1+i)n ] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 = n P

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Caso 4: Serie Uniforme de Pagos a Presente

Caso 4. Dada una serie uniforme de pagos (A) encontrar un valor presente (P) a una tasa de interés " para un periodo establecido " 3 Diagrama de Flujo i = x % A = ? Fórmula: A = P i(1 + i)n (1+i)n - 1 [ ] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 = n

Caso 5: Serie Uniforme de Pagos a Valor Futuro

Caso 5. Dado una serie uniforme de pagos (A) encontrar un valor (7) a una tasa de interés " para un periodo establecido "

Caso 6: Valor Futuro a Serie Uniforme de Pagos

Caso 6. Dado un valor (7) encontrar una serie uniforme de pagos (A) a una tasa de interés " para un periodo establecido "

M.A.P. Eduardo F. de J. Ordiales Yurrita marzo de 2021

Problemas de Equivalencia de Valores

Problema 1: Inversión en Hidroponía

Problema 1: A cambio de invertir en una empresa de hidroponía la cantidad de $10,000, se le ofrece al inversionista recibir mensualmente la cantidad de $1,250 mensuales durante un periodo de 18 meses, si el costo del dinero es de 12% anual. ¿ Usted aceptaría el trato? A Datos: B Diagrama de Flujo i = 12 % A = $1,250 P = $10,000 n = 18 meses I = 12% anual A= ? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 $10,000 C Solución: Formula A = P [ i(1 + i)n (1+i)n _- 1 ] · Ahora el interés es 12 % anual entonces el interés mensual será de 1%. · De donde se obtuvo de dividir : 12% entre 12 meses. · ¿ Para que? Porque el periodo a evaluar es 18 meses.

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Solución del Problema de Inversión

C Solución: Fórmula A = P i(1 + i)n (1+i)n - 1 ] Sustituyendo los valores en la fórmula tenemos: A = P [ 0.01(1 + 0.01)18 (1+0.01) 18 - 1 ] ] A = 10,000 0.01 (1.01) 18 .0828567 A = 10,000 [ 0.01196147 0.196147 ] A = 609.82 Conclusion: Me están ofreciendo una mensualidad de $1,250. Si mi aportación es de $10,000 en el presente y el costo del dinero es de 12% anual. ¿ Cual seria la mensualidad que representa mi inversión? La toma de decision: Si pongo a trabajar mi dinero al 12% anual recibiría $609.82 mensual, mientras que me están ofreciendo $1,250, lo que es prácticamente el doble de mi renta. Por lo tanto acepto invertir los $10,000.

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Cuadro Resumen de Fórmulas

A continuación, se presenta un cuadro resumen de las fórmulas que nos permiten encontrar equivalencia entre el valor presente (P) , futuro, (F), series anuales uniformizadas (A) y gradientes (G).

Fórmulas Desarrolladas y Notación Simplificada

Fórmula desarrollada Notación simplificada F= P(1 + i)" (F/P. i, n) P = (1+i)" (P/F, i, n) P = A (1+1)"-1 i(1+7)" (P/A, i, n) A= P i(1+i)" (A/P. i, n) (1+ i)" - 1 F = A j 7 i A = F (1+i) - 1 (A/F, i, n) P-G G (1+1)"-1 - n 1 (P/G, i, n) i (1+i)" F = G (1+/)"-1 i -n (F/G, i, n) F r (1+1)"-1 (F/A, i, n)

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Tabla de Factores de Interés (10%)

