Cuadernillo 1: Teoría de conjuntos, números y sus tipos para UTN

INGRESO 2025

TECNICATURA UNIVERSITARIA EN PROGRAMACIÓN A DISTANCIA

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

CUADERNILLO 1

Teoría de conjuntos, números y sus tipos

CURSO COMPLETO

UNIDAD I FUNDAMENTOS LOGICOMATEMÁTICOS

• CUADERNILLO 1 - Teoría de conjuntos, números y sus tipos
• CUADERNILLO 2 - Sistema Binario
• CUADERNILLO 3 - Introducción a la lógica
• CUADERNILLO 4 - Operaciones aritméticas
• CUADERNILLO 5 - Números Enteros
• CUADERNILLO 7 - Más de números

UNIDAD II RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

• CUADERNILLO 6 - Análisis verbal
• CUADERNILLO 8 - Método iterativo
• CUADERNILLO 9 - Analogía y Patrones
• CUADERNILLO 10 - Divide y conquistarás
• CUADERNILLO 11 - Integración
• CUADERNILLO 12 - Ensayo y Error

Tecnicatura Universitaria en Programación a Distancia

Seminario de ingreso

PARTE 1: TEORIA DE CONJUNTOS

DEFINICIONES BÁSICAS

OBJETO

Cualquier cosa o idea es un objeto que tenga sentido para mí. Pueden ser cosas tangibles (perros) o ideales (días de la semana)

ATRIBUTOS

Es una propiedad o cualidad que describe a los objetos y lo diferencia de otros. Pueden ser físicos (color, tamaño, etc.) o abstractos (personalidad, apto para niños, etc.)

CONJUNTOS

Cuando agrupamos objetos formamos CONJUNTOS. Un conjunto es una colección de OBJETOS sin orden, ni repetición. Por ejemplo, conjunto de los perros.

SUBCONJUNTO

Un subconjunto es un conjunto incluido en otro. Conjunto de perros pastores es subconjunto de los perros.

LOS OBJETOS PERTENECEN A UN CONJUNTO

Mi perro Barry PERTENECE al conjunto de los PERROS.

LOS SUBCONJUNTOS ESTAN INCLUIDOS EN UN CONJUNTO

La raza Cocker, con todas sus variantes, está INCLUIDO en el conjunto de las razas de perros.

UTN Pág. | 11 | Teoría de Conjuntos Matemática

CONJUNTO UNIVERSAL

Es el conjunto más grande que incluye todo lo que estudiamos. Si estamos hablando, o estudiando, perros podríamos decir que el CONJUNTO UNIVERSAL son todos los animales.

CONJUNTO VACIO

Son conjuntos que no tienen OBJETOS. Se pueden definir y sin embargo no tener elementos. Por ejemplo, puedo definir un conjunto llamado comisión 1 de ingreso antes de inscribir estudiantes. Si llegáramos a imprimir el listado de toma de asistencia, estará vacía.

SIMBOLOGIA

¿CÓMO INSERTARLOS EN UN EDITOR DE TEXTO?

En Word usando atajos: rápido, pero requiere conocer los códigos Los códigos que te lo ponemos en cada símbolo. Son los llamados UNICODE. Colocás el código y a continuación, sin dejar espacio, presiona ALT+X. En Word 10 para arriba Presioná el símbolo de Windows de tu teclado junto al punto. Te aparece una ventana emergente con los símbolos que necesitás. También los emojis.

PERTENENCIA O NO PERTENENCIA

Solo para objetos con relación a conjuntos:

• Pertenece (cod 2208): €
• No pertenece (cod 2209): ¢

INCLUSION O NO INCLUSION

Solo para conjuntos con relación a conjuntos: Si el conjunto más chico está a la izquierda

• Incluido (cod 2282): c
• No incluido (cod 2284): ¢

Pág. | 2Seminario de ingreso Tecnicatura Universitaria en Programación a Distancia Y en sentido inverso

• Incluido (cod 2283):
• No incluido (cod 2285):

Y - O

Cuando queremos decir que un objeto está en un conjunto y también en otro. O también cuando queremos indicar que un objeto está un conjunto u otro, o en ambos.

