Introducción a la probabilidad: conceptos básicos y operaciones con sucesos

Introducción a la Probabilidad

Introduccion a la probabilidad MJ Calero MartínezIntroducción En las Ciencias Sociales es habitual la imposibilidad de prever el resultado de un fenómeno, debido a diferentes causas (tener fiebre un día que hago un examen, usar un instrumento en malas condiciones). En nuestra vida cotidiana estamos expuestas continuamente a sucesos sobre los que no tenemos certeza de que vayan a ocurrir, sino que tienen una mayor o menor probabilidad de que sucedan (tener un hijo con enfermedad rara, que se pare un coche que va en reserva). En todos estos casos se dice que el resultado está influenciado por el azar, que estamos ante un fenómeno aleatorio. Ante estas situaciones que no podemos controlar ¿ cómo actuar desde una perspectiva metodológica? ¿ qué hacer ante la incertidumbre? "La Estadística permite esbozar conclusiones válidas en situaciones de incertidumbre y variabilidad" (Medhi, 1992). La teoría matemática de la Probabilidad permite desarrollar modelos matemáticos adaptados al estudio de este tipo de situaciones mediante asignación de probabilidades (certidumbre) a dichas situaciones. La Estadística Inferencial es un conjunto de métodos y técnicas que permiten inducir, a partir de la información empírica proporcionada por una muestra, cuál es el comportamiento de una determinada población, con un riesgo de error medible en términos de probabilidad. Probabilidad y Estadística se complementan: ambas se refieren a situaciones en las que hay incertidumbre: la Probabilidaad aporta los modelos matemáticos (las distribuciones) para el estudio de la incertidumbre, y la Estadística adapta estos modelos a los datos reales (datos con incertidumbre).

Objetivos del Tema

• Conocer los conceptos de experimento aleatorio y espacio muestral
• Distinguir los distintos tipos de sucesos que forman parte del espacio muestral y las operaciones fundamentales que puedan realizarse con ellos.
• Adquirir un concepto de probabilidad más preciso y desde diferentes enfoques.
• Saber resolver problemas con probabilidades relacionadas.
• Comprender y saber aplicar de forma adecuada los teoremas de la Suma, Producto, Probabilidad Total y Bayes (no entraremos en estos dos últimos).
• Conocer aplicaciones de la probabilidad en el ámbito de la Psicología y las Ciencias de la Salud.

Conceptos Previos

. Un experimento aleatorio es un proceso que se puede repetir indefinidamente en las mismas condiciones y cuyo resultado no se puede predecir con certeza. Presenta tres características: - todos los resultados posibles son conocidos con anterioridad - no se puede predecir con certeza el resultado concreto del experimento, pudiéndose obtener cualquiera - el experimento puede repetirse un número infinito de veces en idénticas condiciones · El conjunto de todos lo resultados posibles de un experimento aleatorio constituye el espacio muestral (E) del experimento aleatorio o espacio de resultados.

Definiciones de Sucesos

· Un suceso es cualquier subconjunto de los elementos de un espacio muestral o resultado de un experimento aleatorio. · Cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio se llama suceso elemental. Suceso compuesto es el que consta de dos o más sucesos elementales. Suceso seguro es el que ocurre siempre. Suceso posible el que puede contener algún elemento del espacio muestral, luego hay alguna posibilidad de que ocurra. Suceso imposible es el que no ocurre nunca (ø). · La verificación de un suceso elemental es la observación de ese suceso elemental al realizar el experimento aleatorio. · Dos sucesos son incompatibles o excluyentes si no se pueden verificar simultáneamente, por no tener elementos comunes.

Operaciones con Sucesos

OPERACIONES CON SUCESOS Entre los sucesos se establecen las mismas operaciones que en la teoría de conjuntos. Usamos los diagramas de Venn para representar sucesos - El complementario de un suceso A, representado por A, es el subconjunto de sucesos elementales del espacio muestral (E) que no forman parte de ese suceso. - La intersección de dos sucesos A y B, representado por AnB, es el subconjunto de elementos del espacio muestral (E) que, simultáneamente, están incluidos en los subconjuntos de ambos sucesos, o sea, formado solamente por los sucesos de A y de B simultáneamente. - La unión de dos sucesos A y B, y lo representamos por AUB, es el subconjunto de elementos del espacio muestral (E) que están incluidos en al menos uno de esos sucesos, o sea, formado por los sucesos elementales que pertenecen a A, a B, o a ambos a la vez.

Definición de Probabilidad

. En teoría de la probabilidad se toman todos los posibles resultados de un experimento aleatorio como elementos del espacio muestral E. Si E contiene un número finito de elementos, entonces a cada uno de ellos se le puede asociar un número no negativo, que es su probabilidad de ocurrencia, tal que la suma de todos los números correspondientes a todos los elementos de E sea 1. · La probabilidad de un suceso es un número que cuantifica en términos relativos las opciones de verificación de ese suceso (medida numérica que cuantifica la posibilidad de que ese suceso ocurra). Los valores de probabilidad se encuentran comprendidos entre 0 y 1, en función de su cuantía de probabilidad de ocurrencia. - Sucesos muy probables estarán cercanos al 1, muy poco probables al cero. El valor 0 se asigna al suceso imposible, el valor 1 al suceso seguro. · Es difícil proponer una definición de probabilidad en la que no aparezca el propio término, así que vamos a describir operativamente los enfoques que se utilizan para su determinación. Ambas tienen un definición operativa diferente pero un mismo objetivo: calcular la posibilidad de ocurrencia de un suceso.

