Módulo III: Pruebas de hipótesis paramétricas, Universidad Sabes

Módulo III: Pruebas de hipótesis paramétricas. Parte 3 Semana 7

UNIVERSIDAD
SABES

Prueba de hipótesis para la varianza

3.5 Prueba de hipótesis para la varianza.
3.5.1 Prueba de hipótesis para una varianza.
3.5.2 Prueba de hipótesis para dos varianzas.3.5 Prueba de hipótesis para la varianza.
3.5.1 Prueba de hipótesis para una varianza.
Cuando se analizan variables cuantitativas, a menudo es importante sacar conclusiones en
cuanto a la variabilidad así como al promedio de una característica de interés. Por ejemplo,
en el estudio de las llantas, el gerente de la fábrica, probablemente se interesaría en
determinar si la variabilidad en la duración de las llantas está o no dentro de los límites
aceptables antes de concluir que el proceso funciona en forma correcta. En este caso, lo que
interesaría sería llegar a conclusiones acerca de la desviación estándar o a la varianza de la
población.
Esta hipótesis es un caso particular de la siguiente:
Ho : 02 = 0
2
0
HA :02>02
donde o2, es un valor conocido.Para probar esta hipótesis y bajo el supuesto de distribución normal, se utiliza el siguiente
estadístico de prueba:

,2
X6 =
(n-1)S2
2
donde n es el tamaño de la muestra. Si Ho es verdadera x2 sigue una distribución ji-cuadrada
con n - 1 grados de libertad. Por ello, se rechaza Ho si x2 > x2, donde x2 es un punto crítico
que se obtiene de la tabla de distribución ji-cuadrada.Paso 2. Establecer el nivel de significancia (a). Es decir, indicar la probabilidad de
rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera.
Paso 3. Seleccionar el valor estadístico de prueba.
Xc =
(n-1)s2
2
Paso 4. Establecer la regla de decisión.
Comparar x2 (ji-cuadrada calculada con la de tablas), Xa,gl
Se rechaza si:
X2 > X10
Se rechaza si:
x2 > X2 (a/2) X2 < X(a/ 2)
Se rechaza si:
X2 < X2
Paso 5. Tomar una decisión.
En este paso se toma la decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nula.

Ejemplo de prueba de hipótesis para la varianza

Ejemplo: Un fabricante de dulces compra costales de azúcar a cierto ingenio. Según los
vendedores, los costales tienen un peso medio de 50.1 kg, con una varianza de (o2 = 0.5).
Para corroborar la información, el fabricante selecciona de manera aleatoria tres bultos de
cada uno de los siguientes cinco pedidos. Pesa los 15 bultos y obtiene que X= 49.4 y S2 = 1.2
sobre el peso de costales, a simple vista se puede notar que la varianza o2 = 0.5, declarada
por el vendedor, es bastante diferente que la varianza muestral S2= 1.2, lo cual lleva a
sospechar que su afirmación sobre la varianza del proceso es falsa. El hecho de que los dos
números sean distintos no significa que sean estadísticamente diferentes, de aquí la necesidad
de contrastar o probar las hipótesis acerca de la varianza, con un nivel de significancia de 5%
(a = 0.05).

Pasos para la prueba de hipótesis

Paso 1: Establecer la hipótesis nula y la alternativa.
Ho : 02 = 0.5
HA: 02>0.5
Es una prueba unilateral derecha.
En este caso en la hipótesis nula establecemos que la varianza es igual a 0.5, mientras que
en la HA la varianza es mayor a 0.5.
Paso 2. Establecer el nivel de significancia (a).
De acuerdo con el ejemplo el valor de a es de 0.05.
Paso 3. Seleccionar el valor estadístico de prueba.

