Calcolo letterale I: monomi e prodotti notevoli per la scuola superiore

Introduzione ai Monomi

Introduciamo la più semplice espressione letterale
intera, l'espressione monomia, detta monomio.
La parola monomio deriva dalla fusione
dell'aggettivo greco mónos (che significa «unico»)
con il sostantivo greco ónoma (che significa
«nome»).
Questo termine viene usato per la prima volta nel
1961 dal matematico francese Ozanam; prima, a
partire dal XII e XIII secolo, si usavano le espressioni
quantità semplice e grandezza incomplessa.

Monomi in forma normale

Si dice che un monomio è ridotto a forma normale quando si presenta come
il prodotto di un unico fattore numerico, il coefficiente del monomio, per
potenze letterali con basi diverse ed esponente intero positivo, che
costruiscono la parte letterale del monomio.
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3
5 cze

• Se il coefficiente di un monomio è uguale a zero, il monomio è indicato con
  O ed è detto monomio nullo.
• È consuetudine scrivere in ordine alfabetico le lettere della parte letterale.
• Il coefficiente 1 non si scrive.
  7
  a3 bc2 è un monomio e si ha
  5
  coefficiente parte letterale
  5

Grado di un monomio

Si dice grado complessivo, o semplicemente grado, di un monomio non nullo la
somma degli esponenti delle sue lettere.
Si dice grado rispetto a una lettera di un monomio non nullo l'esponente di quella
lettera nel monomio ridotto a forma normale.
Il monomio(-5a+ b3 c2)è di grado 4+3+2=9 inoltre:
> è di grado 4 ,petto alla lettera a
> è di grado 3 rispetto alla lettera b
> è di grado 2 rispetto alla lettera c

• Se in un monomio, ridotto a forma normale, figura una lettera priva di
  esponente, il monomio è di grado 1 rispetto a quella lettera.
  Il monomio 2 a è di grado 1 rispetto alla lettera a, infatti si ha 2 a = 2 a1.
• Se in un monomio non compare una data lettera, il monomio è di grado zero ris
  quella lettera.
  Il monomio 7x2y è di grado 2 rispetto alla lettera x e di grado 1 rispetto a y ed il suo grado
  complessivo e 2+1=3.
  Possiamo dire che il monomio considerato è di grado zero rispetto alla lettera z, infatti z0=1
  7x2y= 7x2yzº
  e in questo caso dobbiamo escludere il caso che z possa assumere il valore O, dato che
  l'espressione Oº non ha significato.
• Un numero diverso da zero può essere considerato un monomio di grado zero.
  Il numero - può essere considerato un monomio di grado zero rispetto a qualsiasi lettera
  3
  4
  0
  X
  =
  4
  3
  4
  xo yo
  =
  3
  m/s

Prodotto di monomi

Il prodotto di due o più monomi si indica scrivendo i monomi l'uno accanto all'altro, ognuno
racchiuso tra parentesi, così si ottiene un'espressione letterale in cui compaiono solo operaz
moltiplicazione.
Il prodotto di due o più monomi è un monomio.
Il prodotto di due o più monomi non nulli, scritti in forma normale, è il monomio così formato:
· il coefficiente è il prodotto dei coefficienti dei monomi fattori;
· la parte letterale è costituita da tutte le lettere che figurano nei monomi fattori,
ognuna presa una sola volta, con esponente uguale alla somma degli esponenti con cui
compare nei monomi fattori.
· il grado del prodotto di più monomi non nulli è la somma dei gradi dei monomi fattori.

Operazioni con i monomi

Somma e differenza di monomi

La somma di due o più monomi è l'espressione letterale che si ottiene scrivendo di seguito i monomi
dati e interponendo tra essi il segno +.
La differenza di due monomi è l'espressione letterale che si indica interponendo il segno - tra i due
monomi ed è la somma del primo monomio con l'opposto del secondo.
Per indicare la somma o la differenza di monomi è opportuno porre tra parentesi i monomi.
Dati i monomi
scriviamo
-2a2b e + 2ab2c3 e - xy2z
(-2a2b) + (+ 2ab2c3) + ( -- xy2z)
Possiamo limitare l'uso delle parentesi introducendo il concetto di somma algebrica di monomi
-2a2b + 2 ab2c3-1xy2z

Somma algebrica di monomi simili

La somma algebrica di monomi è un'espressione letterale in cui, oltre all'operazione di
moltiplicazione, figurano anche le operazioni di addizione e sottrazione.
La somma algebrica di monomi non è un monomio, ma un'espressione letterale di tipo diverso,
nota come polinomio.
Due monomi non nulli si dicono simili se hanno la stessa parte letterale
7azbe -5a2b
oppure
ax 2 e - 3 ax 2
La somma algebrica di due o più monomi simili è un monomio che ha per coefficiente la
somma algebrica dei loro coefficienti.
2×3y + 3×3y = (2+3) x3y = 5×3y

• La somma di due monomi opposti è zero.
• La differenza di due monomi uguali è zero.