Enfoque Clásico o a Priori

ENFOQUE CLÁSICO O A PRIORI Implica aceptar el principio de indiferencia: al realizar un experimento aleatorio, todos los elementos del espacio muestral tienen las mismas posibilidades de ser verificados. Así la probabilidad de un suceso es la frecuencia relativa de ese suceso en el espacio muestral. La probabilidad de un suceso A es igual al cociente entre el núnero de casos favorables de que ocurra ese suceso y el número de casos posibles en el supuesto de que todos los casos tengan la misma oportunidad de ocurrir (sean equiprobables) (Regla de Laplace). P(A) = nA / n Es a priori porque antes de hacer el experimento aleatorio se conocen los posibles resultados del espacio muestral E y sus probabilidades. Tiene problemas: parte de la base de que los sucesos son equiprobables, y no siempre lo son. Consecuencias y propiedades: La probabilidad de un suceso es un valor entre 0 y 1 Un suceso que no contiene ningún suceso elemental tiene una probabilidad igual a 0, imposible Un suceso que tiene todos los sucesos elementales del espacio muestral tiene una probabilidad de 1, suceso seguro La suma de las probabilidades de un suceso y su complementario es igual a 1

Enfoque Frecuencialista o a Posteriori

- ENFOQUE FRECUENCIALISTA O A POSTERIORI · Se basa en la estabilidad de las frecuencias relativas cuando el número de repeticiones de un suceso aleatorio es muy alto y tiende a infinito. · La probabilidad se determinaría mediante una operación ideal de repetición sistemática del experimento aleatorio y de conteo del número de veces que se verifican los sucesos. · Desde la perspectiva estadística o a posteriori, podemos definir P(A) o probabilidad de un suceso A como el límite al que tiende la frecuencia relativa de aparición de un suceso A cuando el número de ensayos n o repeticiones tiende a infinito. · La frecuencia relativa tiende a estabilizarse cuando el numero de repeticiones es muy alto (Ley del azar o Ley de regularidad estadística). · No siempre es fácil aplicar este concepto de probabilidad estadística, ya que en ocasiones no es posible repetir un experimento un gran número de veces o no es práctico. Kolmogorov desarrolló la Teoría axiomática de la probabilidad: dado un espacio muestral E, se denomina probabilidad de un suceso Ai, definido en el espacio muestral E y designado por P(Ai), a un número real asignado al suceso Ai, tal que cumple - 0 ≤ P(Ai) ≤ 1; - P(E) = 1 ; - Si A1, A2, ... , Ak son sucesos incompatibles dos a dos, P(A1UA2U ... UAk) = P(A1)+P(Az)+ ... +P(Ak)

Teorema de la Suma

· Teorema de la adición: la probabilidad de que ocurra un suceso A o el suceso B es igual a la probabilidad de que ocurra A más la probabilidad de que ocurra B, menos la probabilidad de que ocurran A y B (la intersección de ambos sucesos) P(AUB) = P(A) + P(B) - P(ANB) Si los sucesos A y B son mutuamente excluyentes (no pueden ocurrir simultáneamente) o si son complementarios (la ocurrencia de uno implica la no ocurrencia del otro), la regla de la suma se simplifica, resultando ser la suma de probabilidades de cada suceso P(AUB) = P(A) + P(B) Dado que P(ANB) = 0

Probabilidad Condicionada

Hasta ahora tratábamos sucesos independientes, la probabilidad de uno no altera la probabilidad del otro. En la vida diaria la aparición de un suceso A puede depender de la aparición de otro B. Entonces A y B serían dependientes, la probabilidad de A depende o está condicionada por la probabilidad de B P(AIB) La probabilidad de una suceso A, dada la verificación de otro suceso B, se llama probabilidad condicional de A dado B, y es igual a la probabilidad de su intersección dividida por la probabilidad de la condición. P(AIB) = P(ANB) P(B) P(BNA) siempre que P(B) = 0 P(BIA) = P(A) siempre que P(A) = 0 Si los sucesos A y B son independientes P(AIB) = P(A) y P(BIA) = P(B), la verificación de uno no altera la probabilidad del otro. Si la probabilidad de A condicionada a B es igual a la probabilidd de A es que ambos sucesos son independientes.

Teorema del Producto

· Este teorema se aplica a las situaciones en la que queremos calcular la probabilidad de que aparezcan dos sucesos de forma simultània (calcular la probabilidad de intersección entre dos sucesos, que aparezcan uno y otro a la vez). es P(BIA)=P(BnA) ▪ Si la probabilidad condicionada es P(BIA)= P(A) despejando P(BNA)= P(A) X P(BIA) · Teorema del producto: la probabilidad de verificación simultánea de dos sucesos independientes es igual al producto de sus respectivas probabilidades simples. Es decir, si A y B son sucesos independientes, entonces la probabilidad de la intersección de A y B es igual a la probabilidad de A por la probabilidad de B (su producto). P(BNA)= P(A) X P(B) · Dos experimentos aleatorios son independientes si se cumple la condición de independencia de sucesos para cualquier par de sucesos, A y B, definidos sobre sus espacios muestrales respectivos.