Ecuaciones Diofánticas: lineales y no lineales, métodos de resolución

OPOSICIONES SECUNDARIA MATEMÁTICAS

TEMA 15 ECUACIONES DIOFÁNTICAS

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OPOSICIONES SECUNDARIA MATEMÁTICAS

1. INTRODUCCIÓN
1. JUSTIFICACIÓN DE LA ELECCIÓN DEL TEMA
2. RESEÑA HISTÓRICA
2. ECUACIONES DIOFÁNTICAS LINEALES
1. ECUACIONES DIOFÁNTICAS LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
2. MÉTODOS DE OBTENCIÓN DE UNA SOLUCIÓN PARTICULAR
3. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
4. ECUACIONES DIOFÁNTICAS LINEALES CON n INCÓGNITAS
3. SISTEMAS DE ECUACIONES DIOFÁNTICAS LINEALES
4. ECUACIONES DIOFÁNTICAS NO LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
1. ECUACIÓN DE PRIMER GRADO RESPECTO A UNA INCÓGNITA
2. LA ECUACIÓN x2 - y2 = a
3. LA ECUACIÓN DE PELL
4. LA ECUACIÓN DE MORDELL
5. ECUACIONES DIOFÁNTICAS NO LINEALES CON MÁS DE DOS INCÓGNITAS
1. LA ECUACIÓN PITAGÓRICA
2. LA ECUACIÓN x2 + y2 + z2 = t2
3. EL ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT
6. CONCLUSIÓN
1. IMPORTANCIA Y APLICACIONES
2. RELACIÓN CON EL CURRÍCULO
7. BIBLIOGRAFÍA

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS

JUSTIFICACIÓN DE LA ELECCIÓN DEL TEMA

El presente tema se caracteriza por ser coherente e innovador ya que parte del primer nivel de
concreción curricular que son las bases legales que regulan nuestro sistema educativo, como la Ley
Orgánica 3/2020 (LOMLOE), de 29 de diciembre, por la que se modifica la Ley Orgánica 2/2006, de
3 de mayo de educación (LOE), la Ley de Educación en Andalucía 17/2007 de 17 de diciembre (LEA),
y fundamental e imprescindible la Orden del 30 de mayo de 2023.
Las matemáticas, presentes en casi cualquier actividad humana, tienen un marcado carácter
instrumental que las vincula con la mayoría de las áreas de conocimiento: las ciencias de la naturaleza,
la ingeniería, la tecnología e incluso el arte o la música. En particular, las ecuaciones, tanto lineales
como no lineales, así como los sistemas de ecuaciones, tiene una vertiente, a veces poco estudiada,
pero que se presenta muy a menudo en la vida real.
Debido a su gran variedad y a la no existencia de un método general de resolución nos limitaremos
en el desarrollo de este tema a discutir algunas de las más importantes.

RESEÑA HISTÓRICA

Se ha tomado como referencia bibliográfica para desarrollar este apartado, el libro de: IFRAH, G .:
Historia universal de las cifras.
El origen de las ecuaciones diofánticas, y de ahí su denominación, hay que buscarlo en la famosa
obra "Arithmetica" de matemático griego Diofanto de Alejandría (S. III).
El estudio de las soluciones enteras de los problemas diofánticos no empieza realmente hasta los
matemáticos chinos e indios de la alta edad media, ya que Diofanto sólo buscaba soluciones enteras
en casos excepcionales, y en general, se contentaban con encontrar soluciones en números
racionales.
Cabe hacer mención al matemático francés Pierre de Fermat (S.XVII), considerado el fundador de la
teoría de números. Fermat estudió la obra "Arithmetica" de Diofanto y anotó sus observaciones en
los márgenes de la obra. Después de su muerte, su hijo publicó la "Arithmetica" con esas notas
marginales, muchas de las cuales se convirtieron en teoremas importantes de la teoría de los
números.
El método general de resolución de ecuaciones diofánticas fue uno de los problemas de Hilbert (S.
XIX- XX) propuesto a la comunidad matemática en el congreso de París de 1900. Se ha demostrado
que la existencia de un algortimo que las resuelva es indecible, es decir, no es posible encontrarlo,
pero tampoco se puede demostrar su no existencia.

