Conceptos fundamentales de la lógica proposicional del Centro de Altos Estudios

Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI

• Identificar tautologías y contradicciones.
• Aplicar las reglas de inferencia para determinar la validez de un razonamiento.
• Conocer los distintos tipos de demostraciones.
• Determinar la validez de una demostración.

Proposición

Se llama así a toda oración (en el sentido gramatical de la palabra) que atribuye alguna propiedad o cualidad a un objeto o conjunto de objetos que puede ser verdadero o falso pero no ambas cosas simultáneamente. El carácter verdadero o falso de la proposición lo simbolizaremos por V y F, respectivamente. Es lo que llamaremos valores de verdad.

Se suele utilizar letras minúsculas para representar proposiciones de manera general. Adoptaremos las letras p, q, r, ... Se mantiene la hipótesis de que puedan tomar los valores V o F pero no ambos a la vez.

Ejemplos de Proposiciones

Son proposiciones las siguientes:

• El triángulo tiene tres lados.
• La astronomía es una ciencia.
• Hace calor
• 3+12 = 20
• x>4

En ellas podemos establecer los valores V o F y en ningún caso se pueden dar los dos valores. En la última, para cada valor que se dé a x la proposición toma uno de los valores V o F. Es eso lo que les da carácter de proposición.

Expresiones que no son Proposiciones

Obsérvense las siguientes expresiones:

• ¡Estate quieto!
• ¿Hará buen tiempo mañana?

No es posible determinar los valores V o F porque el primero es una orden mientras que en la segunda no es posible determinar ese valor hasta que no llegue mañana.

(*)Nota: Si consideramos la última expresión x > 4, estamos ante una expresión de la que no podemos indicar si es verdadera o falsa por cuanto que no se nos dice cuánto vale x. Como no podemos especificar su valor, entonces no es una proposición. Obviamente, si hacemos x = 7, entonces sería una proposición que toma el valor V.

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Así, podemos adoptar la siguiente definición.

Definición de Proposición

Una proposición es una oración declarativa que es verdadera o falsa, pero no ambas a la vez.

Conectivos. Proposiciones simples y compuestas.

Conectivos

Presentamos los llamados conectivos lógicos como aquellas palabras o grupos de palabras que permiten conectar proposiciones entre sí o bien modificar el valor de verdad de una proposición. Son los siguientes que analizaremos posteriormente:

Nombre	Conectivo
Negación	no
Conjunción	Y
Disyunción	o
Condicional	si ... entonces
Bicondicional	si y solo si

A veces se usan términos lingüísticos equivalentes como, por ejemplo, "implica" en lugar del "si ... entonces".

Definición de Proposición Simple y Compuesta

Una proposición es simple o atómica cuando no contiene ningún conectivo, y compuesta o molecular en caso contrario

Ejemplos de Proposiciones

Proposiciones simples:

Hoy es lunes. Mañana es martes. Raquel estudia matemáticas. Aprobó la asignatura

Proposiciones compuestas, formadas a partir de las simples anteriores:

Si hoy es lunes, entonces mañana es martes. Raquel estudia matemáticas y aprobó la asignatura. No aprobó la asignatura.

Notación de Conectivos

Con el fin de simplificar la escritura, a los conectivos se les nota con un símbolo que será utilizado en su lugar, salvo que convenga usar la expresión lingüística. Son estos:

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no	¬
Y	∧
o	∨
si ... entonces	→
si y solo si	↔

En el ejemplo anterior:

Proposiciones simples:

Hoy es lunes. (La denotaremos por p). Esto es, p: Hoy es lunes q: Mañana es martes. r: Raquel estudia matemáticas. s: Aprobó la asignatura.

Proposiciones compuestas, formadas a partir de las simples anteriores, quedarían simbolizadas:

Lenguaje natural	Simbolización lógica
Si hoy es lunes, entonces mañana es martes.	p → q
Raquel estudia matemáticas y aprobó la asignatura.	r ∧ s
No aprobó la asignatura.	¬s

Ejercicio 1

Les proponemos los siguientes ejercicios:

Para las siguientes proposiciones, identifica las proposiciones simples que las componen (asígnales una letra) y simbolízalas mediante notación lógica:

a) Alberto quiere sopa y pescado. b) Este curso no es fácil. c) Si x =2 entonces x2 =4. d) Antonio es el ganador o Javier hizo trampa. e) Mario se casó y tiene dos niños. f) 5 es par o es impar. g) Hoy no haremos las prácticas en el patio.

Tabla de verdad

Ya hemos indicado que toda proposición simple toma los valores V o F pero cuando se trata de una proposición compuesta, su valor depende del que tomen las proposiciones simples. Pues bien, los valores de una proposición compuesta se pueden sintetizar en lo que llamaremos su tabla de verdad.

La tabla de verdad por tanto recoge de manera organizada el valor de verdad de la proposición compuesta para todas las combinaciones de valores de verdad de las proposiciones simples que la integran, esto es, determina su valor de verdad para todos los los casos posibles. De esta manera cada fila de la tabla constituye un posible caso (con unos valores

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de verdad de las proposiciones simples muy concretos y únicos) del que se deduce el valor de verdad de dicha proposición compuesta.

El número de filas o casos posibles de una tabla de verdad, vendrá determinado por tanto por el número de proposiciones simples que forman la proposición compuesta de estudio. Dado que cada proposición simple solo puede adoptar los valores V o F (pero no ambos a la vez), el número de filas de la tabla de verdad será 2ⁿ, siendo n el número de proposiciones simples que la forman, ya que se trata de todas las variaciones con repetición de los elementos V y F que pueden repetirse hasta n veces

Estudiaremos a continuación la tabla de verdad de cada uno de los conectivos anteriores.