• Y (cod 2227): A
• O (cod 2228): V

TAL QUE

Lo usaremos en definición por compresión, es una forma de describir objetos en conjuntos. Coloquialmente decimos "Un objeto que pertenece a los mamíferos TAL QUE ese objeto tiene cuatro patas Y tiene hocico Y tiene cola Y hace guau-guau" Muchos usan una barra inclinada: / o "slash". No es preferible en programación por ser menos clara. Habitualmente se prefiere el : o la barra vertical | Si bien la barra vertical está en la mayoría de los teclados el código UNICODE es 2223: |

MENOR Y MAYOR, MENOR E IGUAL, MAYOR E IGUAL

No lo usamos para objetos ya que indicaría una ordinalidad. Si para números. Dos de ellos los tenemos disponibles en los teclados, dos no. Siempre comparando la izquierda con la derecha

• Mayor (003E): >
• Menor(003C): <
• Mayor e igual(2265): ≥
• Menor e igual(2264): ≤

¿Viste que el vértice del símbolo indica el "más chico", ¿Es parecido en el incluido hacia donde apunta la pancita?

IGUAL, DESIGUAL

El símbolo igual está disponible en el teclado, el desigual no:

• Desigual (2260): ¢

UTN Pág. | 3Matemática

1 | Teoría de Conjuntos

REPRESENTACION

ETIQUETA O NOMBRE

Letras mayúsculas Usado más en cuando queremos mostrar operaciones, en definiciones o en clase para hablar de ellos Ejemplo: P es el conjunto de perros. Nombre en mayúsculas Usado en software ya que siempre, siempre debemos poner nombre a nuestras variables u objetos de forma que sepamos que es o que contiene. Ejemplo: PERROS, no es necesario aclarar que contiene. En programación no está permitido que existan espacios en los nombres. Por eso tenemos varias formas de nombras cosas

CAMELCASE

Es como el camello. En general se empieza en minúsculas, aunque no está prohibido usar mayúsculas, en el caso de conjuntos no lo usaremos, pero se usa mucho en programación. Luego las demás letras son en minúsculas excepto que el mismo nombre indique mayúsculas. Si hay dos o más palabras sacamos el espacio y ponemos cada primera letra en mayúsculas. Ejemplos: MiVariable (usado en el lenguaje Pascal y otras situaciones) miVariable (en casi todos)

SNAKECASE

Se caracteriza por: Todo en minúsculas salvo que la naturaleza del nombrado exija todo en mayúsculas. Cada espacio entre palabras se reemplaza con guiones. Pág. | 4Tecnicatura Universitaria en Programación a Distancia Seminario de ingreso Ejemplos: mi_variable (es más visible que el camelcase) MI_CONJUNTO (el que usamos en conjuntos)

ETIQUETAS ESPECIALES

Al CONJUNTO UNIVERSAL se lo simboliza con la letra U mayúscula. Al CONJUNTO VACIO se lo simboliza con una letra especial Ø. Con este último no te confundas, es una O con una barra inclinada, no vertical.

DEFINICION COLOQUIAL

Una etiqueta o nombre seguido de un signo igual y una frase que represente al conjunto. Se usa más cuando el nombre no dice mucho. Ejemplos: D: Días de la semana DIAS_SEMANA (no necesita aclaración)

DEFINICION POR EXTENSIÓN

En caso de que el nombre no nos de idea que contiene, solemos nombrar a los objetos que lo forma. Definir por extensión es nombrar a los objetos. Por supuesto anteponemos la etiqueta, un signo igual y lo más importante, a los objetos los encierro entre paréntesis Ejemplo: MATERIAS_PRIMER_CUATRIMESTRE_TUP = { programación I, arquitectura y sistemas operativos, matemática, organización empresarial }

