Estudio global de funciones y aplicaciones a la representación gráfica

Introducción al Estudio de Funciones

El concepto de función es uno de los pocas ideas matemáticas elementales que no tiene su origen en la Antigüedad. De hecho, podríamos situar las primeras ideas en la filosofía escolastica medieval, en especial en el trabajo de Nicolás Oresme en el siglo XIV. Galileo prosiguió este enfoque funcional en el estudio del movimiento uniformemente acelerado, pero tampoco utilizó el concepto de derivada. Asimismo es necesario destacar el trabajo de Pascal y Fermat con la Geometría Analítica, más en el contexto de curvas que de funciones. El gran impulso vino en el siglo XVII, con el descubrimiento del Cálculo Infinitesimal. Fueron Newton y Leibniz los de que desarrollaron de modo independiente este extraordinario instrumento. Por primera vez aparecen métodos sistemáticos para la representación gráfica de funciones. El trabajo de Taylor a principios del siglo XVIII finaliza este enfoque. De hecho, puede decirse que ensencial- mente todos los resultados que trataremos este tema ya eran conocidos a mediados en el siglos XVIII. El propio Newton publicó un estudio sistemático de todas las curvas de tercer grado

Justificación y Relaciones con Otras Materias

De acuerdo con el Real Decreto 217/2022, de 29 de marzo para ESO y el Real Decreto 243/2022, de 5 de abril para Bachillerato, el concepto de función se trabaja a lo largo de toda la Secundaria, de primero de ESO a Segundo de Bachillerato. En Asturias [cambiar si es otra Comunidad o no poner nada] se concreta via los decretos autonómicos 59/2022, de 30 de agosto para ESO y 60/2022, de 30 de agosto para Bachillerato. Las representaciones gráficas comienzan a realizarse, uniendo puntos, en primero de ESO, esencialmente para rectas. Progresivamente se van introduciendo nuevas funciones en el segundo ciclo para en Bachillerato realizar ya un estudio riguroso. Las aplicaciones de la representación gráfica de funciones a otras materias son innumerables. Observamos en Aeronáutica representaciones de trayectorias, en Química curvas que nos muestran como varía una magnitud con otra (presión y volumen, temperatura y energía ... ), en Economía relaciones en modelos como el IS-LM etc.

Definición de Función y Planteamiento del Tema

Recordemos que, dado un conjunto D @ R llamado dominio, y denotado Dom(f) o simplemente D, una función real de variable real es una aplicación f : D > R. Esta función puede tener o no una expresión explícita. Graficar una función es representar en el plano el conjunto de todos los puntos de la forma (x, f(x)), que recibe el nombre de grafo de la función. Puesto que dichos puntos son infinitos, se trata de estudiar la función para hacer el dibujo de forma aproximada. En esencia, el estudio de funciones es aproximar localmente una función genérica por funciones que conozcamos, típicamente lineales o cuadráticas. Para ello, asumiremos conocidos los resultados sobre continuidad y derivación de funciones. Hay dos que utilizaremos especialmente. Pertenecen a otros temas y aquí nos limitaremos a citarlos.

Proposición: Polinomio de Taylor con Resto de Lagrange

Sea f E C(n+1) (I), a € I. Entonces, para todo x E I existe un valor cx € I tal que: f(x)= f(a) + f'(a)(x-a) +' ƒ"(a) 2! (x - a)2 + ... f(n)(a) n! (x -a)" + f(n+1)(Cr) (n+1)! (x - a)n+1 (Version 2024) Apuntes de oposición Andrés García Mirantes.

Proposición: Teorema del Signo y del Entorno

Sea f(x) continua en un punto a con f(a) 0. Entonces existe un 8 > 0 tal que f(x) tiene el mismo signo que f(a) en (a - 8, a + 8). A lo largo del tema y en aras de una mayor claridad expositiva, asumiremos, salvo que se diga expresamente lo contrario, funciones C(e) a trozos y su dominio será D = I que denotará un intervalo abierto, acotado o no. Si bien algunos resultados pueden deducirse con hipótesis más débiles, se pierde claridad. Y quizás el tribunal pueda considerar cuántas funciones con las que ha trabajado no son C(2) a trozos.

Características que Abrevian el Dibujo

Algunas características de las funciones permiten dibujar solo una parte y deducir de ella el resto. Son dos, la periodicidad y la simetría.

Periodicidad de Funciones

Se dice que una función y = f(x) es periódica si existe un número T para el cual f(x+T) = f(x) Vx € D; es decir, cuando su gráfica se repite cada tramo de longitud T. Cuando esto ocurre, también se verifica que f(x+2T)= f(x+3T)= f(x-T) = f(x+kT). Al menor T que verifica esta definición se le denomina periodo. Si una función es periódica nos limitaremos a estudiar un tramo de la misma (un período). Después de repre- sentarla bastará repetir dicho dibujo otra vez a su derecha y a su izquierda. Algunos ejemplos son:

Función	Período
sen x	2.TT
COS x	2π
tg x	TT
sen kx	k
cos kx	27T
tg kx	k
2 sen x	2.TT
cos 2x	π
sen 2x	TT
. . .

