Fisica Tecnica e Trasmissione del Calore: Conduzione in regime non stazionario

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Fisica Tecnica e Trasmissione del Calore LICAE UTILITATI . UNIVERSE DE LOUISE . SCIENTIA

Lezione 6: Conduzione: Regime non stazionario monodimensionale: Biot > 0,10 e Biot ≤ 0,10.

Ti Te Flusso termico irraggiamento irraggiamento conduzione T. TA Te e convezione convezione λι λ2 λ3 λα ai ti Q INTERNO ESTERNO T, Q da T2 ta d1 d2 d3 d4 Prof. Giuseppe Peter Vanoli

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Note introduttive sulla Conduzione in regime non stazionario

от a0 # 0 T = T(P; e) Posizione Tempo Transitorio termico in un solido Si intende valutare come varia la temperatura nello spazio (nel solido) e nel tempo quando il solido a temperatura (Ti) inizialmente uniforme viene messo in un ambiente a temperatura diversa. Si osserva che la temperatura nel solido progressivamente cambia. La variazione si propaga dalla superficie verso il centro. Intuitivamente si comprende che se il materiale che costituisce il solido agevola lo scambio termico (buon QConv conduttore termico) le variazioni di temperatura nel q conv = hATm = materiale saranno basse. Viceversa se il materiale è un k cattivo conduttore i gradienti saranno più marcati. Q Cond 4Tm / RConv ΔΤ q cond = ATa = a R Cond Prof. Giuseppe Peter Vanoli 2/34

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Note introduttive sul Numero di Biot

Per comprendere se i AT nel materiale sono trascurabili o meno si può valutare il NUMERO DI BIOT. Bi = hLs k = k LS 1/h 1 R Cond = R Conv La convezione avviene peggio Se Bi è alto => Rcond> Rconv Se Bi è basso = Rcond< Rconv La conduzione è sfavorita Dove: Ls = lunghezza caratteristica [m]; h = conduttanza convettiva unitaria [W/(m2K)]; k = conducibilità termica [W/(m K)]. Se Bi è molto basso = RCond è trascurabile rispetto a RConv = ATn materiale ~ 0 Come si vedrà più avanti se: Bi > 0.10 = 3ATmateriale = T = T(P, e); Bi ≤ 0.10 => ATmateriale ~ 0 => T = T(e). Prof. Giuseppe Peter Vanoli 3/34

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Lastra infinita di semispessore L: Monodimensionalità

Si consideri la lastra piana di ampiezza infinita e semi- spessore L (monodimensionalità) nelle seguenti ipotesi: · Temperatura iniziale uniforme nella lastra -> T ;; · Ambiente a temperatura uniforme e costante -> To; · Conduttanza superficiale uniforme e costante -> h; · Assenza di generazione interna -> ¿""' = 0. Equazione Generale della Conduzione Problema di Fourier h h T T k a 00 a 00 -L' 0 LX Monodimensionalità Per la risoluzione di questa equazione differenziale si rende necessario conoscere: · la condizione iniziale e ▪ due condizioni al contorno. 02T 1 0T = 0x2 a 00 T T 1 Ù 1 0T ¿" = 0 1 0T 2T + = V2T = 00 00 I Centrando lo zero dell'asse x con la mezzeria della lastra si osserverà un andamento x E [-L; +L] e Ve > 0 delle T simmetrico. Prof. Giuseppe Peter Vanoli 4/34

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Lastra infinita di semispessore L: Condizioni al contorno

I) Condizione Iniziale T (x, 0 = 0) = Ti Vx E [-L; +L] Il) Condizione al Contorno del Secondo Tipo In corrispondenza della mezzeria della lastra la temperatura dopo l'istante iniziale assume il valore massimo riducendosi progressivamente andando verso la periferia e al trascorrere del tempo. от дх =0 V0>0 x=0 Condizione al Contorno del Terzo Tipo Esprime la continuità del flusso in corrispondenza della superficie. T T 1 T(02) h T(03 T h T 00 00 -LI 0 LX I I qcond = qconv =- k от ax x=L- = h[T(x=L+,0)-To] Ve>0 Prof. Giuseppe Peter Vanoli 5/34

