Analisi armonica e stabilità BIBO nei sistemi dinamici, Università di Genova

Le radici di f(s) e la tabella di Routh

CA A.A. 2021 - 2022, Giovanni Indiveri, Università degli Studi di Genova, v. 0.67. 49 Le radici di f(s) sono sempre simmetriche rispetto l'origine e sono anche radici del polinomio di partenza; in questo caso specifico le radici di f(s) sono ±i 15/3 che saranno dunque anche poli del sistema. Per valutare il numero di radici a parte reale positiva o negativa bisogna proseguire la costruzione della tabella di Routh sostituendo alla riga nulla i coefficienti di df /ds = d (2s2 + 10/3) = 4s:

$3 2 1 5/3 10/3 $2 4 0 .80 10/3 0 dove la riga tratteggiata indica la presenza di una riga identicamente nulla. La tabella non ha variazione di segni nella prima colonna, dunque non c'è alcuna radici nel semi- piano destro, ma due sono sull'asse immaginario. La terza è reale negativa, in particolare le radici sono: in -2 e ±15/3 i.

Figura 15: Jean Baptiste Joseph Fourier (21 marzo 1768 - 16 maggio 1830).

Analisi armonica

10 Analisi armonica Sia data una funzione di trasferimento T(s) avente tutti i poli a parte reale negativa. Se l'ingresso al sistema è una funzione sinusoidale di ampiezza y > 0 e pulsazione w, ossia

w (228) l'uscita sarà:

w yT(s) w Y (s) = YT (s) 52 + w2 - (s+iw) (s- iw) (229) La Y (s) avrà tutti i poli della T(s) più quelli di U (s). In particolare, sviluppando Y (s) in fratti semplici come in (153) risulteranno modi funzionali asintoticamente convergenti a zero in corrispondenza dei poli della T(s) (tutti a parte reale strettamente negativa per ipotesi) e due addendi realtivi ai poli complessi coniugati p = +iw dell'ingresso U(s). I termini relativi ai poli asintoticamente stabili rappresentano la parte transitoria della risposta forzata del sistema, mentre i termini relativi ai poli puramente immaginari provenienti dalla U(s) rappresentano la parte stazionaria della risposta forzata. Dalla U (s) = 7 32 + w2CA A.A. 2021 - 2022, Giovanni Indiveri, Università degli Studi di Genova, v. 0.67. 50 formula (155) per il calcolo dei residui risulta che la risposta stazionaria Yst(s) sarà data da:

Yst(s) = s- iw stiw YT(iw) y|T(iw)|ei¢(w) R = R 2i R* (230) 2i R* = 2i YT (iw)* y|T(iw)|e-ip(w) 2i yst(t) = L-1 [Yst(s)] = Reiwt+ Re-iwt = = YT (iw) ei(wttb(w) _e-i(wt+ (w) 2i = = YT(iw)|sin(wt+ 0(w) (231) essendo ¢(w) l'argomento del numero complesso T(iw). Dato un sistema dinamico lineare con funzione di trasferimento T(s) e tutti i poli a parte reale strettamente negativa, la sua risposta asintotica (ossia superato il transitorio) ad un ingresso sinusoidale di pulsazione w è a sua volta un segnale sinusoidale avente identica pulsazione w, ampiezza amplificata del fattore |T(iw)| e sfasamento pari all'argomento di T(iw).

La stabilità BIBO

10.1 La stabilità BIBO Un secondo concetto di stabilità oltre a quello visto per la risposta libera di un sistema, riguarda la risposta forzata. Un sistema si dice "ingresso limitato - uscita limitata" (bounded input, bounded output) se per ogni segnale in ingresso di ampiezza limitata, l'uscita del sistema rimane anch'essa limitata. Anche questo tipo di stabilità è legata alla posizione dei poli del sistema: in particolare, se un sistema ha tutti i suoi poli a parte reale strettamente negativa, ossia se la risposta all'impulso è asintoticamente stabile, allora esso è "ingresso limitato - uscita limitata". Si noti che la eventuale marginale stabilità della risposta all'impulso di un sistema non è sufficiente a garantire la stabilità BIBO. Si consideri, per esempio, un sistema avente funzione di trasferimento

