Apuntes de Matemáticas I sobre álgebra lineal de la Universidad de Sevilla

MATEMÁTICAS I (Curso 2024-2025)

Grado en Ingeniería de las Tecnologías de Telecomunicación Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla Lección 4: El espacio vectorial R2.

Subespacios vectoriales de R2

Se llama subespacio vectorial de R? a todo subconjunto no vacío S C R™ que cumple las siguientes condiciones:

• Si u, v E S, entonces u + v E S,
• Sia E Ry u E S, entonces au E S.

En particular, si S es un subespacio vectorial y dos vectores están en S, entonces también lo está cualquiera de sus combinaciones lineales. Observa que el vector nulo pertenece a cualquier subespacio vectorial.

Ejemplos de subespacios vectoriales

Ejemplos:

1. S = {0} es un subespacio vectorial llamado subespacio trivial nulo. S = R" es un subespacio vectorial llamado subespacio trivial total.
2. En el espacio bidimensional R2, los subespacios son, además de los dos subespacios triviales, las rectas que pasan por el origen.
3. En el espacio tridimensional R3 los subespacios son, además de los dos subespacios triviales, las rectas y planos que pasan por el origen.

Subespacio generado por un conjunto de vectores

Dado un conjunto de vectores {v1, v2, ... , Up} de R", se llama subespacio generado por dichos vectores al conjunto de todas las combinaciones lineales posibles de los vectores:

Gen {v1, V2, ... , Vp} = {@1v1 + @202 + ... + @pUp : @1, @2, . . . , ap € R} .

Los subespacios generados cumplen las siguientes propiedades:

1. (1) Gen {v1, V2, ... , Up} es un subespacio vectorial de R".
2. (2) Gen {v1, V2, ... , Up} & Gen {v1, V2, . .. , Up, Vp+1}.
3. (3) Gen {v1, V2, ... , Up} = Gen {av1, V2, ... , Up} si & # 0.
4. (4) Gen {v1, V2, ... , Up} = Gen {v1 + av2, 02, . . . , Vp}.
5. (5) El subespacio generado por un conjunto de vectores no cambia al añadir combinaciones lineales de dichos vectores.
6. (6) El subespacio generado por un conjunto de vectores no cambia al quitar vectores que sean combinación lineal de los restantes.

Espacio columna y espacio nulo de una matriz

Consideremos una matriz

A = a11 a21 . . am1 am2 a22 @12 · · · . a1n a2n . . . amn

Asociados a dicha matriz, se pueden definir dos subespacios vectoriales importantes: el es- pacio nulo y el espacio columna.

Espacio nulo de una matriz

Se denomina espacio nulo de la matriz A al conjunto solución del sistema homogéneo Ax = 0, y se representa por

Nul(A) = {x ER": Ax=0}.

El espacio nulo de A es un subespacio vectorial de R. Un vector x = E Rn pertenece . al espacio nulo de A si y sólo si Ax = 0, esto es, si y sólo si,

@11x1+ @12x2 + ... + dinIn =0 @21x1 + @22x2 + ... +@2nIn =0 - . . am1x1+@m2x2+ ... +amnIn = 0 . Estas ecuaciones son llamadas ecuaciones implícitas del espacio Nul(A).

2 · . . . . · . . In x1

Espacio columna de una matriz

Se denomina espacio columna de la matriz A al conjunto formado por todas las combina- ciones lineales de las columnas de A. Si v1, V2, ... , Un E R™ son los vectores columnas de A, dicho espacio columna es

Col(A) = Gen {v1, V2, . .. , Un} .

El espacio columna de A es un subespacio vectorial de R™. Un vector y = E Rm . pertenece al subespacio columna de A si y sólo si existen @1, 2, ... , an E R tales que

y= @1V1 + @202+ ... + anUn = @1@11 + @2012 + ... + andin, @1@21 + @2022 + ... + ana2n, @1am1 + @20m2 + ... + @namn. . . . = A y1 ym a1 Q2 . an

y1 ym . Así, los vectores del espacio columna de una matriz A son de la forma y = E Rm . , donde

y1 = @1@11 + @2012 + ... + andin, 7 - y2 = @1@21 + @2@22 + ... + ana2n, . . . ym = @1am1 + @20m2 + ... + @namn, siendo a1, a2, ... , an E R.

Estas ecuaciones son llamadas ecuaciones paramétricas del espacio Col(A).

