Resistencia de Materiales: Estructuras Isostáticas e Hiperestáticas

EQUILIBRIO ESTÁTICO Y RESOLUCIÓN DE ESTRUCTURAS

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Las fuerzas (acciones y reacciones) que actúan sobre una estructura deben estar en equilibrio estático. Esto significa que deben formar un sistema de fuerzas de resultante nula y de momento resultante nulo; por tanto, deben cumplir las ecuaciones que se conocen con el nombre de ecuaciones de la estática, que, en forma vectorial, pueden escribirse como:

EFi = 0 (3.16a) i i Mo = 0 (3.16b) donde Fi representa a cada una de las fuerzas que actúan sobre la estructura, M; representa el momento de cada una de las fuerzas respecto de un punto arbitrario O y el símbolo i. representa la suma sobre todas las fuerzas i.

EQUILIBRIO ESTÁTICO Y RESOLUCIÓN DE ESTRUCTURAS

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En el caso de estructuras planas cargadas en su plano, las anteriores ecuaciones vectoriales se reducen a tres ecuaciones escalares de la forma:

> (Fx)i = 0 i > (F1)i = 0 ; i >(M2)i = 0 (3.17)

donde los ejes x e y están sobre el plano de la estructura y el eje z es perpendicular a éstos.

a) b) V H M H. 1 V2 VI

EQUILIBRIO ESTÁTICO Y RESOLUCIÓN DE ESTRUCTURAS

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En Mecánica de Estructuras se llama resolver una estructura a calcular el valor de los esfuerzos que actúan sobre cada una de las secciones de todas las piezas que compo- nen la estructura. Cuando este cálculo puede realizarse íntegramente utilizando sólo las ecuaciones de la estática, la estructura se llama isostática o estáticamente determinada. En caso contrario, se le llama hiperestática o estáticamente indeterminada.

H M V H 1 M H2 V2

ESTRUCTURAS ARTICULADAS

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Las estructuras articuladas de piezas rectas con cargas aplicadas en los nudos trabajan exclusivamente a esfuerzo axil siendo además estos axiles constantes. Dichas estructuras son isostáticas cuando pueden resolverse sólo con las ecuaciones de la estática.

a) F b) F

ESTRUCTURAS ARTICULADAS

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El número de reacciones exteriores (nr) más el número de axiles a determinar, uno por barra (nb), debe ser igual al número de ecuaciones de la estática que se pueden plantear. En estructuras articuladas planas pueden plantearse dos ecuaciones de equilibrio por nudo (2nn), por tanto, para que la estructura esté en equilibrio debe cumplirse:

nr + nb = 2nn (3.18)

a) F b) F

ESTRUCTURAS ARTICULADAS

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Las estructuras articuladas son hiperestáticas cuando las condiciones de equilibrio no bastan para esolver la estructura, es decir:

nr + nb > 2nn (3.19)

a) b) F [P

ESTRUCTURAS RETICULADAS

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Las estructuras reticuladas como se han definido anteriormente están formadas por piezas prismáticas unidas mediante nudos rígidos. En estas estructuras el grado de hiperestatismo se define con independencia de si el origen de éste es la indeterminación de las reacciones en los apoyos o en enlaces internos:

h = n - e (3.20)

donde n es el número de reacciones (externas o internas) que hay que conocer para poder determinar los esfuerzos actuantes en cualquier sección de la estructura, y e es el número de ecuaciones de la estática.

Una vez calculado el valor h, para h=0 la estructura es isostática, h>0 la estructura es hiperestática de grado h, h <0 la estructura es un mecanismo de grado h.

ESTRUCTURAS RETICULADAS

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a) b) V H M H 1 V2 V1 a) b) V1 H1 M H2 H H2 V2 M M V1 V2

ESFUERZOS EN ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS

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En una estructura isostática la determinación de las leyes de esfuerzos sigue los pasos siguientes:

1. determinación de las reacciones exteriores,
2. determinación de la variación de los diferentes esfuerzos en cada pieza,
3. determinación de los valores máximos de los esfuerzos, a nivel de pieza y estruc- tura.

En estructuras articuladas la determinación de los esfuerzos se reduce a:

1. determinación de las reacciones exteriores,
2. determinación de los esfuerzos axiles en cada pieza.

ESFUERZOS EN ESTRUCTURAS ARTICULADAS

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En estructuras articuladas la determinación de los esfuerzos se reduce a:

1. determinación de las reacciones exteriores,
2. determinación de los esfuerzos axiles en cada pieza.

F F

ESFUERZOS EN ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS

Ejemplo 4.3.1 de Estructuras Articuladas

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La estructura articulada ABC de la Figura 4.2 está formada por dos barras del mismo material. Para una carga P actuando en C, determinar los axiles en las barras.

Datos: P = 40 kN, a = 3m y a = 30°.

A 1 a 2 B C P a

ESFUERZOS EN ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS

Cálculo de Axiles en Barras (Ejemplo 4.3.1)

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La estructura articulada ABC de la Figura 4.2 está formada por dos barras del mismo material. Para una carga P actuando en C, determinar los axiles en las barras.

Datos: P = 40 kN, a = 3m y a = 30°.

La estructura es isostática y los axiles en las barras 1 y 2 pueden calcularse direc- tamente por equilibrio de fuerzas en el nudo C:

N1 = P sin & = 80 kN (tracción) N2 = P =- 69,3 kN (compresión) tan a

ESFUERZOS EN ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS

Ejemplo 4.3.5 de Estructuras Articuladas

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La estructura articulada de la Figura 4.6 está formada por siete barras del mismo material. Determinar los esfuerzos axiles en las barras para el sistema de cargas que se indica. Datos: a = 5m, F = 50 kN.

F F 4 D B 3 1 5 7) a AO OF C 2 F 6 V a a VE

ESFUERZOS EN ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS

Cálculo de Esfuerzos Axiles (Ejemplo 4.3.5)

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La estructura articulada de la Figura 4.6 está formada por siete barras del mismo material. Determinar los esfuerzos axiles en las barras para el sistema de cargas que se indica. Datos: a = 5m, F = 50 kN.

VA = VE = 1,5F = 75 kN (1)

Para el estado de carga que se analiza, los nudos A y E son simétricos y también los nudos B y D. Los esfuerzos axiles pueden calcularse considerando el equilibrio de fuerzas en los nudos (Figura 4.6):

N1 = N7 = - 1, 678F = - 83,9kN N2 = N6 = 0, 75F = 37,5 kN N3 = N5 = 0, 568F = 28, 4 kN N4 =- F =- 50kN

Se observa que para la carga considerada, las barras 1, 4 y 7 están comprimidas y las barras 2, 3, 5 y 6 están traccionadas.

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