Funzioni di trasferimento nei sistemi automatici con trasformata di Laplace

Funzioni di trasferimento

Sistemi automatici Modulo n°1 Classe V ELS a.s.2006-05 Funzioni di trasferimento In questo modulo viene preso in considerazione un operatore matematico detto trasformata di Laplace che consente di semplificare notevolmente le operazioni relative a sistemi lineari e tempo- invarianti.

Sistemi lineari

Un sistema risulta lineare quando è applicabile per esso il principio di sovrapposizione degli effetti secondo il quale l'uscita U di un sistema è data dalla somma delle uscite del sistema considerando l'azione separata degli ingressi. Nella figura 1 sotto il sistema lineare è a due ingressi 11 e 12; vale la relazione U= U1+U2 in cui U1 è l'uscita del sistema quando l2=0 mentre U2 è l'uscita del sistema quando l1=0.

In In In = 0 U Us U2 I2 SISTEMA SISTEMA SISTEMA I2=0 I2 Fig. 1 La curva grafica "caratteristica" ingresso-uscita di un sistema lineare è rappresentata idealmente da una retta o comunque da una curva approssimabile ad una retta.

Sistemi tempo-invarianti

Un sistema è tempo-invariante quando i parametri che caratterizzano il sistema stesso sono di valore costante e non variano nel tempo. Per esempio un circuito R-L-C serie può essere considerato tempo- invariante se R,L e C restano di valore costante. Un esempio di sistema tempo-variante è rappresentato da una vettura di formula 1 durante un Gran Premio: il forte consumo di combustibile e l'usura dei pneumatici comporta una sensibile variazione dell'assetto e dunque del comportamento dell'auto ( si modificano i parametri del sistema ).

La trasformata di Laplace

La trasformata di Laplace è uno strumento matematico applicabile nella risoluzione di sistemi lineari e tempo-invarianti, in particolare per i circuiti elettrici. Essa trasforma una funzione nel tempo y= f(t) in una funzione corrispondente Y= F(s) che risulta funzione della variabile 1Sistemi automatici Modulo nº1 Classe V ELS a.s.2006-09 complessa s= a+jw dove a è la parte reale e jw la parte immaginaria. Il simbolo della trasformata di Laplace è L. Si può pertanto scrivere: F(s)= L [f(t)] La trasformata di Laplace quindi trasferisce la funzione dal dominio del tempo nel dominio della variabile complessa s. In termini di rappresentazione a blocchi il concetto può essere chiarito come in figura 2

y=f(t) TRASFORMATA DI LAPLACE Y= F(s) Fig. 2 Come regola generale le funzioni nel dominio del tempo si indicano con le lettere minuscole ( ad esempio i(t) o i, v(t) o v ecc.) mentre le funzioni nel dominio della variabile complessa s con lettere maiuscole ( ad esempio I(s) o I, V(s) o V ecc.). Si potrà osservare più avanti che il vantaggio derivante dall'impiego di questa trasformata sta nel fatto che relazioni piuttosto complesse di tipo integro-differenziali diventano semplici espressioni algebriche.

Operatori matematici

Nello studio delle regole di trasformazione mediante la trasformata di Laplace vengono introdotti operatori matematici e funzioni necessari all'analisi dei sistemi nel dominio del tempo

• df(t) è la derivata rispetto al tempo della funzione f(t) dt
• f(t)dt è l'integrale nel tempo della funzione f(t)
• "e" indica la costante di Nepero pari a 2,73
• T rappresenta nello studio dei circuiti la costante di tempo misurata in secondi o sottomultipli del secondo. Nello studio dei circuiti si osserverà che la costante di tempo dipende dai valori dei parametri del circuito stesso ( R,L,C )

2Sistemi automatici Modulo nº1 Classe V ELS a.s.2006-05 Due funzioni di interesse notevole nello studio dei circuiti sono:

• y= 1-e- che è la funzione esponenziale crescente che all'istante 0 ha valore nullo e raggiunge il valore di regime 1 in un tempo pari a circa 5T.