Observa que Col(A) = {y E R™ : Ax = y es un sistema compatible}.

Ecuaciones implícitas y paramétricas de un subespacio

Todo subespacio vectorial de R" puede describirse como el espacio nulo de una matriz. Se denominan ecuaciones implícitas del subespacio a unas ecuaciones implícitas de dicho espacio nulo.

De forma análoga, todo subespacio vectorial de R™ puede describirse como el espacio columna de una matriz. Se denominan ecuaciones paramétricas del subespacio a unas ecuaciones paramétricas de dicho espacio columna.

Bases y dimensión de un subespacio vectorial

Consideremos un subespacio vectorial S C R? tal que S # {0}. Se dice que un conjunto de vectores {v1, V2, ... , Up} de S es una base de S si:

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• (1) {v1, V2,., Up} es un conjunto linealmente independiente.
• (2) {v1,2, ... , Up} generan S, esto es, S =Gen {v1, V2, ... , Vp} .

Ejemplo de base canónica

Ejemplo: Consideremos el espacio trivial total S = R". El conjunto de vectores

1 e1 = 0 . 0 , e2 = . 0 1 . 0 , ... , en = - . 0 1 0 forma una base, llamada base canónica de R".

Observa que un conjunto de vectores {v1,V2, ... , Up} de S es una base de S si y sólo si la matriz

A = V1 ... Up . . . . . . verifica que Nul(A) = {0} y Col(A) = S.

Coordenadas de un vector respecto de una base

Sea B = {v1, V2, ... , Up} una base de un subespacio vectorial S. Entonces, cada vector v E S puede expresarse de forma única como combinación lineal de los vectores de la base B:

V = C1V1 + C202 + ... + CpUp.

Los coeficientes que aparecen en dicha expresión (c1, C2, ... , Cp) se denominan coordenadas de v respecto a la base dada B = {v1, V2, ... , Up} y se suele denotar por

[0]B= C1 C2 . Cp . . En particular, las coordenadas de cualquier vector respecto de la base canónica de R™ coin- ciden con sus componentes.

Dimensión de un subespacio vectorial

Consideremos un subespacio vectorial S de R™ distinto del subespacio trivial nulo (es decir, S # {0}). Entonces, se verifican las siguientes propiedades:

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• . L . V2 .(2) Todas las bases de S tienen el mismo número de elementos.

Al número de elementos de una base de S se le denomina dimensión de S, que denotaremos como dim(S).

Por definición, la dimensión del subespacio formado por el vector nulo es cero.

El espacio vectorial R™ tiene dimensión n. Además, si S es un subespacio vectorial de R" y dim(S) = n, entonces S = R2.

Relación de la dimensión de un subespacio con el rango de una matriz

Sea A una matriz m x n cualquiera. Se cumplen las siguientes propiedades:

1. (1) dim(Col(A)) =r(A).
2. (2) r(A) = r(AT).

Además, el siguiente resultado relaciona los espacios nulo y columna de una matriz:

Teorema del rango. Sea A una matriz m x n cualquiera. Entonces

dim(Col(A)) + dim(Nul(A)) = n.

Si la matriz A representa la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales compatible, entonces el Teorema del rango expresa que

(número de pivotes) + (número de variables libres) = n.

Teorema de la base. Consideremos un subespacio vectorial S de R™ distinto del subespacio trivial nulo (S # {0}) de dimensión p (0 < p ≤ n), y un conjunto de vectores {u1, u2, ... , ug} de S. Entonces:

1. (1) Si {u1, u2, ... , uq} generan S, entonces q ≥ p. Además, {u1, u2, ... , ug} es una base de S si y sólo si p = q.
2. (2) Si {u1, u2, ... , ug} es linealmente independiente, entonces q ≤ p. Además, {u1, u2, ... , ug} es una base de S si y sólo si p = q.

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Cambio de base

Consideremos dos bases de R™: B = {v1, V2, ... , Un} y B = {{1, 02, ... , În}. Definimos las matrices B y B cuyas columnas son, respectivamente, los vectores de dichas bases, es decir:

B = L V1 . U2 ... . Un . , ... 15 ... ... ... . .. ... . ... . La matriz P =B-1B permite cambiar las coordenadas de cualquier vector respecto de la base B a sus coordenadas respecto de 13, es decir, si v E R" entonces

[V]B = P [V]B.

