Resistencia de Materiales: Esfuerzos en Estructuras de Plano Medio de la Universidad Europea Del Atlántico

Leyes de Esfuerzos en Estructuras de Plano Medio

Las estructuras de plano medio están formadas por piezas de plano medio unidas entre sí por nudos rígidos y de tal manera que el plano medio de todas las piezas es el mismo y y R T π/2 X N (A) G (B) Z M G S Y X En estas condiciones se pueden tomar los ejes locales de referencia (x, y, z) de tal manera que el plano medio de la pieza contenga a los ejes x e y, ya que es un plano de simetría de éstas. En estas condiciones las componentes de Ry M se reducen al esfuerzo axil N, el esfuerzo cortante T = Ty y el momento flector M = M2, respectivamente

Leyes de Esfuerzos en Estructuras de Plano Medio

Por tanto, la determinación de las leyes de esfuerzos sigue los pasos siguientes:

1. determinación de las reacciones exteriores,
2. determinación de la variación de los diferentes esfuerzos en cada pieza,
3. determinación de los valores máximos de los esfuerzos, a nivel de pieza y estruc- tura.

y y R T π/2 X N (A) G (B) Z M S Y X

Ejemplo 4.4.1: Viga ABC con Carga Repartida

Calcular y dibujar las leyes de esfuerzos de la viga ABC de la Figura 4.9 sometida a la acción de la carga p uniformemente repartida en el tramo BC. X p (kN/m) Ao B oc pl Vc =3 p/ 1/2 l

Ejemplo 4.4.1: Cálculo de Reacciones

Calcular y dibujar las leyes de esfuerzos de la viga ABC de la Figura 4.9 sometida a la acción de la carga p uniformemente repartida en el tramo BC. Cálculo de las reacciones Teniendo en cuenta las condiciones de equilibrio de la estática (suma de fuerzas verti- cales igual cero y suma de momentos respecto al apoyo A igual a cero, respectivamente), puede escribirse: VA + Vc = P 5 ; Vol=p - l l 3l 2 4 Por tanto, las reacciones en los apoyos A y C son : VA= g pl (1) 1 Vc= c pl (1) 3

Ejemplo 4.4.1: Ley de Momentos Flectores

Calcular y dibujar las leyes de esfuerzos de la viga ABC de la Figura 4.9 sometida a la acción de la carga p uniformemente repartida en el tramo BC. Ley de momentos flectores La ley de momentos flectores se obtiene calculando, para una sección dada, el momento resultante en la sección de las fuerzas aplicadas a un lado de la misma. En el tramo AB, para una sección a una distancia x del apoyo A, y calculando dorsalmente, se tiene: 1 M(x) = VA x= = plx 8 o sea, una ley lineal a lo largo del tramo AB, con un máximo en la sección x = l/2, de valor MB = pl2/16. En el tramo BC, para una sección a una distancia x del apoyo A, y calculando dorsalmente, puede escribirse:

Ejemplo 4.4.1: Ley de Momentos Flectores (Continuación)

Calcular y dibujar las leyes de esfuerzos de la viga ABC de la Figura 4.9 sometida a la acción de la carga p uniformemente repartida en el tramo BC. Ley de momentos flectores M(x) = VAR-P (x) - PL 8 42 ~ En este caso, la ley de variación del momento flector es parabólica y la distancia a la que se produce el valor máximo se obtiene derivando respecto a la variable x e igualando a cero: aM = pl 8 [-SE +5] = 11 x = 51 8 y se tiene: Mmax = M(x =) 51 8 = 9 128 2012

Ejemplo 4.4.1: Ley de Esfuerzos Cortantes

Calcular y dibujar las leyes de esfuerzos de la viga ABC de la Figura 4.9 sometida a la acción de la carga p uniformemente repartida en el tramo BC. Ley de esfuerzos cortantes Calculemos la resultante R en una sección cualquiera de la viga sumando las fuerzas aplicadas a un lado de la sección. En este caso la resultante tiene como única compo- nente el esfuerzo cortante Ty y, por lo tanto, los axiles son nulos en toda la pieza. Se tiene: Tramo AB : Ty = VA = 8 pl Tramo BC : Ty = VA +p x- 1 2 ) =- gpl + px 1

Ejemplo 4.4.1: Diagramas de Esfuerzos

Calcular y dibujar las leyes de esfuerzos de la viga ABC de la Figura 4.9 sometida a la acción de la carga p uniformemente repartida en el tramo BC. 2 pl 9 128 p/2 16 10100 MOMENTOS FLECTORES pl 8 CORTANTES 8 pl

