Relación entre variables cuantitativas o numéricas de la UOC

Objetivos de aprendizaje

En los materiales didácticos de este módulo presentamos los contenidos y las herramientas imprescindibles para conseguir los objetivos siguientes:

• Interpretar la representación gráfica (nube de puntos) de dos variables cuantitativas representadas conjuntamente.
• Interpretar los índices de covarianza y correlación lineal entre dos varia- bles. Conocer sus propiedades.
• Especificar la recta de regresión que permite estudiar la relación entre dos variables cuantitativas.
• Diferenciar entre el modelo de regresión y el de correlación.
• Conocer las relaciones fundamentales entre el coeficiente de correlación de Pearson y los diferentes elementos de las rectas de regresión.
• Efectuar una prueba de independencia entre dos variables cuantitativas basada en el coeficiente de correlación.
• Saber hacer la representación gráfica de la relación con gráficas de disper- sión (puntos).
• Saber hacer la correlación entre variables medidas en escala ordinal (co- rrelación de Spearman).
• Realizar las pruebas de contraste de hipótesis de los parámetros del mo- delo de regresión.
• Valorar la bondad de ajuste de la recta a través del coeficiente de deter- minación.
• Interpretar los diferentes listados.
• Hacer la organización y representación conjunta de dos variables: el coe- ficiente de correlación de Pearson y las ecuaciones de regresión. Otros ín- dices de correlación.
• Interpretar los resultados de la aplicación de las funciones Excel para la correlación y regresión.

Relación entre dos variables cuantitativas o numéricas 6 @ FUOC . PID_00284122

• Saber efectuar inferencias estadísticas y estudiar asociaciones entre varia- bles, teniendo en cuenta el concepto de probabilidad que hay detrás de estas decisiones.
• Saber utilizar el razonamiento estadístico que permita enfrentarse de ma- nera satisfactoria a los problemas derivados de la investigación que habrá que abordar durante el futuro ejercicio profesional.
• Saber identificar correctamente las variables implicadas en una situación de investigación real.
• Ser capaz de construir e interpretar un gráfico de dispersión para dos va- riables cuantitativas.
• Saber tomar decisiones correctas y relacionadas con la situación de inves- tigación.
• Saber plantear, desarrollar y tomar la decisión de una prueba de relación entre dos variables cuantitativas.
• Saber plantear un modelo de la regresión lineal. Saber utilizar el modelo para poder hacer predicciones.
• Saber expresar de forma clarificadora los resultados y poder plantear nue- vas investigaciones.

La relación entre dos variables

Representación conjunta de variables cuantitativas

Cuando observamos dos variables cuantitativas sobre cada unidad muestral, resulta esencial realizar la representación (x, y), o gráfico de dispersión, de los datos. Primero se identifica una variable con el eje horizontal de abscisas y la otra con el eje vertical o de ordenadas, a continuación se elige la escala sobre cada uno de estos ejes, de manera que los valores observados de ambas variables se adecuen convenientemente al diagrama.

Si hemos de representar dos variables, ¿cuál debería ser x y cuál y? La respuesta dependerá de si se puede considerar que una de las variables depende de la otra. Por ejemplo, si las dos variables son tiempo de ensayo y número de acier- tos, entonces deberíamos elegir el número de aciertos como variable y, ya que pensamos que éstos dependen del tiempo empleado en ensayar. A menudo denominamos a la variable y variable dependiente y a la variable x, variable independiente.

Relaciones lineales

Cuando representamos un gráfico de dos variables cuantitativas obtenemos lo que denominamos nube de puntos. En esta representación esperamos descu- brir alguna estructura en la relación que existe entre las dos variables. El tipo de estructura más simple es aquélla en la que los valores y dibujan una línea aproximadamente recta a medida que x cambia. Para resumir la relación, po- demos encajar una recta en la nube de puntos y cuanto más se ajuste la nube de puntos a una línea recta, mayor será la relación entre las dos variables.

Relaciones entre variables: correlación

Uno de los términos empleados con más frecuencia al hablar de la relación entre variables es el de correlación. Decimos que dos variables están correlacio- nadas cuando están conectadas o asociadas en algún sentido. Si dos variables se correlacionan, saber el valor de una variable nos proporcionará una idea del valor de la otra.

En este apartado explicaremos el concepto de correlación y una manera espe- cífica de medir la fuerza de la relación entre dos variables: la utilización del coeficiente de correlación.

La medida de la asociación lineal

La correlación es una medida de la fuerza de la asociación entre dos variables. Nuestro interés por la asociación entre dos variables se limita a la asociación lineal que tienen, es decir, a cuánto de próximos a una recta quedan los pun- tos en un gráfico de dispersión. Sin embargo, no se trata del único tipo de asociación que puede establecerse entre dos variables.

En la figura 1 mostramos distintos gráficos de dispersión y los valores corres- pondientes de los coeficientes de correlación. Observad en el último gráfico de dispersión que las dos variables muestran una relación curva muy fuerte, pero la correlación es cero, lo que indica ausencia de relación (esto ilustra el hecho de que la correlación sólo es útil para medir relaciones lineales).

Cálculo del coeficiente de correlación

Para calcular el coeficiente de correlación calcularemos previamente otro in- dicador de relación entre las variables: la covarianza. La fórmula de cálculo de la covarianza es:

(xi-X) . (y ;- ) i=1 i=n Sxy = n-1 n-1 SP xy

El numerador de la covarianza se denomina también suma de productos cru- zados (SPxy). La covarianza representa una medida de la dispersión conjunta de dos variables. Observad que si las dos variables son la misma, la fórmula correspondería a la expresión de cálculo de la varianza. Por tanto, podemos decir que la varianza es un caso particular de covarianza de una variable con sí misma.

Un valor cero de covarianza nos indica ausencia de relación entre las variables. Por otro lado, un valor negativo nos indica relación negativa (a mayor valor de una variable le corresponde un valor menor en la otra y viceversa). Un valor

positivo indica relación positiva entre las variables (a mayor valor de una le corresponde mayor valor de la otra y a menor valor en una variable también menor valor en la otra).

El problema que presenta la covarianza es que se encuentra afectada por la unidad de medida, lo que significa que no sabemos a partir de qué valor posi- tivo o negativo, podemos suponer una relación fuerte entre ambas variables.

Una manera de evitar este efecto es calcular un indicador estandarizado, como lo es el coeficiente de correlación momento-producto de Pearson:

Sxy Ixy = Sx . Sy

Como podéis ver en la expresión que acabamos de presentar, el coeficiente de correlación es la covarianza entre las dos variables dividida por el producto de sus desviaciones estándar.

El coeficiente de correlación siempre fluctuará entre -1 y +1 e indicará relacio- nes fuertes conforme el valor se acerque a los extremos. A una nube de puntos aproximadamente lineal con pendiente descendente le corresponderá un va- lor próximo a -1, lo que indicará una relación inversa o negativa.

A una nube de puntos aproximadamente lineal con pendiente ascendente le corresponderá un valor próximo a +1, lo que indicará una relación directa o positiva.

Un valor cero indicará ausencia de relación lineal entre las variables.

Matriz de correlaciones

La regresión lineal simple

Bondad de ajuste: el coeficiente de determinación R2

La inferencia dentro de la regresión

La población a partir de la cual se toma una muestra

Estimación de la desviación estándar común

Error estándar de la pendiente

Contraste de hipótesis sobre la pendiente

La varianza explicada

Actividades

Bibliografía