DEFINICION POR COMPRESION

Cuando definir por extensión no es posible o para cuando queremos indicar la "naturaleza" de los objetos del conjunto. En general decimos los atributos que tienen objetos. Tomando un ejemplo anterior podemos escuchar una frase como "El conjunto de los PERROS es aquel donde un objeto que PERTENECE a los UTN Pág. | 51 | Teoría de Conjuntos Matemática mamíferos TAL QUE ese objeto tiene cuatro patas Y tiene hocico Y tiene cola Y hace guau-guau" Es decir, Pusimos una etiqueta Un símbolo igual Abrimos llaves Definimos la pertenencia a un conjunto universal El símbolo TAL QUE Luego enlistamos sus atributos Cerramos llaves. Ejemplo: PERROS = { x E mamíferos | x tiene 4 patas A x tiene hocico A x tiene cola A x hace guau-guau }

GRAFICANDO

En muchos casos hemos usados dibujos para indicar un conjunto.

Conjunto A Animales ovíparos pez avestruz cocodrilo Conjunto C Animales que nadan Animales que caminan Conjunto B

Este tipo de dibujo se llama DIAGRAMA DE VENN. Casi siempre acompañado de las otras definiciones En este caso pusimos definiciones dentro de cada conjunto. Es algo informal, pero aceptable. Muchas veces ponemos los objetos. Otras, solo etiquetamos si tenemos muchos objetos, o tienen nombres largos lo que hace complicado escribirlos.

Pág. | 6Seminario de ingreso Tecnicatura Universitaria en Programación a Distancia

OPERACIONES

UNION (Cod 222A )

Une los objetos de ambos conjuntos. Si juntamos dos o más, recordá que no deben repetirse los objetos:

U PUM P M

INTERSECCION ( Cod 2229 )

Solo los objetos comunes a ambos conjuntos. Por más que estén en dos o más conjuntos siempre son uno, no se repiten.

POM U M P

DIFERENCIA

Sacamos los objetos comunes. Es importante visualizar cual resta a cuál.

P - M A P le sacamos los comunes con M

U P M

UTN Pág. | 71 | Teoría de Conjuntos Matemática

U M - P A M le sacamos los comunes con P

P M

DIFERENCIA SIMETRICA ( Cod 2206 )

Es una resta simultánea, en ambos sentidos, se dos conjuntos. Se sacan entre sí lo comunes quedando los que NO COMPARTEN.

U PAM M P

XOR ( Cod 2295 )

Equivale a una forma de O llamado "o exclusivo" para diferenciarlo del "o inclusivo" que venimos usando hasta ahora. ¿ Por que de la palabra inclusivo? Porque uno permite los comunes, los incluye, el otro no. Si decimos "Hoy salgo al cine o a bailar" en sentido inclusivo decimos salgo al cine, a bailar, o ambos. Si lo digo en sentido exclusivo no hago ambas cosas, hago una de ellas. Te recomendamos revisar el diagrama de Venn de la UNION y de la DIFERENCIA SIMETRICA. Por eso a veces usamos otro símbolo:

P M

Pág. | 8Seminario de ingreso Tecnicatura Universitaria en Programación a Distancia

COMPLEMENTO

Aquí es donde es necesario definir un conjunto universal. El complemento de un conjunto son todos los objetos del universal que no forman parte de él.

U P M

¿Simbología?

Hay varias. Pero usaremos la más clara para lógica y en pseudocódigo: En la lógica La tilde o virgulilla que también la podés encontrar en el teclado (cod 007E): ~A La barra arriba del conjunto, más usada en álgebra de Boole, y que verás en la materia Matemática es muy difícil escribirla en un editor de texto: A También se suele usar uno que es muy confuso, pero es propio de la lógica y de algunos lenguajes, es la llamada negación lógica ( Cod 00AC ): - A Pero como es complicado, lo podés hacer también con el editor de ecuaciones, te recomendamos la manera más fácil, la comilla simple que está en todos los teclados: A' En síntesis, usá el ~A o el A' que no necesitás ni códigos ni juegos de caracteres, solo el teclado.

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