Fisica: Rotolamento con e senza attrito, Lezione 11 per Università

Rotolamento

Consideriamo corpi che rotolano dolcemente su una superficie senza slittare. Il centro della ruota segue una traiettoria rettilinea parallela alla superficie (Traslazione del Centro di Massa). Un punto sul bordo della ruota segue una traiettoria più complessa, cicloide (Rotazione attorno al Centro di Massa) Fisica - Lezione 11

La Ruota della Bicicletta

Supponiamo di avere una ruota che rotola senza strisciare. Il centro di massa O si sposta in avanti con velocità lineare Vody. Anche il punto di contatto con il fondo stradale si sposta in avanti con la stessa velocità. Fisica - Lezione 11

Il Moto della Ruota

Nell'intervallo di tempo t, O e P avanzeranno di un tratto s, mentre la ruota avrà girato in avanti di un angolo 0 = s/R, dove R è il raggio della ruota. La velocità angolare della ruota sarà, pertanto: W = de dt = R dt 1 ds = Vcdm R Nel moto di rotolamento senza slittamento, vale la relazione tra la velocità lineare del cdm della ruota e la velocità angolare attorno al proprio centro: Vcdm = WR Fisica - Lezione 11

Descriviamo il Moto della Ruota

a) Rotazione pura + b) Traslazione pura = (c) Moto di rotolamento V=Vcdm 0 8 P V= - Vcdm V= cdm T cdm P DElcdm V= 2vcdm Vcdm 0 00 P V =- Vcdm + Vcdm= 0 Il punto della ruota di contatto tra la ruota e il fondo stradale ha velocità nulla, è fermo. Mentre il punto diametralmente opposto ha la velocità massima, 2Vcdm. Fisica - Lezione 11

Foto a Lunga Esposizione

Il rotolamento può essere visto come un moto di pura rotazione attorno al punto di contatto P. Asse di rotazione in P Fisica - Lezione 11

Energia Cinetica nel Rotolamento

Energia cinetica per una pura rotazione di una ruota rispetto a P. 1 - Ipw 2 K = 2 Teorema di Huygens-Steiner: Ip = Icdm + MR2 K = 1 (Icam + MR2)w2 2 1 Icdmw2+ -MR2002 1 K = 2 2 T Asse di rotazione in P Fisica - Lezione 11

Energia Cinetica nel Rotolamento (Continuazione)

K = 2 1 Icdm w 2 + - MR2002 2 1 1 1 K = - 2 Icdmw2 + -Mvcdm 2 Un oggetto rotolante possiede due tipi di energia cinetica: un'energia cinetica rotazionale connessa alla rotazione attorno al suo centro di massa, ed un'energia cinetica traslazionale, legata alla traslazione del suo centro di massa. Fisica - Lezione 11

L'Attrito nel Rotolamento

Se una ruota rotola con velocità costante, non ha alcuna tendenza a strisciare nel punto di contatto con il fondo stradale. Se, invece, è soggetta ad una forza che tende a fare variare la sua Vcdm, o la sua velocità angolare w, la ruota tende a strisciare. Fino a quando la ruota non slitta, la forza è di attrito statico e il moto è volvente, e vale: acdm = aR dcdm Fisica - Lezione 11

Rotolamento in Discesa

Le forze F sin ℮ e f determinano l'accelerazione lineare giù per la rampa Le forze Fye F cos e si bilanciano ed elidono Fnet = Macdm net F sın e 1 g R r P 0 0 F , cos ℮ B F Inet = Ia Il momento torcente dovuto a f. determina l'accelerazione angolare attorno al cdm acdm = aR Fisica - Lezione 11

Equazioni del Moto: Traslazione

Seconda legge di Newton per la coordinata y, lungo la quale non c'è moto: Macdm,y = 0 = Fy - Mg cos 0 > FN = Mg cos 0 Seconda legge di Newton per la coordinata x: Macdm,x = fs - Mg sin 0 Abbiamo due incognite: a cdm,x e f. S' Fisica - Lezione 11

Equazioni del Moto: Rotazione

Le forze F. e Fy sono applicate nel cdm, pertanto hanno braccio nullo ed il loro momento torcente è nullo. La forza di attrito f. è applicata nel punto P, con braccio R, e genera un momento f R. Il momento è positivo perché tende a far ruotare il corpo nel verso antiorario. Seconda legge di Newton in forma rotazionale: Icdma = Rfs Abbiamo due incognite: f. e a. Inoltre acdm = aR Fisica - Lezione 11