Ejemplo 4.4.3: Estructura ABCD Empotrada

La estructura ABCD de la Figura 4.13 está empotrada en la sección A y sometida a una carga vertical p de 30 kN/m, uniformemente repartida sobre el eje de la viga CBD, inclinada un ángulo a respecto a la horizontal. Calcular y dibujar las leyes de esfuerzos. p=30 kN/m 5m D 3m a 2.5m B 1.5m C 2.5m A

Ejemplo 4.4.3: Cálculo de Reacciones

La estructura ABCD de la Figura 4.13 está empotrada en la sección A y sometida a una carga vertical p de 30 kN/m, uniformemente repartida sobre el eje de la viga CBD, inclinada un ángulo & respecto a la horizontal. Calcular y dibujar las leyes de esfuerzos. Cálculo de reacciones RA = 30 . 7,5 = 225 kN (1) MA = 225 . (5 - 3, 75) cos a = 225 kN . m (3) p=30 kN/m D B C A R=225 KN / M =225 kN.m

Ejemplo 4.4.3: Ley de Momentos Flectores

La estructura ABCD de la Figura 4.13 está empotrada en la sección A y sometida a una carga vertical p de 30 kN/m, uniformemente repartida sobre el eje de la viga CBD, inclinada un ángulo & respecto a la horizontal. Calcular y dibujar las leyes de esfuerzos. Ley de momentos flectores Calculando dorsalmente se tiene que la ley de momentos flectores en el pilar AB es constante y de valor MA = 225 kN.m. En la viga CB, para una sección a una distancia s del extremo C (ver Figura 4.14b), se tiene: M(x) =- 30 s 2 - = - 15 s x = - 15 x2 cos a

Ejemplo 4.4.3: Ley de Momentos Flectores en Viga BD

La estructura ABCD de la Figura 4.13 está empotrada en la sección A y sometida a una carga vertical p de 30 kN/m, uniformemente repartida sobre el eje de la viga CBD, inclinada un ángulo a respecto a la horizontal. Calcular y dibujar las leyes de esfuerzos. Ley de momentos flectores La ley de flectores es parabólica y para x = 2 m se obtiene MB = - 75 kN·m, valor del momento flector en la sección B del tramo CB. Análogamente, en la viga BD, para una sección a una distancia s1 del extremo D (ver Figura 4.14b) se obtiene: M(x1) =- 30 s1 x1 =- 15 $1 x1 = - 15 2 cos & ley parabólica que para x1 = 4 m toma el valor del momento flector en la sección B del tramo BD, MB = - 300 kN.m.

Ejemplo 4.4.3: Ley de Esfuerzos Cortantes

La estructura ABCD de la Figura 4.13 está empotrada en la sección A y sometida a una carga vertical p de 30 kN/m, uniformemente repartida sobre el eje de la viga CBD, inclinada un ángulo a respecto a la horizontal. Calcular y dibujar las leyes de esfuerzos. Ley de esfuerzos cortantes Calculando dorsalmente se tiene que la ley de esfuerzo cortante en el pilar AB es cero. Nótese que la ley de momentos flectores en el pilar AB es constante y, en consecuencia, su derivada primera es nula. En los tramos CB y BD se tiene, proyectando la resultante de fuerzas sobre el plano de la sección: TCB = 30 s cosa = 30 x TBD = (30 s - 225) cos a = 30 x - 225 cos a Ambas leyes son lineales, como corresponde a una variación parabólica del flector.

Ejemplo 4.4.3: Ley de Esfuerzos Axiles

La estructura ABCD de la Figura 4.13 está empotrada en la sección A y sometida a una carga vertical p de 30 kN/m, uniformemente repartida sobre el eje de la viga CBD, inclinada un ángulo a respecto a la horizontal. Calcular y dibujar las leyes de esfuerzos. Ley de esfuerzos axiles Calculando dorsalmente se tiene que la ley de esfuerzo axil en el pilar AB es de com- presión, constante y de valor N = 225 kN. En los tramos CB y BD la ley de axiles se obtiene proyectando la resultante de fuerzas sobre la normal al plano de la sección. Se tiene: NCB = 30 s sin a NBD = (30 s - 225) sin & Ambas leyes son lineales, como corresponde a una carga uniforme.

Ejemplo 4.4.3: Diagramas de Esfuerzos

X1 300 D p=30 kN/m S 1 75 B 5 X C MOMENTOS FLECTORES (kN·m) A 225 R=225 KN M =225 kN .m A X1 X1 120 51 SI 90 - a S S 45 60 X CORTANTES (kN) X AXILES (kN) T=0 225 7EX VERITATE LUX A EX LABORE VIRTUS Universidad Europea del Atlántico www.uneatlantico.es