Corso di Fondamenti di Automatica: regolatori PID e desaturazione

Regolatori Standard PID - Introduzione

I regolatori PID sono detti anche "standard" perché hanno una struttura prefissata e quindi piuttosto che di metodi di progetto si parla di metodi di taratura Sono i più diffusi a livello industriale per i seguenti motivi

• sono adatti a controllare una vasta gamma di processi
• sono disponibili diverse tecniche di taratura che richiedono competenze limitate
• sono estremamente semplici da realizzare con diverse tecnologie
  • meccanica
  • pneumatica
  • idraulica
  • elettronica analogica o digitale
• hanno costo contenuto e c'è ampia disponibilità sul mercato

Modello dei regolatori PID

Il termine PID è la sigla di "Proporzionale", "Integrale", "Derivativo" che indicano le tre azioni che il regolatore effettua sull'errore di regolazione

la presenza dell'azione proporzionale (P) è l'azione più elementare che si può effettuare in retroazione e abbiamo già visto che consente di accrescere la velocità di risposta e migliorare la precisione statica oltre che ridurre l'effetto dei disturbi in catena diretta e delle incertezze parametriche

l'azione integrale (I) è richiesta per ottenere la proprietà di astatismo

l'azione derivativa (D) viene introdotta per tentare di "anticipare" l'andamento dell'errore negli istanti futuri

• in t1 e = 0 ma è < 0 quindi u deve diminuire (proporzionale ad ė) per far diminuire y e quindi ridurre e
• in t2 e = 0 ma è > 0 quindi u deve aumentare (proporzionale ad ė) per far aumentare y quindi ridurre e

y(t) y d t1 t2 t

Modello dei regolatori PID - Combinazione delle azioni

La grande potenzialità del PID, e contemporaneamente la sua flessibilità, è che le tre azioni possono essere opportunamente combinate tra loro

La legge di controllo generale nel dominio del tempo è rt u(t) = Kpe(t) + K1 | e(t)dt + Kpė(t) to

• Kp è detto "coefficiente dell'azione proporzionale" o "guadagno proporzionale"
• KI è detto "coefficiente dell'azione integrale" o "guadagno integrale"
• Kp è detto "coefficiente dell'azione derivativa" o "guadagno derivativo"

Cui corrisponde la funzione di trasferimento (non fisicamente realizzabile) con 2 zeri e 1 polo nell'origine RPID(s) = Kp +-+ KDS = KI S Kps2 + Kps + KI S Che è il parallelo delle tre funzioni di trasferimento Kı Rp(s) = Kp, RI(s) =- , RD(s) = KDS S

Modello dei regolatori PID - Schema a blocchi

Lo schema a blocchi corrispondente è RP + w + + u R2(s) - + y RD(s) Rappresentazioni più comuni del PID ideale sono RPID(s) = Kp 1+1 TIS + Tps ) = Kp TTps2 + Tis + 1 TIS

• Con TI = Kp /KI tempo integrale Tp = KD/KP tempo derivativo

Modello dei regolatori PID - Azione derivativa reale

Per rendere la funzione di trasferimento fisicamente realizzabile, si modifica l'azione derivativa ideale definendo l'azione derivativa reale RØ(s) = KpTDS TD 1 + ~ S = KDS N = 5: 20 N 1 + KD KPN , S E quindi il PID reale ha la funzione di trasferimento con due poli e due zeri RØD(s) = Kp 1+ TIS 1 - + 1 + Tp N TDS S = Kp + KI S KDS -- + 1+ KD KPN' S si noti però che, a parità di guadagni, gli zeri del PID reale sono (poco) diversi da quelli del PID ideale che li ha in -TILVTI(TI-4TD) Sono reali e coincidenti per TI = 4Tp e si trovano in - 1 2 2TD - = - TI S = 2TIT D

Modello dei regolatori PID - Combinazioni di azioni

Non necessariamente tutte le azioni sono presenti contemporaneamente, ma le combinazioni più usate sono

