Determinante della Matrice: Teorema di Laplace e calcolo 3x3

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS

Facoltà di Economia

R.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: ECONOMIA - CURR. SCIENZE BANCARIE ED ASSICURATIVE (D.M. 270/04) METODI MATEMATICI 42 DETERMINANTE DELLA MATRICE 1 Facoltà di Economia

Determinante di una Matrice

Attività 1 - Lezione 42

20-3 DETERMINATE DI UNA MATRICE Il determinante è una applicazione che associa a una matrice quadrata ( solo quadrata) A un numero reale che indichiamo con det A e chiamato semplicemente determinante di A. In formule: det : Mn(R) -> R AH detA c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.itR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: ECONOMIA - CURR. SCIENZE BANCARIE ED ASSICURATIVE (D.M. 270/04) METODI MATEMATICI 42 DETERMINANTE DELLA MATRICE 1 Facoltà di Economia Il determinante della matrice A si indica con i simboli a 11 ... · . det A = |A |= : a n1 nn a ain : Dunque la matrice si scrive come una tabella fra parentesi, mentre i determinante si può ancora scrivere come una tabella, quella della matrice, ma racchiusa fra due sbarre verticali. c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.itR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: ECONOMIA - CURR. SCIENZE BANCARIE ED ASSICURATIVE (D.M. 270/04) METODI MATEMATICI 42 DETERMINANTE DELLA MATRICE 1 Facoltà di Economia Il calcolo del determinante di una matrice può essere effettuato in vari modi, condizionati dalla dimensione della matrice quadrata. Introdurremo un metodo generale che consente di calcolare il determinante di una qualsiasi matrice quadrate (metodo di Laplace) e due metodi particolari rispettivamente per le matrici 2x2 e 3x3 (metodo di Sarrus c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.itR.E.

Calcolo del Determinante

Determinante di matrici 2x2

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: 42 ECONOMIA - CURR. SCIENZE BANCARIE ED ASSICURATIVE (D.M. 270/04) METODI MATEMATICI Titolo: Attività nº: DETERMINANTE DELLA MATRICE 1 Facoltà di Economia 20-3-1 Determinante di matrici 2x2 Il caso più semplice è quello di una matrice di 2 righe per 2 colonne: det a b C d. = a · d - b . c Il determinante è dato dal prodotto degli elementi della diagonale principale meno il prodotto degli elementi della diagonale secondaria. Esempio det 2 1 41 5. = 2 x 5 -4 x1 =10-4 =6 c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.itR.E.

Determinante di matrici 3x3. Regola di Sarrus

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: 42 ECONOMIA - CURR. SCIENZE BANCARIE ED ASSICURATIVE (D.M. 270/04) METODI MATEMATICI Titolo: Attività nº: DETERMINANTE DELLA MATRICE 1 Facoltà di Economia 24-3-2 Determinante di matrici 3x3. Regola di Sarrus Per calcolare il determinante di una matrice quadrata del terzo ordine si può applicare il procedimento che viene illustrato di seguito (regola di Sarrus): Consideriamo la matrice di ordine 3 A= a31 @11 a21 a22 a32 a12 @13 a23 a33 c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.itR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: ECONOMIA - CURR. SCIENZE BANCARIE ED ASSICURATIVE (D.M. 270/04) METODI MATEMATICI 42 DETERMINANTE DELLA MATRICE 1 Facoltà di Economia Per le regola di Sarrus è det A = a11@22@33 + @12@23@31 + @13@21a32 - a31@22@13 - a32@23@11 - @21@12ª33 Un modo veloce per ricordarlo è il seguente: si aggiungono agli elementi della matrice , dalla parte destra, gli elementi ordinati delle sue prime due colonne . Il determinante si ottiene sommando i prodotti degli elementi collegati dalle frecce rosse e sottraendo ad essi i prodotti degli elementi collegati dalle frecce blu, come nella figura di seguito riportata: c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.itR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: 42 ECONOMIA - CURR. SCIENZE BANCARIE ED ASSICURATIVE (D.M. 270/04) METODI MATEMATICI Titolo: Attività nº: DETERMINANTE DELLA MATRICE 1 Facoltà di Economia MG 52.0 - €& a12 a13 a12 a21 623 a22 C31 032 633 Q31 Cl32 + - a13 C22 C31 - C11 C23 C32 - C12 @21 C33 + @11 C22 C33 + C12 C23 C31 + C13 @21 a32 c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.itR.E.