. y= e-t/T che è la funzione esponenziale decrescente che all'istante 0 ha valore 1 e si annulla in un tempo pari a circa 5T

Regole di trasformazione

1. LIK*f(t)]= K L [f(t) = K*F(s) cioè la trasformata di Laplace del prodotto di una costante K per una funzione f(t) nel tempo è pari al prodotto della costante per la trasformata F(s) della funzione f(t)
2. L[df(t)}= s*F(s) dt cioè la trasformata di Laplace della derivata di una funzione f(t) è uguale alla trasformata F(s) moltiplicata per s
3. Lf(t) dt = F(s) / s cioè la trasformata di Laplace dell'integrale di una funzione f(t) è pari alla trasformata F(s) della funzione divisa per s
4. La trasformata di Laplace di una funzione esponenziale crescente y= f(t)= 1-e-t/T è Y=F(s)= s*(1+ST) 1
5. La trasformata di Laplace di una funzione esponenziale decrescente y= f(t)= e-t/T è Y=F(s)= 1 (1+sT)
6. La trasformata di Laplace della somma o della differenza di due funzioni nel tempo y= f1(t) e y= f2(t) è data dalla somma o differenza delle relative trasformate cioè: L [f](t)+f2(t)]=F1(s)+F2(s)

Teoremi sui limiti

Teorema del valore iniziale

Consente di determinare il valore iniziale di una funzione y= f(t) conoscendo la sua trasformata F(s) ed in particolare vale la relazione: lim f(t)= lim s*F(s) to 1000

Teorema del valore finale

Consente di determinare il valore finale di una funzione y= f(t) conoscendo la sua trasformata F(s) ed in particolare vale la relazione: lim f(t)= lim s*F(s) t-00 170 3Sistemi automatici Modulo nº1 Classe V ELS a.s.2006-05

Segnali di ingresso

I segnali più comuni in ingresso ad un sistema sono:

• L'impulso
• Il gradino
• La sinusoide

Il segnale di impulso ö è molto importante in quanto consente di descrivere matematicamente grandezze fisiche variabili con grande velocità. Il grafico di figura 3 riporta la funzione impulso caratterizzata, in termini intuitivi, da durata At infinitesima e ampiezza infinita. La trasformata di Laplace dell'impulso è 1, quindi Y=o(s)=1

y At t Fig.3 Nello studio dei sistemi la funzione impulso è importante per l'analisi della stabilità del sistema (risposta all'impulso). La funzione gradino è rappresentata in figura 4 ed è indicata con la notazione y=a*1(t) dove a è l'ampiezza del gradino. La trasformata di Laplace della funzione a gradino è Y=a*1(s)= a / s

y A -300 0 a 1 t Fig.4 Nello studio dei sistemi la funzione gradino è interessante perché permette di definire alcuni parametri che descrivono le caratteristiche dinamiche del sistema (es. la costante di tempo). 4Sistemi automatici Modulo nº1 Classe V ELS a.s.2006-09 La sinusoide è un segnale analogico cioè caratterizzato dal fatto che i suoi valori variano con continuità nel tempo e il cui andamento è rappresentato in figura 5

AM- LA T 7 0 - AM Fig.5 La funzione sinusoidale passante per l'origine degli assi è indicata dalla formula y= AMsenwt in cui AM è l'ampiezza dell'onda mentre w è la pulsazione della sinusoide legata alla frequenza f dalla relazione w= 2nf Il segnale sinusoide è importante nello studio dei sistemi ( in particolare di quelli elettrici) perché permette di analizzare il comportamento al variare della frequenza.

Parametri base dei circuiti elettrici

I parametri base di un circuito elettrico (resistenza R,induttanza L di una bobina e capacità C di un condensatore) possono essere visti come blocchi con un ingresso (es.corrente) e una uscita (es.tensione).

