Calcolo Differenziale: derivate, teoremi e studio di funzione per l'Università

CALCOLO DIFFERENZIALE

ANTONIO IANNIZZOTTO SOMMARIO. Definizione di derivata. Classificazione delle singolarità. Calcolo differenziale elementare. Teoremi di Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange, de l'Hôpital. Derivata prima e monotonia. Derivata seconda. Convessità e flessi. Derivate successive. Classificazione dei punti critici. Formule di Taylor, Maclaurin. Grafico di una funzione. Metodo di Newton. Queste note sono un mero supporto didattico, senza alcuna pretesa di completezza, originalità o precisione.

INDICE

1. Il concetto di derivata 1
2. Calcolo differenziale elementare 6
3. I teoremi classici 10
4. Derivate successive 16
5. Studio del grafico di una funzione 22
6. Approssimazione mediante polinomi 27
7. Il metodo di Newton 32

Riferimenti bibliografici 34 Versione del 15 dicembre 2023 Time may change me, but I can't trace time. D. BOWIE

IL CONCETTO DI DERIVATA

Uno dei motivi per cui si introduce la nozione di derivata di una funzione è la determinazione della retta tangente a una curva in un un punto assegnato. Consideriamo per esempio la parabola di equazione y = x2 e un suo punto Po = (x0,x2) (x0 € R). Dato un altro punto P1 = (x1,x2) (x1 # x0), la retta che li congiunge ha equazione

2 x- x0 0 = 2 - 2020 , ovvero (semplificando) y= (x1+ x0)(x-x0) +x2, m(x1) dove il coefficiente angolare m(x1) è pari al rapporto incrementale della funzione x +> x2 fra i punti xo e x1. Quando x1 -> x0, si ha lim m(x1) = 2x0. x1->x0 Questo numero, detto derivata prima della funzione x + x2 nel punto xo, è il coefficiente angolare della retta tangente alla parabola in P0, che ha equazione completa y = 2x0(x - x0) + x2 (fig. 1, 2). Formalmente:

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y x O FIGURA 1. La parabola y = x2 e una retta secante in (1,1).

y x FIGURA 2. La parabola y = x2 e la retta tangente in (1,1).

Definizione 1.1. Siano I CR un intervallo1, f : I -> R, xo E I. Se esiste l E R t.c. f(x) - f(x0) lim x- x0 =1, la funzione f è detta derivabile in xo e il numero Df (xo) = l è detto derivata di f in xo. Inoltre, f è detta derivabile in I se è derivabile in ogni punto di I, e in tal caso è definita la funzione derivata Df : I ->R. Notazioni equivalenti per la derivata di f in xo sono f'(x0), (xo), f(xo). Ovviamente, se esiste, la derivata si può esprimere anche come Df(x0) = lim h->0 f(x0 +h) - f(x0) h (1.1) . Osservazione 1.2. (Significato geometrico della derivata) Riprendiamo più in generale il ragio- namento svolto per la parabola. Sia f : I -> R derivabile in xo E I. L'equazione di una retta R passante per Po (e non parallela all'asse y) è y = m(x- x0) +f(xo), dove il coefficiente angolare m E R è arbitrario. Diremo che R è tangente a gr(f) in Po se, detto (x, y) un punto di R, si ha lim f(x) -y=0. x- x0 L'unica scelta di m che realizza questa condizione è m = Df(x0), dunque la retta di equazione y= Df(x0)(x-x0) +f(x0) è tangente a gr(f) in Po. Se invece f(x) - f(x0) lim x-+x0 x- x0 = 100 (in particolare f non è derivabile in xo), la tangente a gr(f) in Po è la retta di equazione x = x0. Osservazione 1.3. (Significato fisico della derivata) Consideriamo un corpo che si muove durante un intervallo temporale [0, T] secondo la legge oraria s : [0,T] -> R, dove s(t) denota la distanza 1Svolgeremo tutta la teoria per funzioni definite su un intervallo, per semplicità.3