Es fácil mostrar que la matriz del cambio de base es invertible y su inversa es:

P -1 = P.

Además, las columnas de la matriz del cambio de base P están formadas por las coorde- nadas de los vectores de la base B respecto de la base 13:

P =VB|2|B | ... [On ] [B ] .

Transformaciones lineales

Consideremos una transformación

T : Rn -> Rm xER" > y=T(x) ER™ Se dice que la transformación T es lineal si verifica que

T(ax + Bx) = aT(x) + BT(x) para todo x, î E R" y todo a, B E R.

Las transformaciones lineales cumplen las siguientes propiedades:

• (1) La transformación lineal T : Rn > Rm transforma el vector nulo de Rn en el vector nulo de IR™ (es decir, T(0) = 0).

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• . . . . . . . .(2) La transformación lineal T : R" > Rm transforma cualquier combinación lineal de los vectores {v1,V2, ... , Up} de R" en una combinación lineal de los vectores imagen {T (v1) , T(v2), ... , T(Up)} de Rm.
• (3) La transformación lineal T : R" > R™ transforma un subespacio S de Rn en otro subespacio T(S) de R™ dado por T(S) = {y =T(x) ER™ : xES} ={y ER™ : existe x € S con T(x) =y}.

Representación matricial de transformaciones lineales

Dada una transformación lineal T : R" > IR™, existe una única matriz A (de dimensiones m xn ) tal que la imagen de cualquier vector x E R" es

y = T(x) = Ax E R™ En otras palabras, A es la única matriz que al multiplicarla por un vector x E R™ arbitrario proporciona el vector transformado de x mediante T. La matriz A se denomina matriz asociada a la transformación lineal T (respecto a las bases canónicas de R™ y de Rm).

Además, las columnas de la matriz A son los vectores T(e1), T(e2), ... T(en), y por tanto:

. . . A = - T(e1) T(e2) . . ... |T(en) . . . . . . . L

Núcleo e imagen de una transformación lineal

Consideremos una transformación lineal T : R™ -> Rm.

• Se denomina núcleo de T al subespacio vectorial de R": {x ER™ : T(x) = 0} .
• Se llama imagen de T al subespacio vectorial de R™ formado por los vectores que son imagen de algún vector de R™, es decir: T(R") = {T(x) : xER"}={y ER™ : existe x ER" con T(x) =y}.

Observa que, si A es la matriz asociada a la transformación T, entonces el núcleo de T coincide con Nul(A) y la imagen de T coincide con Col(A).

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Ejercicios

Ejercicio 1: Subespacio vectorial de R3

Ejercicio 1. Consideremos en R3 el conjunto S formado por aquellos vectores tales que la suma de sus componentes valen 0. ¿ Es S un subespacio vectorial? ¿ Y el conjunto S formado por aquellos vectores tales que la suma de sus componentes valen 1?

Ejercicio 2: Determinación de subespacios vectoriales

Ejercicio 2. Determina cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son subespacios vec- toriales:

(a) El conjunto de los vectores [x1, x2]T E R2 cuyas coordenadas verifican:

(a.1) x1x2 = a (aER), (a.2) x1+2x2=06 x1-x2=0, (a.3) x2 + x2 = a (a € R), (a.4) x1+2x2= a y x1-x2= b, (a,bE R).

(b) El conjunto de los vectores [x1, x2, x3] E R3 cuyas coordenadas verifican:

(b.1) (x1+x2)(x2+x3)=0, (b.2) x1=0 y (x2=06 x3=0), (b.3) Se pueden expresar de la forma - x2=a+x2 X3 = 0 - I1 = @ }, para algún a E IR. (b.4) x1+x2+ x3 ≤0.

(c) El conjunto de los vectores [a1, a2, ... , an] E R" tales que cada una de las coordenadas a3, ... , an es la media (aritmética) de las coordenadas anteriores.

Ejercicio 3: Conjunto generador linealmente independiente

Ejercicio 3. Para cada b E R, considera la matriz

B = 1 -1 1 1 1 0 2 6 -1 -2 0 -1 . Encuentra, según los valores de b, un conjunto generador linealmente independiente del espacio Nul(B).

Ejercicio 4: Matriz A

Ejercicio 4. Para cada a E R, considera la matriz

A= 0 -2 -1 1 -1 -3 0 2 1 a 1 4 . 8