T(s) = 82 + w2 1 che modella, per esempio, un sistema massa-molla privo di attrito: da quanto visto al paragrafo precedente, se applicassimo a questo sistema un ingresso sinusoidale (dun- que limitato) di ampiezza qualunque, ma frequenza w, l'uscita verrebbe amplificata di |T(iw)| che in questo caso diverge. Questo fenomeno è chiamato risonanza ed è legato alla presenza di poli puramente immaginari nella funzione di trasferimento del sistema. Per comprendere almeno intuitivamente il motivo per cui la presenza di soli poli a parte reale strettamente negativa nella T(s) garantisce la stabilità "ingresso limitato - uscita limitata", ci si riferisca all'esempio appena citato e allo sviluppo in fratti semplici di una funzione razionale: l'uscita del sistema sarà l'antitrasformata del prodotto della funzio- ne di trasferimento T(s) per la trasformata dell'ingresso U(s). I poli della trasformata della uscita Y (s) saranno dunque la somma dei poli di T(s) più quelli di U (s). Se u(t) è limitata la sua U (s) avrà poli a parte reale minore o uguale a zero; quelli a parte realeCA A.A. 2021 - 2022, Giovanni Indiveri, Università degli Studi di Genova, v. 0.67. 51 nulla avranno molteplicità al più unitaria (altrimenti u(t) non sarebbe limitata). Ne segue che se i poli di T(s) sono a parte reale strettamente negativa, complessivamente quelli di Y (s) saranno a parte reale minore o uguale a zero, e quelli a parte reale nulla avrebbero la stessa molteplicità che avevano in U(s), ossia al più uno. Nel dominio del tempo, la BIBO stabilità della risposta forzata di un sistema SISO lineare tempo invariante a tempo continuo è legata alla natura assolutamente sommabile o meno della risposta all'impulso. In particolare, detta h(t) la risposta impulsiva, questa si dice essere assolutamente sommabile se

00 0 /h (T ) dT < 0 . (232)

BIBO stabilità e risposta impulsiva

BIBO stabilità e risposta impulsiva Dato un sistema SISO LTI a tempo continuo con risposta impulsiva h(t), la sua risposta forzata yf(t) = (h * u)(t) è BIBO stabile se e solo se h(t) è assolutamente sommabile. Dimostrazione: si ipotizzi che h(t) sia assolutamente sommabile. Allora, per ogni u(t) limitata, ossia

Vu(t) : 0 ≤u(t) ≤ū<+00 vale

135(t) = h(t-+)u(T)dT|||h(t-T)|u(T)| dT < s ű ||h(t-T) dT < 0. 0- Si ipotizzi ora che yf(t) sia BIBO stabile e dimostriamo che necessariamente h(t) debba essere assolutamente sommabile. A tale scopo si consideri il segnale limitato u(7) = sgn (h(t - ₸)) tale per cui

h(t-T)u(T)dr = |h(t- 7)sgn (h(t- 7) dr = yf(t) = = 1 1h(t-T) dr e dovendo essere, per ipotesi di BIBO stabilità, yf(t) limitata in virtù della limitatezza della forzante u(7) = sgn (h(t - T)), segue che necessariamente h(t) sia assolutamente sommabile.

Il concetto di poli dominanti

11 Il concetto di poli dominanti Come si è visto, le proprietà di stabilità di un dato sistema lineare avente funzione di trasferimento razionale sono legate alla posizione nel piano complesso dei propri poli. Ipotizziamo che non ci sia alcuno polo nel semi-piano destro, ossia che il sistema sia stabile. I poli aventi parte immaginaria non nulla compaiono sempre a coppie, ossia se un polo ha parte immaginaria non nulla, anche il suo coniugato è un polo. Dallo sviluppo in fratti semplici delle trasformate di Laplace razionali si deduce che la risposta temporale y(t)CA A.A. 2021 - 2022, Giovanni Indiveri, Università degli Studi di Genova, v. 0.67. 53 individuare gli eventuali poli dominanti nei casi:

Wn > a Wn a Wn 2 a al variare di § ≥ 0. Suggerimento: si grafichino i poli nel piano complesso e si studi la loro posizione al variare dei coefficienti indicati.