• P (KD = 0, KI=0) Ouso limitato a processi stabili a ciclo aperto e specifiche statiche "blande"
• I (Kp = 0, KD = 0) Ouso in caso di specifiche di precisione statica ma non di velocità di risposta
• PI (KD = 0) Isono usati per allargare la banda passante in presenza di un'azione integrale
• PD (KI = 0) sono utilizzati per stabilizzare e ampliare la banda passante
• PID Ipossono essere interpretati come una rete a sella e sono impiegati per una vasta classe di processi

Modello dei regolatori PID - Risposta in frequenza

Modulo (dB) diagrammi esatti 3 PID ideale PID reale 90 Fase (gradi) -90 3 La risposta in frequenza del PID

• il PID ideale, essendo improprio, ha una elevata amplificazione ad alta frequenza, analogamente, quello reale al crescere di N
  • amplificazione del rumore di misura
• la fase mostra come si tratta di una rete a ritardo e anticipo (sella)

Realizzazione dei regolatori PID

Nell'implementazione pratica dei regolatori PID occorre adottare alcuni accorgimenti necessari a migliorare le prestazioni del sistema di controllo

Limitazione dell'azione derivativa

RP d Rp d ! w + e + Y+u + V + y w+ e + + + V+ y R (s) >O G(s) G(s) + Ry(s) RD(s) RD(s) a) b)

• lo schema a) presenta l'azione derivativa sull'errore, quindi nel caso di andamenti discontinui l'ingresso di controllo ha andamento impulsivo
• nello schema b) viene derivata la sola uscita che è certamente continua; cambiano solo gli zeri della F (s) quindi non la stabilità ma solo il transitorio +

Realizzazione dei regolatori PID - Esempio derivazione

Esempio 1.4 12 1.2 10 1 8 0.8 y u 6 0.6 4 0.4 2 0.2 0 0 0 2 4 6 8 10 12 0 2 4 6 8 10 12 t b) t a) derivazione dell'errore derivazione dell'uscita

• nel derivare l'uscita e non l'errore scompare il picco iniziale causato dall'andamento a gradino del riferimento ma cambia il transitorio, peggiorando la precisione dinamica, tuttavia l'errore a regime rimane invariato

Realizzazione dei regolatori PID - Esempio segnale di controllo

Esempio 10 10 1.5 5 5 1 u 0) u 0 AI 0.5 -5 -5 -10 -10 0 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 t t t a) b)

• a sinistra il segnale di controllo in uscita ad un PID reale (con N = 30)
• al centro il segnale di controllo in uscita allo stesso PID reale ma con N = 5; è evidente la riduzione dell'amplificazione del rumore di misura
• a destra l'uscita in entrambi i casi; i due andamenti sono praticamente identici, quindi N va scelto il più piccolo possibile compatibilmente con l'andamento desiderato per la variabile controllata y

Realizzazione dei regolatori PID - Desaturazione azione integrale

Desaturazione dell'azione integrale w + e u UM f m y G(s) - S +-UM

• il fenomeno indesiderato del wind-up si verifica quando un'azione integrale agisce in presenza di un attuatore (o un amplificatore di potenza) saturante m(t) = -UM, u(t), UM u(t) <- UM lu(t)| <UM u(t) > UM
• se l'errore rimane di segno costante l'uscita u dell'integratore tende ad aumentare mentre l'effettivo segnale di controllo m rimane costante pari a LUM
• quando l'errore cambia segno occorre un certo tempo prima che l'integratore "si scarichi" e u scenda sotto il valore di saturazione e sia di nuovo m = u(t) KI

Realizzazione dei regolatori PID - Esempio wind-up

Esempio 1.5 2.5 2 1 1.5 caso lineare y con attuatore 1 e u 0.5 0.5 m 0 0 -0.5 0 10 20 30 0 10 20 30 t t in presenza di wind-up i tempi di assestamento si allungano in quanto la variabile u raggiunge valori così elevati che per tornare al di sotto del valore di saturazione occorrono tempi lunghi e solo allora l'errore può portarsi a zero