ECUACIONES DIOFÁNTICAS LINEALES

ECUACIONES DIOFÁNTICAS LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

Definición
Llamamos ecuación diofántica lineal con dos incógnitas a la ecuación de la forma ax + by = c donde
a, b, c E Z y las soluciones buscadas son enteras. Se dirá que ax + by = c es una ecuación diofántica
reducida si mcd(a, b) =1.
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Nota
Cualquier ecuación diofántica lineal con dos variables puede ponerse en la forma ax + by = c.
Además, si a o b son cero, el problema es trivial, por lo que estudiaremos ecuaciones diofánticas en
dos variables con a # 0 y b # 0.
Teorema
Sean a, b, c E Z. Entonces la ecuación ax + by = c tiene solución entera si y sólo si el mcd(a, b)|c.
Demostración
=
Si d = mcd (a, b) y x, y E Z son solución de la ecuación, entonces:
Ba' E Z/a = d . a')
Eb' E Z/b = d . b')
d . a' . x + d . b' . y = c = d . (a' . x + b' . y) = c =d\c
=] Si d = mcd (a, b) entonces, por la identidad de Bezout, existen k, h E Z tales que d = a · h + b . k.
Por hipótesis tenemos que d|c. Por tanto, existe m € Z tal que:
c = m · d = m · (a · h + b · k) = a . (m . h) + b . (m . k)
Por lo que, (mh, mk) es una solución.
Teorema
Si d = mcd(a, b), d|c y (x), yo) es una solución particular de la ecuación diofántica lineal ax + by = c,
entonces cualquier otra solución (x, y) de dicha ecuación viene dada por:

d
bt
at
y = yo a
x = X0 +-
cont EZ (Ecuación general)
ン

MÉTODOS DE OBTENCIÓN DE UNA SOLUCIÓN PARTICULAR

I) Método de Euler

Definición
Se define un sistema completo de números incongruentes módulo a, a todo conjunto de a números
enteros cuyos restos al dividir por a son distintos (son los a restos posibles).
Ejemplo:
Resolver la ecuación 37x - 13y = 8, que sabemos que tiene solución ya que el mcd(37,13) = 1|8.
Así:
y = -
37x -8)
13
13|37x - 8
x = 0,1, ... ,12
y E Z
Para x0 = 9 => yo =
37.9-8
13
= 25. Luego:
( x = 9-13t
\y= 25 - 37t
tez
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II) Método basado en las congruencias

Supondremos la ecuación diofántica reducida ax + by = c. Haciendo el cambio x = c . u, y = c . v,
además de dividir por c, la ecuación se transforma en au + bv = 1.
Ejemplo:
Resolver meramente la ecuación: 37x - 13y = 8
37 . 8u - 13 . 8v = 1 . 8 => 37u -13v =1 =>13v =37u -1 =>37 . u =1 (mod 13)
11 . ū = 1 (mod 13)}
ū = 6 (mod 13) -> u0 = 6 (menor valor)
ū E {0, ... , 12}
: 17
37 . up - 13 . v0 = 1:35 xo=48(6 .8 =48)
(yo = 136 (17 . 8 = 136)
V0 =
37 . u0 - 1
13
37. 6-1
Deshaciendo el cambio
13
[ x = 48- 13p
\= 136 - 37p
con p EZ

III) Método basado en el algoritmo de Euclides

Suponemos la ecuación diofántica reducida ax + by = c con mcd(a, b) = 1. Encontrar una solución
particular se reduce a encontrar una solución de au + bv = 1, pues si encontramos h, k € Z/ah +
bk = 1, entonces a · (hc) + b · (kc) = c, y tendríamos la solución (hc, kc) de la ecuación de partida.
Pero la existencia de h y k está garantizada por la igualdad de Bezout, al ser mcd(a, b) = 1.
Para hallar h y k recurrimos al algoritmo de Euclides.
Ejemplo:
Volvemos a resolver la ecuación: 37x - 13y = 8
Mediante el algoritmo de Euclides, hallamos mcd (37,13):
37 |13
5
2
|1
11
2
13
|11
1
11 |2
1
0
2
mcd(37,13) = mcd(13,11) = mcd(11,2) = mcd(2,1) = 1 -> Último resto no nulo
Hallamos la solución particular de la ecuación: 37u - 13v = 1
Identidad Bezout
Como mcd(37,13) = 1
Bu0, Vo E Z/37u0 - 13v0 = 1.
Según el algoritmo de Euclides (D = d · c + r =>r = D - d . c):
1 = 11 - 5 . 2 = 11 - 5 . (13 - 1 . 11) = 6 . 11 - 5 . 13 = 6 . (37 -13 . 2) - 5 . 13 = 6 . 37 - 17 . 13
=
Suo = 6 = x) = 6 .8 =48
(Vo = 17 => yo = 17 . 8 = 136
x = 48-13p
[x = x0 + bt
Solución general:
\y = 136 - 37p
PEZ=
(y = yo - at
Ecuación general

