Desarrollo de las Habilidades Matemáticas y su Enseñanza

TEORÍAS SOBRE LA ADQUISICIÓN Y DESARROLLO DEL APRENDIZAJE MATEMÁTICO Y SU IMPLICACIÓN SOCIOCULTURAL

PROFESORES: MATILDE BERNAL MANUEL CARRETERO2

EL CONOCIMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO EN EL NIÑO

TIPOLOGIA DEL CONOCIMIENTO

Aunque para el niño el mundo real es un todo global, Piaget divide el conocimiento que de él se obtiene en tres categorías diferentes: conocimiento físico, conocimiento social y conocimiento lógico-matemático.

El conocimiento físico se refiere a las características de los objetos de la realidad exterior que son percibidas por la observación de los mismos. Formarán este conocimiento propiedades físicas, tales como el color, el peso, la forma .... , y comportamientos como que un cuerpo cae, una bola rueda, una pelota rebota, ...

Las normas o convenciones establecidas por cada comunidad forman el conocimiento social o convencional. Se obtiene por transmisión social de unas personas a otras y se caracteriza por ser eminentemente arbitrario, así por ejemplo, nosotros a un determinado objeto le damos el nombre "mesa", mientras que en otro idioma ese mismo objeto recibe otro nombre distinto. Ejemplos de este conocimiento pueden ser fiestas asignadas a ciertos días del año, el lenguaje y las normas sociales.

El conocimiento lógico-matemático se compone de las relaciones construidas mentalmente por cada individuo, como pueden ser igualdad, diferencia, similitud, comparaciones y el concepto de número.

Los tres tipos de conocimiento son necesarios e imprescindibles para obtener una configuración completa del mundo y no se puede afirmar que uno sea más importante que los otros. Tanto el conocimiento físico como el social necesitan de un marco lógico-matemático para su asimilación y organización y al contrario.

La fuente del conocimiento físico es en gran medida externa al sujeto, de manera que éste abstrae una propiedad del objeto observado ignorando otras. Este tipo de abstracción se denomina EMPIRICA. Por otro lado, la fuente del conocimiento lógico- matemático es interna. El sujeto a través de la abstracción REFLEXIONANTE o CONSTRUCTIVA forma relaciones entre objetos que no tienen existencia en la realidad.3

Sin embargo, en el niño pequeño no pueden darse por separado ambas abstracciones. Así, para poder establecer la relación diferente (REFLEXIONANTE) el niño tiene que haber observado propiedades distintas en los objetos (EMPIRICO). De igual manera, para poder darse cuenta de que el objeto que ve es rojo (EMPIRICO), tiene que tener un esquema mental de clasificación que distinga el rojo de otros colores. Cuando el niño va creciendo, se puede dar la abstracción reflexionante sin la empírica, por ejemplo para comprender números grandes no se necesita experimentar con conjuntos de esa cantidad de elementos.

Por último, resaltar que aunque en el conocimiento social la información viene de los demás, del exterior, también se requiere un marco lógico-matemático. Por ejemplo, para adquirir la norma de no jugar en un lugar peligroso tiene que haber establecido relación entre distintos lugares y clasificarlos en más o menos adecuados.

ACTIVIDAD: Agrupación de elementos según tipos de conocimientos

Agrupa los elementos de la siguiente lista según los tipos de conocimientos. Si alguno se puede ver bajo diferentes puntos de vista coméntalo.

• Esta lanza tiene más punta.
• El sonido de un tambor
• La lanza se clava en un animal
• Prohibido pasar
• Las ratas no se comen
• En la bandeja hay dos fichas
• La forma de una caja
• Un mes tiene treinta días
• Una ficha roja y otra rosa son similares
• Dos y tres son cinco4

EL PROCESO DEL CONOCIMIENTO LÓGICO-MATEMÁTICO

El conocimiento lógico-matemático en los niños se va adquiriendo a través de su continua interacción con la realidad que les rodea: objetos, personas o situaciones significativas, alcanzando su maduración mediante un proceso que se desarrolla en tres fases:

• FASE MANIPULATIVA, en la que existe un contacto constante y directo con los objetos.
• FASE GRÁFICA, en la que se representan las diversas situaciones manipuladas.
• FASE ABSTRACTA, en la que se llega a la conceptualización de lo experimentado al compararlo y confrontarlo con otras experiencias y situaciones análogas.

Existen, básicamente, dos teorías generales sobre el aprendizaje: la teoría de la absorción y la teoría cognitiva. A continuación las analizaremos en relación al conocimiento lógico-matemático.

TEORÍA DE LA ABSORCIÓN

Afirma que el conocimiento se imprime en la mente desde el exterior y está formado por una colección de datos que se aprenden por medio de la memorización. Las características fundamentales de esta teoría son:

• Aprendizaje por asociación: el conocimiento matemático es una colección de datos y hábitos compuestos por elementos básicos denominados asociaciones. Por ejemplo: al par numérico 2 y 4 se le asocia con el número 8, su producto, de manera que cuando el niño ve 2 × 4 busca en su memoria el producto asociado, respondiendo 8.
• Aprendizaje pasivo y receptivo: aprender comporta copiar datos y técnicas en un proceso esencialmente pasivo y repetitivo. La persona que aprende solo necesita ser receptiva y estar dispuesta a practicar con el fin de memorizar las asociaciones sin necesidad de comprenderlas. Sería el caso de aprender de memoria las tablas de multiplicar.5

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Aprendizaje acumulativo: el conocimiento crece a base de almacenar nuevos datos y técnicas junto a los existentes, memorizando nuevas asociaciones. Por ejemplo: memorizar el algoritmo de la suma formado por la secuenciación de varios hábitos sencillos.