• il problema è che lo stato del regolatore non è congruente con l'effettiva variabile di controllo m saturante

Realizzazione dei regolatori PID - Schema di desaturazione

Schema di desaturazione per regolatori PID Attuatore w e q+ b C + 11 m y Kp > G(s) - + +UM / -- UM Z 1 1 + STI 1 + KpSTD STD N

• quando l'attuatore funziona in zona lineare la funzione di trasferimento da e a c è quella di un PI, infatti C(s) E(s) 1 = Kp 1 1 + sTI 1 = Kp 1 + STI STI
• supponiamo che e > 0 e che b superi il valore uM; allora c è pari ad uM e dopo un breve transitorio (tanto più veloce quanto più TI è piccola) anche z vale uM; non appena e < 0, e quindi q = Kpe < 0, risulta b=q+z=q+uM <uM ! + A UM

Realizzazione dei regolatori PID - Esempio desaturazione

Schema di desaturazione per regolatori PID (esempio) 1 0.8 senza saturazione y 0.6 con saturazione e senza schema di desaturazione 0.4 con schema di desaturazione 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 t grazie al fatto che la relazione tra q ed e è istantanea il tempo di desaturazione è notevolmente ridotto e l'errore arriva a regime più rapidamente

Metodi di Taratura

Metodi di taratura automatica

Se è disponibile un modello matematico del processo, i regolatori PID, come tutti i regolatori, possono essere tarati con uno dei metodi già visti (luogo delle radici, sintesi in w) Se tale modello non è disponibile, esistono diverse tecniche di taratura automatica basate su prove sperimentali da eseguire sul processo

• metodi in anello chiuso (richiedono la retroazione della variabile controllata) Ometodo di Ziegler e Nichols
• metodi in anello aperto (non richiedono la retroazione della variabile controllata)
  • metodo della tangente per la determinazione del modello
  • Ometodo di Ziegler e Nichols
  • Ometodo di Cohen e Coon e IMC

! sono applicabili solo se il processo è asintoticamente stabile e a guadagno positivo (sistema a stabilità regolare)

Metodi di taratura automatica in anello chiuso

Metodo in anello chiuso di Ziegler e Nichols

• si applica la sola azione proporzionale
• si aumenta il guadagno fino al valore Kp per cui il sistema è al limite della stabilità
• si misura il periodo dell'oscillazione permanente T
• in base ai valori così determinati, assumendo TI = 4Tp , i guadagni si settano come KP TI TI P 0.5Kp PI 0.45Kp 0.8₸ PID 0.6Ãp 0.5₸ 0.125₸ y Kp ₭ Kp Kp [
• nel caso di sistemi a stabilità intrinseca (margine di guadagno infinito) non è applicabile
• la prova sperimentale così come descritta può essere pericolosa
• esistono procedure sperimentali alternative per la determinazione dei due parametri necessari alla taratura basate sull'uso di sistemi non lineari (PID ad autosintonia)
• è adatto per processi con tempi di risposta brevi TI = Kp/KI tempo integrale

Metodi di taratura automatica in anello chiuso - Interpretazione

Metodo in anello chiuso di Ziegler e Nichols (Interpretazione)

• con il regolatore R(s) = Kp il sistema a ciclo chiuso presenta un modo periodico quindi vuol dire che il diagramma di Nyquist del guadagno d'anello passa per il punto critico alla pulsazione wf = = , dunque il guadagno critico è pari al margine di guadagno km, infatti risulta kmG(jwf) = - 1 => G(jwf) =- >> = 1 KP T == ω= 元 2π 1 Im 1/k, G(ją'z) > -1 A 0 Re ωπ
• il metodo consiste nel tarare il regolatore sulla base della conoscenza del solo punto A del diagramma polare del processo