Equazioni del Moto: Rotolamento

Dal momento che il corpo rotola senza strisciare, acdm ed a sono legate tra loro. Dobbiamo fare attenzione ai segni, mentre l'accelerazione angolare è positiva (rotazione antiorario), l'accelerazione lineare è negativa (verso negativo dell'asse delle x): a = acdm,x R a fs = Icdm R acdm,x fs =- Icdm R2 Fisica - Lezione 11

Equazioni del Moto (Sintesi)

Macdm,x = fs - Mg sin 0 acdm,x fs =- Icdm R2 Macdm,x acdm,x == 1cdm R2 - Mg sin 0 acdm,x = - Mg sin 0 Macdm,x 1+ MR2 g sin ℮ acdm,x 1+- lcdm / MR2 Fisica - Lezione 11

Equazione del Moto (Finale)

Macdm,x cdm R2 Icdm = - Mg sin 0Equazione del Moto g sin ℮ acdm,x - (1 + lcdm MR2 Equazione valida per qualsiasi corpo che rotoli scendendo lungo un piano inclinato. L'accelerazione è inferiore a quella di un punto materiale lungo un piano inclinato (a cdm,x = - g sin 0). La forza di gravità provoca la discesa, ma è la forza d'attrito a generare il rotolamento. Se non ci fosse attrito, il corpo scenderebbe traslando senza rotolare (e acdm.x = - g sin 0). Fisica - Lezione 11

Risoluzione Alternativa

Calcoliamo il momento delle forze rispetto a P. Ipa = R Mg sin 0 f. e FN S hanno infatti braccio nullo. (Icdm +MR2) -acdm,x R = R Mg sin 0 MR2 g sin 0 acdm,x = (Icdm +MR2) g sin ℮ acdm,x (1+ I cdm MR2 ) ) Fisica - Lezione 11

Energia Cinetica nel Moto di Rotolamento Puro

L'energia cinetica consta di due termini, uno traslazionale ed uno rotazionale: K = - 1 1 2 2 lcdmw 2 + - Mvcdm cdm K = 1 - 2 - Icdm 1 22 cdm R2 + - 2 Mv 2 cdm K = - M 1 cdm 2 1. MR2 + 1) v2am Fisica - Lezione 11

Variazione del Momento d'Inerzia

L = lw costante Cosa succede se variamo I, cioè se 1; * If? 1;0 ;= 1+Wf L4 L4 Wf If Asse di rotazione Fisica - Lezione 11

Esempi nello Sport

Il momento angolare non cambia, ma la tuffatrice può controllare la velocità angolare, soprattutto durante l'ingresso in acqua. Idem, per la saltatrice, per atterrare il più distante possibile. (Ld Fisica - Lezione 11

Esempio in Laboratorio

L 4 L -Li a (a) (b) < = + 4 Li L -Li (c) Iniziale Finale Il momento angolare dello studente non è più nullo e la somma di questi due vettori eguaglia quello iniziale Fisica - Lezione 11

Traslazione vs. Rotazione

Traslazione

• Forza F
• Quantità di moto p
• Quantità di motob P (=> Pi)
• Quantità di moto P = Mvcdm
• Seconda legge di Newton Fnet = dP/dt
• Legge di conservazioned P = constante

Rotazione

• Momento della forza T (= rx F)
• Momento angolare l (= rx p)
• Momento angolareb L(= >li)
• Momento angolare" L= I@
• Seconda legge di Newtonb Fnet = dL/dt
• Legge di conservazioned L = costante

" Vedi anche la tabella 10.3. b Per sistemi di particelle, corpi rigidi compresi. " Per un corpo rigido rotante intorno a un asse fisso, essendo Z la componente lungo quest'asse. d Per un sistema chiuso e isolato. Fisica - Lezione 11

Esercizio 30: Disco e Anello su Piano Inclinato

Un disco pieno e un anello con lo stesso raggio R e stessa massa m scendono lungo un piano inclinato. Quale dei due arriverà alla fine del piano con maggiore velocità? h Fisica - Lezione 11

Risoluzione Esercizio 30 (Senza Attrito)