Definición de Negación de una Proposición

Si a la proposición p se le añade el conectivo "no", entonces se obtiene la proposición "no p" que simbolizaremos por: ¬p. Es verdad si p es falsa, y falsa si p es verdad.

Ejemplos de Negación

p: la carretera es rectilínea. ¬p: la carretera no es rectilínea q: estuve estudiando. ¬q: no estuve estudiando

Tabla de verdad de la Negación:

p	¬p
V	F
F	V

Así que la proposición ¬p toma el valor contrario de la proposición p.

Definición de Conjunción

Dadas dos proposiciones p, q, se llama conjunción de p y q a la proposición compuesta que relaciona dichas proposiciones mediante el conectivo lógico "y". Se representa por: p ∧ q.

Ejemplos de Conjunción

p: 5 es un número par ; q: 5/8 es un número fraccionario. p ∧ q: 5 es un número par y 5/8 es un número fraccionario. r: hoy es día festivo; s: el mercado está cerrado. r ∧ s: hoy es festivo y el mercado está cerrado.

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Tabla de verdad de la Conjunción

La conjunción p ∧ q es verdadera cuando lo son p y q. Por tanto su tabla de verdad es:

p	q	p ∧ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Nota: Obsérvese que la proposición compuesta p ∧ q está formada por dos proposiciones simples y que, por tanto, su tabla de verdad integra 4 casos posibles.

Podemos combinar conectivos como por ejemplo: dadas las proposiciones p y q podemos formar: ¬p ∧ q

La correspondiente tabla de verdad de esta nueva proposición es:

p	q	¬p	¬p ∧ q
V	V	F	F
V	F	F	F
F	V	V	V
F	F	V	F

En un epígrafe posterior ampliaremos esta idea.

Definición de Disyunción

Dadas dos proposiciones p, q, se llama disyunción de p y q a la proposición compuesta que relaciona dichas proposiciones mediante el conectivo lógico "o". Se representa por: p ∨ q.

Debemos clarificar que la disyunción "o" se toma aquí en sentido inclusivo o incluyente, esto es, que la proposición p sea verdadera no excluye que q lo sea en contraposición con cuando la certeza de una excluye la de la otra. En Lógica, la disyunción en sentido excluyente tiene su propio símbolo y constituye otro conectivo adicional.

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Ejemplos de Disyunción

p: x > 3 ; q: x < 3. La proposición p ∨ q utiliza aquí el "o" excluyente pues la verificación de una de las proposiciones invalida la otra. r: el número n es divisible por 3; s: el número n es divisible por 5. La proposición p ∨ q utiliza el "o" incluyente pues la verificación de una de las proposiciones no invalida la otra.

Tabla de verdad de la Disyunción

La disyunción p ∨ q es verdadera cuando lo es al menos una de las proposiciones simples que la forman, p o q. En otras palabras, solo es falsa cuando lo son las dos. Por tanto su tabla de verdad es:

p	q	p ∨ q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Igual que en el caso anterior, podemos plantearnos el deducir la tabla de verdad de la siguiente proposición: p ∨ (¬q).

p	q	¬q	p ∨ (¬q)
V	V	F	V
V	F	V	V
F	V	F	F
F	F	V	V

Ejercicio 2

En el ejemplo anterior hemos aclarado que la proposición p ∨ q, siendo p: x > 3 y siendo q: x < 3, utiliza el "o" excluyente pues la verificación de una de las proposiciones invalida la otra.

Compruébalo construyendo su tabla de verdad.

Definición de Condicional

Dadas dos proposiciones p, q, se llama condicional de p y q a la proposición compuesta con el conectivo lógico "si ... entonces" que notaremos como: p → q. También se suele utilizar la frase "p implica q" o también "p condiciona q".

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La proposición p se llama antecedente o premisa y la q, consecuente o conclusión.

Ejemplos de Condicional

• p: 18 es múltiplo de 6; q: 18 es múltiplo de 3. p → q: Si 18 es múltiplo de 6 entonces 18 es múltiplo de 3
• r: las rectas a y b son paralelas; s: las rectas a y b se cortan en un punto. r → s: si las rectas a y b son paralelas entonces se cortan en un punto.

Los valores V o F que tomen estas proposiciones se verán en la tabla de verdad.

La condicional es la forma que toman los teoremas: el antecedente está constituido por la hipótesis o las hipótesis del teorema y el consecuente es la tesis. Así, por ejemplo:

Teorema de Rolle:

Hipótesis:

• Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b].
• f es derivable en todos los puntos del intervalo abierto (a,b).
• f(a) = f(b)

Tesis:

Existe al menos un punto c del intervalo (a,b) tal que f' (c) = 0

La condicional se traduce también como la condición necesaria de los teoremas. Así, por ejemplo:

Teorema:

Para que una función tenga un extremo relativo en un punto (máximo o mínimo), es condición necesaria que la tangente a la curva en ese punto sea paralela al eje horizontal.

Utilizando la notación analítica, lo podemos escribir en forma de proposición condicional:

p: Xo es un extremo relativo de una función y = f(x) q: f' (x0) = 0 p → q: si Xo es un extremo relativo de una función y = f(x), entonces f'(X0)= 0.

Como es sabido, el recíproco de este teorema es falso por cuanto que

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