Resistencia de Materiales: Centro de Gravedad y Momentos de Inercia

Características Geométricas

Centro de Gravedad

www.uneatlantico.es Se define como centro de gravedad o baricentro de la sección S al punto G de coorde- nadas (yg, zg) que satisface las relaciones: yG = Js dS Ss y ds Ssz dS ; = Ss ds (A.2) y S G ZG YG Z

Centro de Gravedad. Figuras Conocidas

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h/2 h/2 G G h h h/2 h/2 L b/2 b/2 b/2 b/2 b b Fig. A.3: Baricentro: rectángulo y paralelogramo

2h/3 G h h/3 1 b/2 b/2 b Fig. A.4: Baricentro de un triángulo

ΣΑ;Υ; ΣΑiΖ; yG = A ZG = A

Centro de Gravedad. Ejemplo

www.uneatlantico.es Para la sección de la figura calcular las coordenadas del centro de gravedad G de la sección. Datos: b = 15 cm, h = 30 cm, e =4 cm y' Z'G e h 0 G e z' b yG = A ZG = ΣΑiZi A Subdividimos la figura en figuras conocidas h . e . n+ (b-e) . e. 30 . 4 . 3 + (15 - 4 2 yG = h · e + (b - e) · e 30 · 4 + (15 -4) ·4 yG = 11,51 cm h · e · = + (b - e) . e . (b - e) = 30·4· ラ +(15-4)·4· 4 (15-4) ZG = - h · e + (b - e) · e 2 30 · 4 + (15 -4) . 4 2 = 4,01 cm

Momentos de Inercia

Definición de Momentos de Inercia

www.uneatlantico.es Sea S una sección homogenea contenida en un plano sobre el que se sitúan unos ejes cartesianos dextrogiros (y, z). Se definen como momentos de inercia de la sección respecto a los ejes las integrales: Iy = [2 as ; I= = [y2 dS (A.4) donde dS es un elemento diferencial de área e (y, z) son las distancias de éste a los ejes coordenados (Figura A.6). y dS Z p y S O Z

Momentos de Inercia. Ejemplo de Sección Rectangular

www.uneatlantico.es Para la sección rectangular de base b y altura h (Figura A.7), calcular: (a) el momento de inercia respecto al eje z' que pasa por su base y (b) el momento de inercia respecto al eje baricéntrico zo. y y dS dS dy dy h/2 y h y S Z b b h/2 S 0 ZO

Cálculo del Momento de Inercia de Sección Rectangular

www.uneatlantico.es y y dS dS dy dy h/2 y 0 Zo h/2 S S Z b b (a) El momento de inercia de la sección rectangular respecto al eje z' se obtiene aplicando la Ec. A.4. Como el ancho de la sección es constante, el diferencial de área puede expresarse por dS = b dy. Integrando entre y = 0 e y = h, se tiene: T= {y2 ds = 32b dy = 6 3310 bh3 0 (A.10)

Momento de Inercia. Ejemplo de Eje Baricéntrico

www.uneatlantico.es y y dS dy h/2 y 0 Zo h/2 S S Z b b (b) Aplicando nuevamente la Ec. (A.4) para calcular la inercia de la sección respecto al eje baricéntrico zo, integrando entre y = - h/2 e y = +h/2, se tiene: I= = [32 as = | +h/2 -h/2 y2b dy = b 3 +h/2 -h/2 = bh3 12 (A.11) dS dy h y

Momentos de Inercia. Figuras Conocidas

www.uneatlantico.es y h/2 G Z h/2 1- -1 b Rectángulo delgado L>>e e A = eL = e1h €1 = cos & I,= = 15 cos2 a = "," 00 Triángulo isósceles A= 쓸 bh 2 hb 3 bh3 Iv = 48 Iz = 36 bh 3 I = 6h3 12 y ZG h Z G YG 1- -1 1 b Triángulo rectángulo A= 쓸 yo= 号 b I = 163 hb3 I = bh3 bh 3 36 bh3 I1= bh3 y r Z G YG 1 1 r r Círculo A = Tr2 Iv = I= = ™ I = x74 5 Semicírculo A= "2" 4r UG = 37 Tr 4 00 00 G h/3 -1 b Rectángulo A = bh I= = bh3 bh 3 12 12 Z G 1 1 b/2 b b/2 Trapecio y A=( a+ b) h (2a + b) h yG = 3 (a+b) bh 3 I= = bh3 12 bh3 00 y Le h/2 G Z h/2 e1 L 1 1 -1 r r 3 h NL 00 Cuadrante (ejes y, z con origen en O) A= "12 TY 4 Iy = I2 = 16 (92-64) +4 r y r G YG Z O Iz0 = ~0.0549~4 1447T z G h hb 3 Iy = 12 I= 65 bh3 ZG = 3

Momentos de Inercia. Ejemplo de Cálculo

www.uneatlantico.es Para la sección de la figura calcular el momento de inercia respecto a los ejes y' y z'. Datos: b = 15 cm, h = 30 cm, e = 4 cm y' Z'G e h 0 G e z' b ly = > Iyi Subdividimos la figura en figuras conocidas h3 . e Iyı = 3 + (h - e) · e3 3 153 .4 3 + (30 - 4) . 43 3 Iyı = 5054,67 cm4

Momentos de Inercia. Ejemplo de Ejes y' y z'

www.uneatlantico.es Para la sección de la figura calcular el momento de inercia respecto a los ejes y' y z'. Datos: b = 15 cm, h = 30 cm, e = 4 cm y' Z'G e h 0 G e : z' b N 2 zi Subdividimos la figura en figuras conocidas (b- e) · e3 Iz = ZI h3 . e 3 + 3 3 303 . 4 + (15 - 4) · 43 3 Izı = 36234,67 cm4

Momentos de Inercia. Traslación de Ejes

www.uneatlantico.es (Teorema de Steiner). Ix = Izo + dy A (A.13) yo y ds Ba S Zo Yo dz Zo d dy O Z

Traslación de Ejes. Ejemplo de Cálculo

www.uneatlantico.es Para la sección de la Figura A.10, calcular: (a) los momentos de inercia respecto a los ejes yo, zo que pasan por el centro de gravedad de la sección G, Datos: b = 15 cm, h = 30 cm, e = 4cm, A = 164 cm2. yo e h Zo G e b y'G = 11, 51 cm 2G = 4,01 cm

Traslación de Ejes. Ejemplo de Momentos de Inercia

www.uneatlantico.es Datos: b = 15 cm, h = 30 cm, e = 4cm, A = 164 cm2. yo e h Zo G e b Iyo = = 4 . 113 12 + 4 . 11 . 5, 492 + 30 .43 12 + 30 . 4 . 2, 012 2 414, 64 cm 4 Izo = + 4 . 11 . 9, 512 + 4 . 303 12 + 30 . 4 . 3, 492 11 . 43 12 = 14 499, 64 cm 4

Secciones de Pequeño Espesor

www.uneatlantico.es En la práctica se utilizan frecuentemente secciones en las que el espesor es muy pequeño en relación con las restantes dimensiones de la sección. Un ejemplo de ello son los perfiles metálicos. En esos casos, las características geométricas pueden calcularse de forma más simplificada, como puede verse en el ejemplo siguiente. a) b b) b c) y te e e + e h+e h Z YG e a a

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