Se il piano è liscio (senza attrito), i due oggetti traslano e non rotolano. Conservazione dell'energia: 1. Anello: Ei,A = mgh 1 - MVA 2 2 2. Disco: 1 Eip = mgh i,D EfD = = mv6 2 2 Disco e Anello arriveranno alla fine del piano inclinato con la stessa velocità vA = VD = 12gh. h Fisica - Lezione 11

Momenti d'Inerzia

Anello e Cilindro

• Asse Anello rispetto all'asse centrale I = MR2 (a)
• Asse Cilindro anulare rispetto all'asse centrale I = 2M(R] + R2) (b)
• Asse Cilindro pieno (o disco) rispetto all'asse centrale I = 1/2 MR2 (c)

Cilindro, Barra e Sfera

• Asse Cilindro pieno (o disco) rispetto a un diametro passante per il centro I = 1/4 MR2 + 1/12 ML2 (d)
• Asse Barra sottile rispetto a un asse passante per il centro e perpendicolare alla lunghezza I = 1/12 ML2 (e)
• Asse Sfera piena rispetto a un diametro I = 2/5 MR2 (f)

Anello, Lastra e Sfera Cava

• Asse Anello rispetto a un diametro I = 1/2 MR2 (g)
• Asse Lastra rispetto a un asse perpendicolare passante per il centro I = 1/12 M(a2+b2) (i)
• Asse Sfera cava (o guscio) sottile, rispetto a un diametro I = 2/3 MR2 (h)

Fisica - Lezione 10

Risoluzione Esercizio 30 (Con Attrito)

Se il piano è scabro (con attrito) dobbiamo includere anche il termine rotazionale nella conservazione dell'energia: Anello: Ei,A = mgh Ef A = = mv2 + 1402 Disco: EiD = mgh EfD = 2 1 1 2 Anello, Ei,A=Ef A: mgh = = mvx + 2 (mR 2 2 2 R VA () = mv ) Disco, Ei,p=EfD : mgh == mvB +(mR2 ) ("") 2 =mv 2 D 4 VA= Vghe VD = V3 gh Il disco arriva in fondo al piano inclinato più velocemente. Fisica - Lezione 11

Esercizio 31: Cilindro su Tetto Inclinato

Un cilindro pieno (disco) di raggio r = 10 cm e massa m = 12 kg, partendo da fermo, rotola senza strisciare per una distanza d1 = 6.0 m giù per il tetto di una casa inclinato di 0 = 30°. (a) Quando lascia il bordo del tetto, qual è la velocità angolare del disco rispetto ad un asse passante per il suo centro di massa? (b) La parete esterna della casa è alta h2 = 5.0 m. A che distanza d2 dal bordo del tetto atterrerà il disco sul terreno piano? 6,0 m 30° 5,0 m Fisica - Lezione 11

Risoluzione Esercizio 31: Velocità Angolare

a) Applichiamo la conservazione dell'energia. Istante iniziale del moto. Ki = O J (cilindro fermo) Ui = mgh1 = mg(11 * sin 30°) = mg(11/2) Prendiamo come riferimento per l'energia potenziale gravitazione il bordo del tetto. Al momento in il disco lascia il bordo del tetto: Kf= 1/2 mv2 + 1/2 1w2= 1/2 m(r)2+ 1/2 (1/2 mr2) w2 = 3/4 mr2w2 Uf = OJ (quota di riferimento dell'energia potenziale gravitazionale) Ui = Kf -> mg(11/2) = 3/4 mr2w2-> 2gl1 = 3r2w2 W = - r 1 V 2gl1 3 1 0.1m V 2 * 9.8 ~z * 6m = 62.61 rad S 3 Fisica - Lezione 11

Risoluzione Esercizio 31: Distanza di Atterraggio

b) Moto del proiettile. Velocità iniziale: Vo = wR = 6.26 m/s Vo,x = Vo COSe = Vo cos 30° = +5.42 m/s (positiva verso sinistra) Vo,y = Vo sine = Vo sin 30° = +3.13 m/s (positiva verso il basso) Asse y: moto uniformemente accelerato: y(t2) = Vo,yt2 + 1/2 g(t2)2 = h2 h2 = Vo,yt2 + 1/2 g(t2)2 1/2 g(t2)2 + Vo,yt2 - h2 = 0 = 0.74 s t2 = ( -vo,y Vő,y+2gh2 g d2 = Vo,x t2 = 3.9 m X Vo y Fisica - Lezione 11