Figura 17: Hendrik W. Bode (24 dicembre 1905 - 21 giugno 1982)

I diagrammi di Bode

12 I diagrammi di Bode Alla luce della interpretazione di T(iw) vista al paragrafo (10), può essere molto utile analizzare i grafici di |T(iw)| e di arg T(iw): questi sono detti rispettivamente dia- grammi della ampiezza e della fase o diagrammi di Bode di una funzione di trasferimen- to. Se questa è razionale il tracciamento del diagramma delle ampiezze risulta molto semplificato se effettuato su scala logaritmica. Sia data una funzione di trasferimento

T(s) = Kt (s-21)(s-z2) ... (s2 +2Šhwn,hs+@2,h) (s - p1)(s - p2) ... (s2 + 2§jun,js+ wn,j) (234) razionale e propria. Siano zh, pj rispettivamente gli zeri ed i poli del sistema aventi parte immaginaria nulla. I termini realitivi a zeri e poli con parte immaginaria non nulla sono raccolti rispettivamente nei fattori (s2 + 2 §h wn,h s + wn,h) e (s2 + 25; wn,js + w2.j). Mettendo in evidenza gli zeri ed i poli nell'origine e raccogliendo opportunamente, la (234) può essere riscritta come:

(1-sgn(z1)~1 s)(1-sgn(z2)™2 s) ... 1+ S wn , h 2 + 2 Ēns wn , h T(s) = K sl (1- sgn(p1)₸1 s)(1-sgn(p2)₸2s) ... 1+ Wn.j S 2 + 2gj S Wn,j (235)CA A.A. 2021 - 2022, Giovanni Indiveri, Università degli Studi di Genova, v. 0.67. 54 dove

sgn(x) = +1 V x>0 se x= 0 0 molteplicità del polo nullo Th = 1 zhl 1 Ipj 1 costanti di tempo degli zeri reali non nulli Tj = costanti di tempo dei poli reali non nulli (-21)(-22) ... @2 wn, h K = Kt (-p1)(-p2) . Wn,j costante di Bode. Si noti che la costante di Bode K non ha necessariamente lo stesso segno di Kt: sicuramente lo ha se tutti i poli e tutti gli zeri hanno parte reale negativa. Nello sviluppo (235) si è ipotizzato di avere l ≥ 0 poli nell'origine, ma nessuno zero nullo. Il motivo è che i sistemi più comunemente oggetto di studio hanno risposta al gradino asintoticamente non nulla; se ci fosse uno zero nell'origine si avrebbe un sistema con ingresso costante non nullo ed uscita asintoticamente nulla. Questo fatto segue dall'applicare il teorema del valor finale: si abbia una T(s) = s™ T(s) essendo m > 0 la molteplicità dello zero nell'origine e T(s) una funzione razionale senza poli ne zeri nell'origine e con tutti i poli a parte reale strettamente negativa (asintoticamente stabile). In queste ipotesi l'uscita a regime relativa all'ingresso u(t) = 1(t) sarebbe:

lim y(t) = lim sT(s)U(s) = lim s (s™Î(s))}=0 S->0 ++00 Alla luce di questa osservazione se non altrimenti specificato, considereremo sistemi privi di zeri nell'origine ossia nella forma data dalla equazione (235). Con riferimento alla (235) e per ragioni che saranno illustrate nel seguito, la costante di Bode viene anche chiamata:

• Costante di posizione o guadagno statico se l = 0
• Costante di velocità se l=1
• l=2 Costante di acellerazione se essendo l la molteplicità del polo nell'origine. Per tracciare il diagramma delle ampiezze riscriviamo la (235) omettendo di indicare esplicitamente i termini sgn(), ossia:

(1-ñ1 s)(1 + 72 s) ... 1+ + 2Ens wn, h T(s) = K sl (1 -T1 $)(1 +T2s) ... 1+ S wn , h 2 2 + Wn, j S 25js Wn, j (236) dove le costanti T sono per definizione numeri reali positivi ed il segno + o - nei fattori del primo ordine 1 ±T s dipendono dal segno del polo o zero relativo come esplicitamente calcolato nella (235). Per tracciare il diagramma delle ampiezze è sufficiente osservare