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

Una ecuación diofántica lineal con dos variables se representa, eligiendo un sistema de ejes
cartesianos rectangulares, mediante una recta. Las soluciones de la ecuación vienen dadas por los
puntos de la recta cuyas coordenadas son ambas número enteros.
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Ejemplo:
3x - 2y = 5

6
(5, 5)
4
2
(3, 2)
0
2
4
6
8
-2

ECUACIONES DIOFÁNTICAS LINEALES CON n INCÓGNITAS

Definición
Se llama ecuación diofántica lineal con n incógnitas a toda ecuación de la forma: a1. X1 + @2 . X2 +
... + an · Xn = c donde a¡ E Z, c E Z y las soluciones buscadas son también enteras.
Teorema
La ecuación lineal diofántica a1 . X1 + @2 . X2 + ... + an · Xn = c tiene solución en Z si y sólo si d =
mcd (a1, a2, ... , an)|c.
Teorema
Sea a1 . X1 + @2 . X2 + ... + an . Xn = c una ecuación diofántica lineal que tiene solución y cumpliendo
que mcd (a1, ... , an) = 1 (de no ser así, tan solo habría que dividir la ecuación por d = mcd (a1, ... , an)).
Si mcd(a1,a2) = 1 y (a,B) es una solución de la ecuación a1. X1 + 2 . X2 = 1, entonces son
equivalentes:
a) (x1, x2, ... , Xn) es solución de a1 . X1 + @2 . X2 + ... + an . Xn = C
b) Et E Z tal que
Sx1 = a . (c - a3x3 - ... - anxn) + azt
(X2 = B . (c - a3x3 - ... - anXn) - a1t

SISTEMAS DE ECUACIONES DIOFÁNTICAS LINEALES

Como consecuencia del teorema de Rouché-Frobenius es fácil probar los siguientes teoremas:
Teorema (Condición necesaria de existencia de solución entera)
Sea el sistema de ecuaciones diofánticas lineales:
@11×1 + ... + @1nXn = C1
(S) =
@21×1 + ... + @2nxn = C2
que tiene solución entera. Entonces se verifica:
am1x1 + ... + amnXn = Cm
a) rg(A) = rg(A*) = r, siendo A la matriz de los coeficientes y A* la matriz ampliada de los
coeficientes.
b) mcd (aj1, ai2, ... , ain)|ciVi = 1, ... , m
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Teorema (Condición suficiente de existencia de solución entera)
Sea (S) el sistema de ecuaciones diofánticas como en el teorema anterior, que verifica:
a) rg(A) = rg(A*) = r, siendo A la matriz de los coeficientes y A* la matriz ampliada de los
coeficientes.
a11
...
a1r
...
= ±1
...
b) 4= @21 @22
...
a12
ar2
arr
a2r
ar1
Ejemplo:
( 2x + y + z - 2t = 5
(3x+2y-z + 4t = 1
( 2x + y = 5 - z + 2t
(3x+2y = 1+z - 4t
Así, 4=
2 1|
=1
3 21
Aplicando la regla de Cramer:
1
2
x =
5-z+ 2t
1 +z-4t
1
2
= 9-3z + 8t; y =
3
1+z-4t
1
5-z + 2tl
=- 13+5z-14t
La solución del sistema es: (x, y,z,t) =(9-3z+8t,-13+ 5z -14t,z,t) con z,t E Z.

ECUACIONES DIOFÁNTICAS NO LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

Mientras que el problema diofántico lineal queda resuelto, en general, para n incógnitas, a nivel
teórico no ocurre lo mismo en el caso de las ecuaciones diofánticas no lineales. Veamos, pues, algunos
tipos muy particulares, sobre todo cuadráticas, cuya resolución puede ser abordada por
procedimientos muy específicos y que tengan cierto interés histórico o práctico en relación a
problemas particulares.

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO RESPECTO DE UNA INCÓGNITA

Se ha tomado como referencia bibliográfica para desarrollar el siguiente punto, el libro: APOSTOL,
TM .: Calculus
Se trata de uno de los dos tipos: p(x) - by = c ó ax - q(y) = c.
No siempre tiene solución, pero una posibilidad de resolverla consistiría en despejar la incógnita de
primer grado:
p(x) - by = c=y=
p(x) -c
b
r(x)
b
Ejemplo:
Resolver la ecuación diofántica: x2 + 5x + 4 + 6y = 0, entonces:
y = -
x2 + 5x + 4 r(x)
6
6
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