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Adimensionalizzazione del problema di Fourier

Il problema di Fourier monodimensionale complessivamente ha la seguente rappresentazione matematica: 02T 1 0T Vx E [-L; +L] e Ve > 0 0×2 a 00 T (x, 0 = 0) = Ti Vx E [-L; +L] дт дх x=0 =0 V0>0 дт -k дх = h[T(x= L+,0)-To] Ve>0 x=L- ADIMENSIONALIZZAZIONE T = T (x, O, a, L, h, Too, Ti) Questo problema ha tante variabili Si raggruppano le variabili in gruppi adimensionali che hanno un significato fisico Semplificare la risoluzione Semplificare la rappresentazione dei risultati Prof. Giuseppe Peter Vanoli 6/34

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Adimensionalizzazione di T, x, 0

Adimensionalizzazione di T, x, 0 -> T*, x*, 0 *: Temperatura adimensionalizzata T* = * T (x, 0) -To = T (x, 0) -To T(x,0) =T*AT0 +To Posizione adimensionalizzata * x = x - XO x = x x0 Dimensione di riferimento Tempo adimensionalizzato 0 0* = 0 0 Tempo di riferimento T* I 1 T* ( ** ) T*(O) h h T* (03) 0 0 -1 1 Prof. Giuseppe Peter Vanoli I 7/34 Ti - Too ΔΤΟ Differenza di temperatura iniziale ∗𝜃0 ∗𝜃0 DE

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Derivate della temperatura adimensionalizzata

Adimensionalizzazione In funzione delle posizioni precedenti si valutano le derivate della temperatura: d (T*ATo + T%) AΤΟ ΟΤ * дТ a (T*ATo + To) ATO OT * 0x 0 (x*x0) x0 0x* a(0*00) = 00 00* 02T 0 ΔΤΟ ΟΤ * AT0 02T = 0x2 0x дт дх = дх x0 0x* x6 2 ax*2 Si adimensionalizza il problema di Fourier sostituendo le derivate nell'equazione differenziale: 02T 0×2 1 0T a de Vx E [-L; +L] e Ve > 0 41. 02T * x6 .2 0x+2 1 AT. OT '* a 00 00* Vx* E -L +L xo ' x0. e VO* > 0 Prof. Giuseppe Peter Vanoli 8/34 = * DE

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Adimensionalizzazione con x0=L e 00=L²/a

Adimensionalizzazione 02T* x2 0T * Vx* E -L +L xo xo e VO* > 0 0x*2 a0. 00* Se si pone x0=L 02T* L2 OT * Vx* E [-1;+1 ] e Ve* > 0 0x*2 a0. 00* L2 pcL2 kg J m3 kgK , 2 Se si pone 00 = 12/a 00 = (k/ pc) k W = J W = [s] 02T* * 0x*2 a Vx* E [-1;+1 ] e Ve* > 0 m = mk Prof. Giuseppe Peter Vanoli 9/34

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Adimensionalizzazione delle condizioni ai limiti: Iniziale e Secondo Tipo

Adimensionalizzazione Si adimensionalizzano le condizioni ai limiti: I) Condizione Iniziale T (x, 0 =0) =Ti Vx E [-L; +L] T (x,0=0)-To Ti - Too T*(x*, 0* = 0) = Ti - Too Ti - Too =1 Vx € [-1;+1] Il) Condizione al Contorno del Secondo Tipo дТ дх =0 0>0 x=0 ATO OT* X0 0x* =0 VO*>0 x *= 0 =0 VO*>0 0 x* x *= 0 Prof. Giuseppe Peter Vanoli 10/34

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Adimensionalizzazione della condizione al contorno del Terzo Tipo

Adimensionalizzazione III) Condizione al Contorno del Terzo Tipo -k дт 0x x=L- = h[T(x =L+, 0) -To] ve>0 AT. OT * -k = hATT*(x *= 1,0*) V0* > 0 x0 ax* x=1 L дт * hL T*(x* = 1,0*) V0* > 0 0 x * k x *= 1 Bi OT * =- Bi.T* (x* = 1,0*) Ve* > 0 * x *= 1 Prof. Giuseppe Peter Vanoli 11/34