Resistenza

is (t) R v (t) Vale la relazione nel dominio del tempo v(t)= R*i(t) secondo la legge di Ohm. Trasformando secondo Laplace in base alla regola 1 di pagina 3, risulta nel dominio della variabile complessa s V(s)= R*I(s)

Induttanza

i (t) L v (t) Vale la relazione nel dominio del tempo v(t)= L*di(t) dt 5Sistemi automatici Modulo nº1 Classe V ELS a.s.2006-09 Trasformando secondo Laplace in base alle regole 1 e 2 di pagina 3 risulta nel dominio della variabile complessa s V(s)= s*L*I(s)

Capacità

i(t) C v(t) t Vale la relazione nel dominio del tempo v(t)= 1* i(t)dt C 0 Trasformando secondo Laplace in base alle regole 1 e 3 di pagina 3 risulta nel dominio della variabile complessa s V(s)= 1 *I(s). SC Nel dominio della variabile complessa s i tre blocchi possono essere rappresentati come in figura 6 sotto in cui le funzioni di trasferimento sono rispettivamente R, sL e 1/sC.

I(1) V(A) I (1) AL 1 1C Fig.6 Nel caso in cui invece la grandezza di ingresso è la tensione e quella di uscita la corrente risulta come in figura 7.

V(1) 1 R I(1) V(1) 1 AL I ( 1 ) V(1) I(1) AC Fig.7 I(1) V(A) V (s) R

Esempi di funzioni di trasferimento con circuiti elettrici

Esempi di funzioni di trasferimento con circuiti elettrici (poli,zeri e costanti di tempo) La funzione di trasferimento di un blocco che rappresenta un componente, è il legame matematico tra uscita ed ingresso. Negli esempi che seguono si anda a determinare in termini letterali la funzione di trasferimento G(s) nel dominio della variabile complessa s. Nello studio dei circuiti elettrici si pone a propria scelta una grandezza di ingresso ed una grandezza di uscita; quindi per uno stesso circuito elettrico in un caso la tensione può risultare l'ingresso e la corrente l'uscita del sistema, in un altro caso può essere il contrario. In un altro caso le grandezze di ingresso e di uscita possono entrambe essere tensioni, ad esempio la tensione su una resistenza e la tensione del generatore. 6Sistemi automatici Modulo nº1 Classe V ELS a.s.2006-09

Esempio 1

R i NR 4 L Fig.8 Si considera il circuito R-L serie di figura 8 con R ed L costanti nel tempo. Si pone la tensione v del generatore come grandezza di ingresso e la corrente i come grandezza di uscita per cui la funzione di trasferimento nel dominio del tempo G(t)= i/v. Nel dominio del tempo e per il 2° principio di Kirchoff si può scrivere: v(t)= VR+VL= R*i+L*di dt Applicando la trasformata di Laplace risulta V(s)= R*I(s)+sL*I(s) quindi raccogliendo l(s) V(s)= ( R+sL )*I(s) da cui si ricava che l(s)= 1 _* V(s) ( R+SL ) Considerando la tensione come grandezza di ingresso e la corrente come grandezza di uscita, la funzione di trasferimento è pari a: G(s)= I(s) = 1 V(s) R+SL La funzione di trasferimento G(s) è stata determinata ma è preferibile esprimerla nella forma G(s)= Gst./ (1+sT) dove Gst. è il guadagno statico cioè il guadagno in condizioni di regime. Per fare ciò si moltiplicano numeratore e denominatore per il termine 1/R e la relazione risulta: G(s)= 1/R = 1/R =1 1 1/R*(R+SL) 1+sL/R R 1+ST con T= L/R costante di tempo del circuito misurata in secondi o suoi sottomultipli. Il sistema considerato è un sistema che ha un solo polo. Il polo rappresenta una soluzione nella variabile s del denominatore. Nel caso in esame il denominatore si annulla quando 1+sT=0. 1+sT=0 da cui sT =- 1 e quindi s= - 1/T. L'unico polo presente è pertanto p1= - 1 / T. I poli hanno sempre la dimensione dell'inverso di un tempo ( es s-1) e sono generalmente di segno negativo. Un polo positivo è indice di un sistema instabile. 7