,2
x2 =
(n-1)s2
𝜎0
𝜎0

Regla de decisión y cálculo de ji-cuadrada

Paso 4. Establecer la regla de decisión.
Comparar x2 (ji-cuadrada calculada con la de tablas), xa
Datos:
(n-1)s2
Como encontrar xa,gl = X6.5,14=23.68

Valorp
gi
0.5
0.25
0.1
0.05
0.025
0.01
123456789
5
7
8
9
0.45
1.32
2.71
3.84
5.02
6.63
1.39
2.77
4.61
5.99
7.38
9.21
2.37
4.11
6.25
7.81
9.35
11.34
3.36
5.39
7.78
9.49
11.14
13.28
4.35
6.83
9.24
11.07
12.83
15.09
5.35
7.84
10.64
12.59
14.45
16.81
6.35
9.04
12.02
14.07
16.01
18.48
7.34
10.22
13.36
15.51
17.53
20.09
8.34
11.39
14.68
16.92
19.02
21.67
10
9.34
12.55
15.99
18.31
20.48
23.21
11
10.34
13.70
17.28
19.68
21.92
24.72
12
11.34
14.85
18.55
21.03
23.34
26.22
13
12.34
15.98
19.81
22.36
24.74
27.69
14
13.34
17.12
21.06
23.68
26.12
29.14
n= 15
, 2 =
-2
s2=1.2
2=0.5
gl .= 15-1=14
Sustitución:
x2=
(15-1)(1.2)2
=33.6
(0.5)

Decisión sobre la hipótesis nula

Paso 5. Tomar una decisión.
En este paso se toma la decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nula.
ji-cuadrada
con 14 g.l.
1-a
Xa= 23.68
L
0
10
20
30
40
50
Xo = 33.6
T
Región de
rechazo
Como x2 > Xa,gl
33.6 > 23.68, entonces se rechaza Ho, por lo tanto se
concluye que la varianza de los costales es mayor a
0.5

Prueba de hipótesis para dos varianzas

3.5.2 Prueba de hipótesis para dos varianzas.
La comparación de varianzas tiene interés en sí misma, con independencia de las medias,
puesto que estas son determinantes en cualquier proceso o tratamiento. En general se
considera que a menor varianza, implica potencialmente mejor calidad. Por ejemplo, en el
caso de las centrifugadoras interesa ver si alguna de ellas tiene mayor error (variabilidad) en
sus mediciones. El planteamiento de la hipótesis se puede reescribir como:
H0:02= 02
H : - 1
y
H:02#02
H
0
#1
NHARLa prueba de hipótesis para dos varianzas se basa en la distribución del estadístico
F=
5º
y
el cual, bajo el supuesto de que Ho es verdad, sigue una distribución F con nx - 1 grados de
libertad en el numerador y ny - 1 grados de libertad en el denominador.
Tipos de hipótesis de dos varianzas:
Caso 1
Caso 2
Caso 3
H0 : 0
H0 : 0
2121
VI A
bb
2222
Ho
b b
2121
2222
H
2222
VI A
2121
Ho :
σ
H
σCuando rechazar Ho: La hipótesis nula se rechaza si el cálculo del estadístico de prueba
es más grande que el valor crítico de tablas.
El valor crítico de tablas se obtiene con grados de libertad n-1(numerador) y n2-1
(denominado) y el nivel de confianza a/2 para pruebas de 2 colas y a para prueba de una
cola.

F >F
c
a, [(n1-1),(n2-1)]

Ejemplo: Comparación de dos centrifugadoras

Ejemplo:
Comparación de dos centrifugadoras. La calidad de la pintura latex depende, entre otras
cosas, del tamaño de la partícula. Para medir esta característica se utilizan dos
centrifugadoras, y se sospecha que estas reportan mediciones distintas para la misma
pintura. Se decide hacer un estudio que permita comparar las varianzas reportadas por los
dos equipos; para lo cual, de un mismo lote de pintura se tomaron 13 lecturas con cada
centrifugadora. Verificar mediante una prueba de hipótesis que las varianzas son iguales para
los datos de cada centrífuga. Los resultados son los siguientes:

Centrifugadora x
4 714
4 601
4 696
4 896
4 905
4 870
4 987
5 144
3 962
4 066
4 561
4 626
4 924
XA=
4 684.00;
S2=
124 732.00

Centrifugadora y
4 295
4 271
4 326
4 530
4 618
4 779
4 752
4 744
3 764
3 797
4 401
4 339
4 700
XB=
4 408.92;
s= =
112 020.00

Planteamiento de la hipótesis y nivel de significancia

Paso 1: Planteamiento de la hipótesis:
Ho : 02=02
HA :02#04
Paso 2. Establecer el nivel de significancia (a).
De acuerdo con el ejemplo el valor de a es de 0.05.
Paso 3. Seleccionar el valor estadístico de prueba.