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percorsa all'istante t € [0, T]. Fissati due istanti to < t1, la velocità media del moto nell'intervallo [to, t1] è s(t1) - s(to) t1 -to . Se s è derivabile in to, la velocità istantanea è data da Ds(to) = lim t1->to t1 - to In generale, possiamo dire che la derivata di una funzione f in un punto xo è un'altra funzione che descrive la variazione di f vicino a x0 ma senza coinvolgere direttamente altri punti diversi da xo stesso (se x rappresenta il tempo, lo scopo della derivata è condensare la variazione di f (x) in un'informazione istantanea). In accordo con l'Osservazione 1.2 si introduce la seguente definizione: Definizione 1.4. Una funzione f : I -> R è detta differenziabile in xo E R se esiste una funzione lineare df (xo) : R -> R t.c. f(x)- f(x0)-df(xo)(x-x0) lim x->x0 x- x0 =0. In questo caso, la funzione df(xo) è detta differenziale (primo) di f in xo. Una caratterizzazione della differenziabilità, scritta adoperando i simboli di Landau (ved. [2]), è la seguente condizione: f(x0 + h) = f(x0) + Df(x0)h + o(h). (1.2) La Definizione 1.4 in effetti non introduce nulla di nuovo rispetto alla Definizione 1.1: infatti le funzioni lineari definite in R sono in corrispondenza biunivoca con le costanti reali, e si dimostra immediatamente che f è differenziabile in xo => f è derivabile in xo, e che df (x0)(h) = Df(xo)h (i concetti di derivabilità e differenziabilità si distinguono nel contesto delle funzioni di più variabili reali, ved. [6]). Calcoliamo adesso le derivate di alcune funzioni elementari (usando anche i limiti notevoli visti in [2]): Esempio 1.5. Generalizziamo il caso visto all'inizio alla funzione x H x2 (n E N). Ovviamente, per n = 0 abbiamo D(1) = 0. Per ogni n € No ricordiamo il prodotto notevole an - bn = (a - b) (an-1 + an-2b+ ... + b2-1). Si ha allora per ogni x0 € R lim xn - acht = lim (x2-1 + xn-2x0+ ... + x"-1) = nx2-1. Esempio 1.6. Consideriamo la funzione x H xº (a E R \ {0}). Per ogni x0 € [0, +00[ si ha lim h->0 (x0 +h)a - x8 h x8-1 lim h->0 h/x0 = (1 + h/x0)ª -1 = ax8-1. Esempio 1.7. Calcoliamo la derivata della funzione esponenziale x + e". Per ogni xo E R si ha et - et0 e™-10 - 1 lim xxx0 x-x0 = e lim x->x0 x- x0 = et0. s(t1) - s(to) .4

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y x FIGURA 3. y = |x|.

Esempio 1.8. Calcoliamo la derivata della funzione logaritmica x +> In(x). Per ogni xo > 0 si ha x0 +h) x0 h/x0 1 lim In(x0 +h) -In(x0) 1 x0 h->0 = lim - In 1 h->0 h x0 = lim ln(1 + h/x0) = . h->0 h Esempio 1.9. Calcoliamo la derivata della funzione trigonometrica x + sin(x). Ricordiamo la formula di prostaferesi sin(a) - sin(3) = 2 sin (1.3) (a-B) cos ( a+ B ) . Fissato x0 E R, per ogni x # x0 si ha sin(x) - sin(x0) x- x0 sin ( - 20) 2 2 x- x0 cos ( (x + x0) -> cos(x0), 2 = così che D sin(x) = cos(x). Similmente si calcolano le seguenti derivate: Da" = a™ In(a) (a > 0), Dlna(x) = x ln(a) 1 (a>0,a+1), Dcos(x) =- sin(x). Teorema 1.10. Sia f : I -> R derivabile in xo E I. Allora f è continua in xo. Dimostrazione. Chiaramente x0 € DI. Si ha per ogni x € I, x # x0 f(x) = x- x0 f(x) - f(x0) (x- x0) + f(x0) -> f(xo), cioè f è continua in xo. L'implicazione non si inverte: Esempio 1.11. La funzione x -> |x| è continua, ma non derivabile in 0 (fig. 3). Infatti si ha lim h->0+ |h| - |0| h 1, h->0- lim h = -1. Per studiare le funzioni come quella dell'Esempio 1.11, introduciamo le derivate unilaterali: Definizione 1.12. Siano f : I -> R, x0 € I \ {sup I}. Se esiste l E R t.c. f(x) - f(x0) lim .+ x -xo = l, 0 allora f è derivabile da destra in xo e la derivata destra è D+ f(xo) =l.5

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x FIGURA 4. y = |x|.

y x 0 FIGURA 5. y = 3x.

La definizione della derivata sinistra D- f(xo) è analoga. Ovviamente se D+f(x0) =D=f(x0) =1, allora f è derivabile in xo con Df(x0) = l. L'uso delle derivate unilaterali permette di classificare le più comuni singolarità di una funzione. Definizione 1.13. Siano f : I -> R, xo E I t.c. f è continua ma non derivabile in xo. Allora xo è un punto singolare per f. In particolare: (¿) se esistono finite D+f(x0) = l+ con l+ +l-, xo è un angolo per f; (ii) se f(x0+h) - f(x0) lim h->0 h = 100 o se xo è uno degli estremi di I e l'unica derivata calcolabile è Loo, xo è un punto a tangente verticale per f ; (iii) se lim h->0± f(x0+h) - f(x0) h = 100, xo è una cuspide per f . Osserviamo che la differenza fra i casi (ii) e (iii) è che in (ii) i limiti coincidono, mentre in (iii) sono opposti. Chiaramente l'Esempio 1.11 mostra un angolo (¿). I seguenti esempi illustrano vari tipi di punti di non-derivabilità: Esempio 1.14. La funzione f : R -> R, f(x) = In(|x| +1) (fig. 4) non è derivabile in 0 in quanto D+f(0)=1, D=f(0) =- 1, si tratta quindi di un angolo (Definizione 1.13 (¿)). Esempio 1.15. La funzione f : R -> R, f(x) = 3x (fig. 5) non è derivabile in 0 in quanto f(x)-f(0) lim x->0+ x x->0- = lim f(x)-f(0) x = +00, il che fa di 0 un punto a tangente verticale (Definizione 1.13 (ii)). Esempio 1.16. La funzione f : R > R, f(x) = V|| (fig. 6) non è derivabile in 0 in quanto lim f(x)- f(0) x = +00, lim x->0- f(x)-f(0) x = -00, x->0+ il che fa di 0 una cuspide (Definizione 1.13 (iii)).6

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y x 0 FIGURA 6. y = VIxxl.

y FIGURA 7. y = x sin (1).