Simetría de Funciones

• Función par, f(-x) = f(x). Si una función verifica que f (-x) = f(x) Vx E Dom(f), es decir, toma los mismos valores a los dos lados del eje vertical, entonces, se dice que es simétrica respecto al eje OY. A estas funciones se las llama pares, porque las funciones analíticas (y en particular las polinómicas) que cumplen esta condición sólo tienen término con exponente par.
• Función impar, f(-x) = - f(x). Si f(-x) = - f(x) Vx E Dom(f) entonces la función es simétrica respecto del origen de coorde- nadas. (Version 2024) Apuntes de oposición Andrés García Mirantes.

A estas funciones se las llama impares porque las funciones analíticas (y en particular las polinómicas) que cumplen esta condición sólo tienen término con exponente impar.

Crecimiento de Funciones

Intuitivamente, una función es creciente si va hacia arriba. De un modo más formal, una función es estrictamente creciente en un intervalo I si Va,bE I,a <b-> f(a) < f(b) Se habla de crecimiento en sentido amplio si la segunda desigualdad no es estricta, es decir Va, bE I,a <b->f(a) ≤f(b) y decreciente si la segunda desigualdad se invierte. Vemosa continuación un dibujo de funciones crecientes y decrecientes respectivamente.

El estudio del crecimiento es esencialmente aproximar por rectas. Es conocido que si y = mx + n es una recta, es creciente si m > 0 y decreciente si m < 0. Lo que vamos a hacer pues es considerar f(x)=f(a) + f'(a)(x-a)

Teorema de Crecimiento

Sea f E C(1) (I). Si para todo x E I se verifica: 1. f'(x) > 0 entonces f es estrictamente creciente en I. (Version 2024) Apuntes de oposición Andrés García Mirantes.

2. f'(x) < 0 entonces f es estrictamente decreciente en I. 3. f'(x) = 0 entonces f es constante en I.

Demostración del Teorema de Crecimiento

Vamos a probar (1), (2) es simplemente cambiar f por - f. Sean a, b E I, a < b. Por el teorema de Taylor f(b)= f(a) + f'(cb)(b-a) >f(a) puesto que f'(cb) > 0 y b- a>0. En cuanto a (3) lo que se tiene es f(b) = f(a)+f'(cb)(b-a) = f(a) de modo que f(b) = f(a) para cualesquiera a y b.

Crecimiento en un Punto

El concepto de crecimiento no tiene sentido en un punto aislado. Por ello, utilizaremos el concepto de propiedad local. Sea P una propiedad definida para intervalos. Diremos que la propiedad P se verifica en un punto a si existe un 8 > 0 tal que la propiedad se verifica en (a - 8, a + 8). Así, diremos que una función es creciente en un punto si lo es en un entorno del punto.

Corolario 1: Crecimiento en un Punto

Sea f E C(1) (I). Sea a € I, Entonces : 1. Si f'(a) > 0 entonces f es estrictamente creciente en a. 2. Si f'(a) < 0 entonces f es estrictamente decreciente en a.

Demostración del Corolario 1

Como antes, vamos a ver solo (1). Si f'(a) > 0 existe un entorno de a donde f'(x) > 0. en ese entorno aplicamos el teorema anterior. Veamos ahora los recíprocos. Son sencillos, puesto que se cubren todos los casos.

Corolario 2: Recíprocos del Crecimiento

Sea f E C(1) (I). Sea a € I, Entonces: 1. Si f es creciente (en sentido amplio) en a, entonces f'(a) ≥ 0. 2. Si f es decreciente (en sentido amplio) en a, entonces f'(a) ≤ 0.

Demostración del Corolario 2

Como antes, veremos (1), (2) es análogo. Sea f creciente. Si fuera f'(a) < 0 entonces sería estrictamente decreciente, lo que es imposible. Luego debe ser f'(a) ≥ 0.

Máximos y Mínimos de Funciones

Intuitivamente, el máximo es el valor más grande y el mínimo es el más pequeño. La definición rigurosa es decir esto con otras palabras.

Concepto y Propiedades de Extremos

Se dice que una función f de dominio D tiene un máximo absoluto estricto en un punto a si f(a) > f(x) para todo x € D. A veces se restringe el conjunto, de modo que si M & D hablamos de máximo en un conjunto M. Si la desigualdad es amplia se dice máximo absoluto en sentido amplio (o simplemente máximo absoluto) y si se invierte se habla de mínimo. Nótese que máximo de f es lo mismo que mínimo de -f y viceversa. Como en crecimiento, esta propiedad se puede hacer local. Así, f tiene máximo local (también llamado máximo relativo) en un punto a si existe un intervalo (a - 8, a + 8), en el que a sea máximo absoluto.

Los máximos y mínimos reciben el nombre común de extremos.

Proposición sobre Extremos Relativos

Sea f E C(1) (I). Si a es un extremo relativo entonces f'(a) = 0.

Demostración de la Proposición

Por las condiciones sobre crecimiento, no puede ser f'(a) > 0 pues sería creciente ni f'(a) < 0 pues sería decreciente. Sólo queda el 0.

Nota sobre el Recíproco

El recíproco no es cierto, es posible que f'(a) sea 0 aunque a no sea extremo. El ejemplo más sencillo nos lo da la función f(x) = x3. En este caso, f'(0) = 0, pero f no tiene máximo ni mínimo local en ningún punto.

Determinación de Máximos y Mínimos

Ya hemos visto que es condición necesaria para que la función f(x) tenga en a un extremo es que f'(a) = 0. Vamos a ver la condición suficiente. Se trata de notar que un máximo es un valor en el que la función pasa de crecer a decrecer.