FO = 5
S2
Sx

Regla de decisión y cálculo de F

Paso 4. Establecer la regla de decisión.
Comparar Fo con la de tablas F
(a, v1 v2)
Obtener F
F
(α, 12 12)
de tablas
(0.05, 12 12)
Tabla 5. VALORES F DE LA DISTRIBUCIÓN F DE FISHER

2
Sx =124 732
S2
y =112 020
V1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
V2
1
161.446
199.499
215.707
224.583
230.160
233.988
236.76X 238.884
240.543 241.882 242.981
243.905
244.6
2
18.513
19.000
19.164
19.247
19.296
19.329
19.353
19.371
19.385
19.396
19.405
19.412
19.4
3
10.128
9.552
9.277
9.117
9.013
8.941
8.887
8.85
8.812
8.785
8.763
8.745
8.72
4
7.709
6.944
6.591
6.388
6.256
6.163
6.094
6.041
5.999
5.964
5.936
5.912
5.89
5
6.608
5.786
5.409
5.192
5.050
4.950
4.876
4.818
4.772
4.735
4.704
4.678
4.65
6
5.987
5.143
4.757
4.534
4.387
4.284
4.207
4.147
4.099
4.060
4.027
4.000
3.97
7
5.591
4.737
4.347
4.120
3.972
3.866
3.787
3.726
3.677
3.637
3.603
3.575
3.55
8
5.318
4.459
4.066
3.838
3.688
3.581
3.500
3.438
3.388
3.347
3.313
3.284
3.25
9
5.117
4.256
3.863
3.633
3.482
3.374
3.293
3.230
3.179
3.137
3.102
3.073
3.04
10
4.965
4.103
3.708
3.478
3.326
3.217
3.135
3.072
3.020
2.978
2.943
2.913
2.88
11
4.844
3.982
3.587
3.357
3.204
3.095
3.012
2.948
2.896
2.854
2.818
2.788
2.7€
12
4.747
3.885
3.490
3.259
3.106
2.996
2.913
2.849
2.796
2.753
2.717
2.687
2.6€
13
4.667
3.806
3.411
3.179
3.025
2.915
2.832
2.767
2.714
2.671
2.635
2.604
2.57
14
4.600
3.739
3.344
3.112
2.958
2.848
2.764
2.699
2.646
2.602
2.565
2.534
2.50
15
4.543
3.682
3.287
3.056
2.901
2.790
2.707
2.641
2.588
2.544
2.507
2.475
2.44
1 - a =0.95
1 - a = P ( F ≤ fa,vi,v2 )
V1
= grados de libertad del numerador
V2
=grados de libertad del denominador
a=0.05
V1=13-1=12
V2=13-1=12
Fo = =
124732
= 1.11
112020
Datos:

Decisión sobre la variabilidad de las centrifugadoras

Paso 5. Tomar una decisión.
El valor de Fc es menor al valor F de tablas, por lo tanto, utilizando a= 0.05, la decisión
es no rechazar H0 y se concluye que, estadísticamente, las centrifugadoras tienen la
misma variabilidad, precisión o error de medición.
Fo=1.11 y F
= 2.687, por lo tanto Fo<F
(0.05, 12,12)
.

Referencias bibliográficas

Referencias bibliográficas:
Estadística para Administración. Rodríguez Jesús, Pierdant Alberto y Rodríguez Cristina. Grupo
editorial Patria(2011), México.
Análisis De Diseño De Experimentos. Gutiérrez Pulido, H. (2005). Editorial Mc Graw Hill.
Elaborado por:
María Guadalupe Guerrero Villanueva.