Non tutte le singolarità rientrano nella Definizione 1.13: Esempio 1.17. La funzione f : R -> R (fig. 7) definita da (2)={ Læsin 0 x se x + 0 se x = 0 è continua ma non derivabile in 0 in quanto non esistono i limiti lim x->0± f(x)-f(0) x x->0= = lim sin 1 x Esercizio 1.18. Calcolare la derivata di x + cos(x) mediante le formule di prostaferesi e quella di xH In(x) mediante limiti notevoli. Esercizio 1.19. Determinare, se esiste, la retta tangente al grafico di f :]0, +[-> R, f(x) = x-In(x) nel punto (1,1). Esercizio 1.20. Sia f : R -> R una funzione pari (f(-x) = f(x)), derivabile nel suo dominio. Dimostrare che Df : R -> R è dispari (Df(-x) = - Df(x)). E se f è dispari? Esercizio 1.21. Descrivere le singolarità delle funzioni x+, V1 - x2, elx-2). Esercizio 1.22. Studiare il comportamento in 0 della funzione f(x) = - π 2 x arctan 1 se x = 0 se x = 0.

CALCOLO DIFFERENZIALE ELEMENTARE

In questa sezione riportiamo alcuni risultati che permettono di calcolare le derivate di varie combinazioni di funzioni elementari. Lemma 2.1. (Operazioni sulle derivate) Siano f, g : I -> R derivabili in xo E I. Allora: (i) D[f +g](x0) = Df(x0)+Dg(x0); (ii) D[fg](x0)= Df(x0)g(x)+f(xo)Dg(xo); Dg(x0) (iii) se g(x0) +0, D O, D[](x) =- g(x0)2' 1 .7

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(2) +0, D[](z)= g(x0)2 Df(x0)g(x0)- f(x0)Dg(x0) . Dimostrazione. La prova di (¿) è banale. Dimostriamo (ii). Per ogni x € I \ {x0} si ha f(x)g(x) - f(x)g(x0) = f(x)- f(x0) g(x) - g(x0) x- x0 , x- x0 x- x0 g(x)+f(x0) e passando al limite per x -> xo concludiamo. Dimostriamo (iii). Per x € I \ {xo} abbastanza vicino a x0 si ha g(x) = 0 (Teorema di permanenza del segno, ved. [2]), da cui g(x)-1-g(x0)-1 x- x0 = g(x)g(x0) 1 g(x0) - g(x) , e passando al limite per x -> xo concludiamo. Infine, (iv) è una combinazione delle precedenti. Applicando il Lemma 2.1, possiamo derivare diverse combinazioni di funzioni elementari: Esempio 2.2. Consideriamo un polinomio f (x) = anx" + an-1x-+.a1x + ao, di grado n E No e coefficienti ao, ... an E R (an # 0). Si ha allora per il Lemma 2.1 (i) Df(x) = nanx™-1+ (n-1)an-1x2-2 + ... + @1. Per esempio, D[x3 + 4x2 + 2x] = 3x2 + 8x + 2. Esempio 2.3. Sia x ER, x = " + KT (k E Z). Si ha per il Lemma 2.1 (iv) Dtan(x) = D = cos(x)2 + sin(x)2 cos(x)2 = cos(x)2* 1 Similmente, per ogni x E R, x + kT (k € Z) si ha D cot(x) = sin(x)2 1 I seguenti lemmi permettono di derivare anche funzioni composte e inverse: Lemma 2.4. (Derivata di funzione composta) Siano I, J C R intervalli, f : I -> J, g : J -> R, IO E I, yo = f(x0) t.c. f è derivabile in xo e g è derivabile in yo. Allora go f : I -> R è derivabile in x0 e D(gof)(xo)=Dg(yo)Df(xo). Dimostrazione. In particolare f è continua in xo e g in yo. Per semplicità, possiamo assumere che f(x) = f(xo) per ogni x € I \ {x} in un intorno di xo. Dunque abbiamo g(f(x))-g(f(xo)) x- x0 = f(x)-yo g(f(x))-g(yo) f(x) - f(xo) x- x0 , e passando al limite per x -> xo concludiamo. Esempio 2.5. Si ha, per ogni x E R ove le funzioni coinvolte siano definite e derivabili, [v] = 27 DI( 2Vx' D[ln(sin(x))] = cot(x), D[x]= D[ezln(a)] =x™(In(x) +1). Osserviamo che la funzione composta go f può essere derivabile in un punto senza che lo siano f e g.