Esempi di Calcolo del Determinante

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: 42 ECONOMIA - CURR. SCIENZE BANCARIE ED ASSICURATIVE (D.M. 270/04) METODI MATEMATICI Titolo: Attività nº: DETERMINANTE DELLA MATRICE 1 Facoltà di Economia Qualche esempio: Calcolare il determinate delle seguenti matrici: 1) 2 0 51 A= 0 2 3 1 11 -1 2 0 5 2 1 2 0 2 1 -1 3 1 1 det(A) = (2 · 2 · 3) + (0 . 1 . 1) + (5.0 . (-1)) - (2 . 1 . (-1)) - (0 . 0.3) - (5 . 2 . 1) = 12+0+0- (-2) - 0-10 =4 c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it 0 0R.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: 42 ECONOMIA - CURR. SCIENZE BANCARIE ED ASSICURATIVE (D.M. 270/04) METODI MATEMATICI Titolo: Attività nº: DETERMINANTE DELLA MATRICE 1 Facoltà di Economia 2) 2 0 1 2 1 -1 0 2 2 2 10 1 2 0 -1 2 = 0 -1 2 2 1 2 1 02 2 2 0 -1= 1 1 2 =(2.(-1) . 2) + (1 .2 .1) + (0 . 0.2) - (0 . (-1) . 1) - (2 . 2 . 2) - (1 . 0 . 2) =- 4+2-8 =- 10 c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.itR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: 42 ECONOMIA - CURR. SCIENZE BANCARIE ED ASSICURATIVE (D.M. 270/04) METODI MATEMATICI Titolo: Attività nº: DETERMINANTE DELLA MATRICE 1 Facoltà di Economia 3) A = 3 3 1 0 1 2 1 1 2 Det A = - 12 c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.itR.E.

Determinante di matrici di ordine superiore al III

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: ECONOMIA - CURR. SCIENZE BANCARIE ED ASSICURATIVE (D.M. 270/04) METODI MATEMATICI 42 DETERMINANTE DELLA MATRICE 1 Facoltà di Economia 24-3-3- Determinante di matrici di ordine > III Il determinante di una matrice può essere calcolato utilizzando il metodo di Laplace, che è un metodo ricorsivo. Questo significa che per calcolare il determinante di una matrice di ordine n bisogna saper calcolare il determinante di una matrice di ordine n-1, e quindi il determinante di una matrice di ordine n-2, e così via; c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.itR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: ECONOMIA - CURR. SCIENZE BANCARIE ED ASSICURATIVE (D.M. 270/04) METODI MATEMATICI 42 DETERMINANTE DELLA MATRICE 1 Facoltà di Economia il processo si arresta alle matrici di ordine 1, per le quali - per definizione - il determinante non è altro che il valore dell'unico elemento di cui è costituita la matrice. Per descrivere il metodo di Laplace bisogna dapprima introdurre le definizioni di minore complementare e complemento algebrico. c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.itR.E.

Minore complementare o Complemento algebrico

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: ECONOMIA - CURR. SCIENZE BANCARIE ED ASSICURATIVE (D.M. 270/04) METODI MATEMATICI 42 DETERMINANTE DELLA MATRICE 1 Facoltà di Economia Minore complementare o Complemento algebrico Si dice minore complementare (che indicheremo con M) di un elemento a di una matrice quadrata A di ordine n il determinante della matrice quadrata di ordine n-1 che si ottiene da A eliminando tutti gli elementi della riga e della colonna a cui appartiene c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.itR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: 42 ECONOMIA - CURR. SCIENZE BANCARIE ED ASSICURATIVE (D.M. 270/04) METODI MATEMATICI Titolo: Attività nº: DETERMINANTE DELLA MATRICE 1 Facoltà di Economia Sia ad esempio A una matrice 3x3 a11 @12 a13 A= a21 022 a23 a31 a32 a33 Il minore complementare di an è: ME a12 043 = a21 a22 a23 a31 a32 a33 a22 a23 M11 = 11 a32 Q33 c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.itR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: 42 ECONOMIA - CURR. SCIENZE BANCARIE ED ASSICURATIVE (D.M. 270/04) METODI MATEMATICI Titolo: Attività nº: DETERMINANTE DELLA MATRICE 1 Facoltà di Economia Per l'elemento a21 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Il minore M12 sarà: M12= 12 [ a21 a31 a.23 a33 F c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.itR.E.

Definizione di Complemento Algebrico

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: ECONOMIA - CURR. SCIENZE BANCARIE ED ASSICURATIVE (D.M. 270/04) METODI MATEMATICI 42 DETERMINANTE DELLA MATRICE 1 Facoltà di Economia Complemento algebrico Data una matrice quadrata A, si dice complemento algebrico di un suo elemento il minore complementare con il segno determinato dalla somma degli indici i+j: se i+j è un numero pari il segno sarà positivo se dispari il segno sarà negativo. A ik=(-1) i+k Mik c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it