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Problema adimensionalizzato e Numero di Fourier

Adimensionalizzazione Il problema adimensionalizzato diventa quindi: T (x,0) -Too T (x,0) -To T* = - Ti - Too ΔΤΟ x x x* = .* = - L Θ e a 0* = 0 L2 Numero di Fourier & Fo - 02T* от * 0x*2 = * Vx* E [-1;+1 ] e V0* >0 T*(x*, 0* = 0) = 1 Vx € [-1; +1] дт ar * =0 VO*>0 * x *= 0 дт * 0 x * =- Bi. T* (x* = 1,0*) Ve* > 0 x *= 1 T* = T* (x*, Bi, Fo ) Prof. Giuseppe Peter Vanoli 12/34

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Lastra infinita di semispessore L: Temperatura e Ascissa adimensionalizzata

* T *)=T* * x 0* , Bi ) T - To 00 x T* = Ti - Too L Temperatura, misurata rispetto a quella del fluido e adimensionalizzata rispetto al valore iniziale, 0≤T*≤1 * X = Ascissa adimensionalizzata rispetto al semispessore, 05x*≤1 Prof. Giuseppe Peter Vanoli 13/34

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Fisica Tecnica e Trasmissione del Calore LIGNE UTILITATI . UNIVERSE LOUISE . SCIENTIA

Lastra infinita di semispessore L: Numero di Biot e Fourier

T = T (x) * Bi ) , 0 * = = Fo a 0 T2 2 L- Bi = hL k Numero di Biot; ha il significato di rapporto tra le resistenze conduttive e superficiale del sistema Tempo adimensionalizzato, detto numero di Fourier; ha il significato di rapporto tra la potenza trasferita per conduzione e quella accumulata 1 Rconv Kh A R cond Bi = = a k 0 0* = Fo = = L2 Oc L2 1 k / pc Accumulo Prof. Giuseppe Peter Vanoli 14/34 Conduzione k A R conv Rcond DE

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Soluzione grafica per lastra piana e cilindrica

Soluzione grafica PIANA CILINDRICA 1 SIMMETRIA Too -L L r ** x/L r/re Bi hL/k hre/k Fo a0/L2 a0/r2 T *= f(x*,Bi,Fo) Figura slide 11 Figura slide 15 Q" Q' Qi' = pcL(Ti -To) ′ Figura slide 16 Qi = pcTre (Ti -To) Figura slide 16 Prof. Giuseppe Peter Vanoli 15/34

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Fisica Tecnica e Trasmissione del Calore KICAE UTILITATI . UNIVERSE DE Lastra infinita di semispessore L LASTRA PIANA 1,0 1,0 25 0,8 1,50. 0,6 1 0,75 0,4 0,50 0,4 0,50 T* T* 0.3 0,25 0,2 0,10 0,10 X = 0 1 = O Bi 0,1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 FO 0 0.2 0,4 0,6 0,8 1.0 1,2 14 Fo 1,0 1,0 25 0,8 4 2 -1.50 0,6 1 0,75 0,4 0,50 T* 0,3 0,25 0,2 0,10 X = 0,2 1 : 0 - Bi 0,1 0 02 0,4 0,6 0,8 1,0 1.2 1,4 FO 0 0.2 0,4 0,6 0,8 10 1.2 1,4 Fo 1,0 1,0 - 0,8 - 2 0,6 - 1,50- 0.6 2 . 1.50 0.4 0,50 0,3 0.25 0,2 0.10 X = 0,4 1 _ 0 Bi 0,1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 10 12 1,4 Fo 0 0,2 0,4 0.6 0,8 1,0 1.2 1,4 Fo Prof. Giuseppe Peter Vanoli 16/34 4 0.8 2 0,6 1,50 1 0,75 0,4 0,50 0,3 0,2 0,25 ×=0,8 1 0 Bi- 0,10 0,1 0.8 + 4 - 1 0,75 0,4 T' 0,3 .0,50 0,2 1. = 0,10 Bi X =1 0,25 0,1 Bi 0,1 X = 0,6 1 = 0 0,8 1.50. 0,6 1 0.75 0,3 0,25 0,2 T* 1 -0.75 LOUISE . SCIENT