Tasa de interés 10.0% (F/P. i, n) (P/F, i, n) (A/P. i, n) (P/A, i, n) (A/F, i, n) (F/A, i, n) (P/G, i, n) (A/G, i, n) 1 1.100000 0.909091 1.100000 0.909091 1.000000 1.0000 0.000000 0.000000 2 1.210000 0.826446 0.576190 1.735537 0.476190 2.1000 0.826446 0.476190 3 1.331000 0.751315 0.402115 2.486852 0.302115 3.3100 2.329076 0.936556 4 1.464100 0.683013 3.169865 0.215471 4.6410 4.378116 1.381168 5 1.610510 0.620921 3.790787 0.163797 6.1051 6.861802 1.810126 6 1.771561 0.564474 0.229607 4.355261 0.129607 7.7156 9.684171 2.223557 7 1.948717 0.513158 0.205405 4.868419 0.105405 9.4872 12.763120 2.621615 8 2.143589 0.466507 0.187444 5.334926 0.087444 11.4359 16.028672 3.004479 9 2.357948 0.424098 0.173641 5.759024 0.073641 13.5795 19.421453 3.372351 10 2.593742 0.385543 0.162745 6.144567 0.062745 15.9374 22.891342 3.725461 11 2.853117 0.350494 0.153963 6.495061 0.053963 18.5312 26.396281 4.064054 12 3.138428 0.318631 0.146763 6.813692 0.046763 21.3843 29.901220 4.388402 13 3.452271 0.289664 0.140779 7.103356 0.040779 24.5227 33.377193 4.698792 14 3.797498 0.263331 0.135746 7.366687 0.035746 27.9750 36.800499 4.995529 15 4.177248 0.239392 0.131474 7.606080 0.031474 31.7725 40.151988 5.278933 16 4.594973 0.217629 0.127817 7.823709 0.027817 35.9497 43.416425 5.549341 17 5.054470 0.197845 0.124664 8.021553 0.024664 40.5447 46.581939 5.807097 18 5.559917 0.179859 0.121930 8.201412 0.021930 45.5992 49.639539 6.052560 19 6.115909 0.163508 0.119547 8.364920 0.019547 51.1591 52.582683 6.286095 20 6.727500 0.148644 0.117460 8.513564 0.017460 57.2750 55.406912 6.508075 21 7.400250 0.135131 0.115624 8.648694 0.015624 64.0025 58.109523 60.689288 6.918886 23 8.954302 0.111678 0.112572 8.883218 0.012572 79.5430 63.146208 7.108483 24 9.849733 0.101526 0.111300 8.984744 0.011300 88.4973 65.481297 7.288054 25 10.834706 0.092296 0.110168 9.077040 0.010168 98.3471 67.696401 7.457982 26 11.918177 0.083905 0.109159 9.160945 9.237223 0.008258 121.0999 71.777257 7.770437 28 14.420994 0.069343 0.107451 9.306567 0.007451 134.2099 73.649527 7.913716 29 15.863093 0.063039 0.106728 9.369606 9.426914 0.006079 164.4940 75.414631 77.076579 83.987154 8.176226 35 28.102437 0.035584 0.103690 9.644159 0.003690 271.0244 88.952536 92.454433 94.888869 9.570413 60 304.481640 0.003284 0.100330 9.967157 0.000330 3034.8164 97.701011 9.802294 70 789.746957 0.001266 0.100127 9.987338 0.000127 7887.4696 98.987017 9.911252 80 2048.400215 0.000488 0.100049 9.995118 0.000049 20474.0021 99.560633 9.960926 90 5313.022612 0.000188 0.100019 9.998118 0.000019 99.811783 9.983057 100 13780.612340 0.000073 0.100007 9.999274 0.000007 53120.2261 137796.1234 99.920178 9.992743 22 8.140275 0.122846 0.114005 8.771540 0.014005 71.4027 109.1818 69.794037 7.618650 27 13.109994 0.076278 0.108258 0.102259 9.779051 0.002259 442.5926 45 72.890484 0.101391 9.862808 9.914814 0.001391 718.9048 9.374048 50 117.390853 0.013719 0.008519 0.100859 0.000859 1163.9085 148.6309 8.048858 30 17.449402 0.057309 0.106079 8.708603 9.096234 40 45.259256 0.022095 0.315471 0.263797 6.718878 0.009159 0.006728

Fórmula desarrollada Notación simplificada F= P(1 + i)" (F/P. i, n) P = F (1+i)“ r (P/F, i, n) P = A (1+1)"-1 i(1+/)" (P/A, i, n) A= P i(1+i)" (1+ i)" - 1 L (1+1)"-1 (A/P, i, n) F = A į (F/A, i, n) A = F (1+ i)" -1 i (A/F, i, n) p= 우 (1+i)"-1 i -M 1 (1+i)" (P/G, i, n) F = G i (1+/)"-1 i -n (F/G, i, n) 7

Cálculo de Factores y Valores

Encuentre el Valor de los Factores

Encuentre el valor de los siguientes factores: (P/F, 10%, 5) = (F/A, 10%, 6) = (A/P, 10%, 12) = (F/P, 10%, 3) = (P/F, 10%, 15) = (P/A, 10%, 21) = (A/F, 10%, 15) =

Calcule los Siguientes Valores

Ahora calcule los siguientes valores: P = 250 (P/F, 10% , 5) = A = 1,250 (A/F, 10% , 6) = P = 5,000 (P/A, 10% , 12) = F = 200 (F/P, 10% , 3) = P = 250 (P/F, 10%, 15) = P = 250 (P/A, 10% , 21) = A = 800 (A/F, 10%, 15) =

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Respuestas a los Incisos Anteriores

Valores de los Factores

Encuentre el valor de los siguientes factores: (P/F, 10%, 5) = 0.620921 (F/A, 10%, 6) = 7.7156 (A/P, 10%, 12) = 0.102745 (F/P, 10%, 3) = 1.33100 (P/F, 10%, 15) = 0.239392 (P/A, 10%, 21) = 8.648694 (A/F, 10%, 15) = 0.031474

Cálculo de los Valores

Ahora calcule los siguientes valores: P = 250 (P/F, 10% , 5) = 250 (0.620921) = 155.2303 A = 1,250 (A/F, 10% , 6) = 1,250 (7.7156) = 9,644.5000 P = 5,000 (P/A, 10% , 12) = 5,000 (0.102745) = 513.7250 F = 200 (F/P, 10% , 3) = 200 (1.33100) = 266.2000 P = 250 (P/A, 10% , 21) A = 800 (A/F, 10%, 15) P = 250 (P/F, 10%, 15) = 250 (0.239392) = 250.2394 = 250 (8.648694) = 2,162.1735 = 800 (0.031474) = 25.1792

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