• Aprendizaje eficaz y uniforme: al ser para esta teoría el aprendizaje un proceso de copia, éste debe producirse con rapidez y fiabilidad a un ritmo relativamente constante para todos los niños de una misma etapa.
• Control externo: el aprendizaje y la motivación del niño se controla desde el exterior por el maestro mediante recompensas.

TEORÍA COGNITIVA

Afirma que el conocimiento no es una simple acumulación de datos, sino elementos de información conectados por relaciones que forman un todo organizado y significativo elaborado desde el interior de la persona, es decir, normalmente no almacenamos todos los detalles o datos sino que tendemos a memorizar relaciones que resumen la información relativa a muchos casos particulares, pudiendo de esta manera almacenar mucha más información en menos espacio.

Las características fundamentales de esta teoría son:

• Construcción activa del conocimiento: la comprensión se construye desde el interior mediante el establecimiento de relaciones entre informaciones nuevas y lo que ya se conoce (ASIMILACIÓN), o entre piezas de información conocidas pero aisladas previamente (INTEGRACIÓN). (Ejemplos en fig. 1 y fig.2)
• Cambios en las pautas de pensamiento: establecer una conexión puede modificar la manera en que se organiza el pensamiento del niño, aportando nuevos puntos de vista necesarios para el desarrollo de la comprensión. Este cambio se denomina ACOMODACIÓN. Por ejemplo, si un niño descubre la relación entre las combinaciones de la resta y las de la suma, podrá modificar su forma de pensar y resolverá la resta pensando: "¿qué número hay que sumar al sustraendo para que dé el minuendo?" en lugar de realizar un laborioso cálculo6

CONOCIMIENTO NUEVO Relaciona CONOCIMIENTO PREVIO "El O es el nombre del número que representa sumar nada" "Si no se añade nada a un conjunto éste permanece invariable" RESPONDE CORRECTAMENTE A todas las expresiones del tipo "3+0. 6+0. "

ASIMILACIÓN Figura 1. Ejemplo del proceso de asimilación

CONOCIMIENTO EXISTENTE Se conectan CONOCIMIENTO EXISTENTE "Cada mano tiene 5 dedos y diez entre las dos" "Suma correctamente 5+5" PRÁCTICO FORMAL RESPONDE AUTOMÁTICAMENTE "10 al plantearle 5+5, sin calcular la suma"

INTEGRACIÓN Figura 2. Ejemplo del proceso de Integración.

• Límites del aprendizaje: al no ser una simple absorción de información la capacidad para aprender tiene límites. La comprensión matemática se realiza poco a poco y al establecer conexiones entre los conocimientos existentes, el aprendizaje significativo depende de la preparación individual.
• Regulación interna: el aprendizaje puede ser una recompensa en sí mismo. A medida que su conocimiento se va ampliando, los niños buscan espontáneamente retos más difíciles.7

Durante la mayor parte del siglo XX la teoría de la absorción ha dominado en el campo del aprendizaje, explicando con claridad las formas más sencillas de aprendizaje (memorizar un teléfono, formación de un hábito), pero no ha podido explicar convincentemente formas más complejas como la memorización de información significativa o la resolución de problemas, las cuales si pueden explicarse desde la teoría cognitiva.

La matemática, aunque en parte es una colección de datos y procedimientos, en el fondo es una ciencia orientada a la búsqueda, la especificación y la aplicación de relaciones, en un proceso continuo de resolución de problemas: observar los indicios y combinarlos, reordenar las evidencias y observar el problema desde una perspectiva nueva. Por ello, el conocimiento matemático debe abordarse desde un planteamiento más significativo que asociativo.8

LA FORMACIÓN DE CONCEPTOS EN EL NIÑO

NATURALEZA DE LOS CONCEPTOS

Un concepto es una agrupación de objetos, acontecimientos o situaciones que reúne entes con atributos comunes que los hacen equivalentes unos a otros y que se expresa, en toda cultura por un signo o símbolo.

Según el número de características diferenciadoras de los elementos componentes de una agrupación, los conceptos pueden ser:

• Conceptos supraordinados: poseen el mayor número de elementos como componentes de la agrupación.
• Conceptos básicos: tienen mayor número de características diferenciadoras que los anteriores.
• Conceptos subordinados: reúnen más características relevantes que los dos anteriores.

Por ejemplo:

POLIGONOS Supraordinado Básico TRIÁNGULOS Subordinado EQUILÁTEROS s

Las funciones básicas que desarrollan los conceptos son las siguientes:

• Clasificar los estímulos considerando a un conjunto de ellos como equivalentes entre sí y diferentes a los de otro conjunto.
• Permitir comportamientos idénticos ante cualquier estímulo.
• Reducir el número de estímulos a dimensiones manejables disminuyendo la complejidad del entorno.
• Ampliar la clasificación conceptual al ser susceptibles de integrar unos conceptos en otros que los incluyen