Monomi in forma normale: esempi

Si dice che un monomio è ridotto a forma normale quando si presenta come
il prodotto di un unico fattore numerico, il coeffic. nte del monomio, per
potenze letterali con basi diverse ed esponente intero positivo, che
costruiscono la parte letterale del monomio.
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• Se il coefficiente di un monomio è uguale a zero, il monomio è indicato con
  O ed è detto monomio nullo.
• È consuetudine scrivere in ordine alfabetico le lettere della parte letterale.
• Il coefficiente 1 non si scrive.
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  -
  5
  a3 bc2 è un monomio e si ha
  coefficiente parte letterale

Esempi di forma normale

1. 2 a" . (-3 ab)
   2 . ( - 2 x ) ( - 6 x 2 4 ) } (+2 ) ab (-3) ab
   1. 2 . ( -3 ) a " b = - 204b
   2. 1 (-2) (-6) x7 x1 x2 y = 4x4 y
   3
   3. 2 . (- 3) abab = - 6 2 b2
   5

Grado dei monomi: esempi

1. GRADO - 2GRADO RISPETTO AD OGNI
   LETTERA
   3 GRADO
   RISPETTO ALLA LETTERA
   h.
   È' DI GRADO O
   -2 x 4/ 25 h° = - 2×4 y €
   5
   1. 4+1 + 5 = 10
   2. 4 RISPETTO ALLA LETTERA X
   1 RISPETTO ALLA LETTERA
   Y
   5 RISPETTO
   ALLA LETTERA
   Z

M.C.D. e m.c.m. tra monomi

Massimo comune divisore

Il massimo comune divisore (MCD) di due o più monomi non nulli è un monomio così formato:
· il coefficiente è il MCD dei valori assoluti dei coefficienti dei monomi dati se tali coefficienti
sono tutti interi, altrimenti è 1;
· la parte letterale è formata da tutte le lettere comuni ai monomi dati, ognuna presa una
sola volta con esponente pari al minore degli esponenti con cui figura nei monomi dati.
Un monomio così formato risulta divisore di tutti i monomi dati e, tra tutti i possibili divisori, è quello
di grado maggiore, dunque è giustificato il nome di massimo comune divisore.

Esempio di MCD

1. 12 x
   Y
   2
   40×4 32
   44xy
   M . C . D . ?
   · COEFFICIENTE
   12 , 40. 44
   M. C.D. ( 12.40.44 ) = 2 =4
   12 = 2 3
   40 = 23.5
   44= 2.11
   · PARTE
   LETTERALE
   X
   2
   1
   Y
   M.C.D. = 4×4

Minimo comune multiplo

Il minimo comune multiplo (mcm) di due o più monomi non nulli è un monomio così formato:
· il coefficiente è il mcm dei valori assoluti dei coefficienti dei monomi dati se tali
coefficienti sono tutti interi, altrimenti è 1;
· la parte letterale è formata da tutte le lettere, comuni e non comuni ai monomi dati,
ognuna presa una sola volta con esponente pari al maggiore degli esponenti con cui figura
nei monomi dati.
Un monomio così formato risulta multiplo di tutti i monomi dati e, tra tutti i possibili multipli, è quello
di grado minore, dunque è giustificato il nome di minimo comune multiplo.

Altri esempi di MCD

1. - 16 a 4 b3 <3
   12 g2 b4 c
   -893b2d
   2
   ? M . C . D.
   . COEFFICIENTE
   2
   - 16 . 12, - 8 - M. C . D. ( 1 - 16 1 , 12 , 1 - 8 1 ) = 2 = 4
   16 = 24
   12=23.
   8=$3
   M.C.D. = 4 02 b2
   · PARTE
   LETTERALE
   2
   a
   62
2. 8Xǐ 트
   3 2
   ? M. C. D.
   1
   M
   +
   2>
   3
   5-
   Y
   2
   1
   -
   . COEFFICIENTE = 1
   - M . C . D . = 1
   · PARTE
   LETTERALE
   r
   2
   X
   2 2
   M . C. D = X Y
3. 24 xy Z"
   48×3="
   -36x22
   · COEFFICIENTE
   24, 48. - 36
   - M. C.D .
   (24, 48, 1 - 361 ) = 2- 3 = 12
   24 = 2 : 3
   48 = 2.3
   36 = 2
   2. 32
   3
   · PARTE
   LETTERALE
   X Z
   M.C.D. = 12 xZ
4. 
   1
   11 2
   N
   5
   12xy220
   1
   . COEFFICIENTE
   = 1
   M. C.D. = XYZ
   . PARTE
   LETTERALE
   X
   Y Z

Prodotti notevoli

Quadrato di binomio

Siano A e B due monomi, la loro somma è il binomio A+B.
Dalla definizione di potenza si ha che
(A+B)2 = (A+B) (A+B) = A2 + AB + BA + B2
Per la proprietà commutativa della moltiplicazione AB = BA dunque, riscrivendo:
(A+B)2 = A2 + 2AB + B2
Il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo monomio, più il doppio prodotto
dei due monomi, più il quadrato del secondo monomio.

Esempi di quadrato di binomio

1. 
   4x2712 xy + 9/2 = A2 + 2AB + B2 = (2x + 3y)
   · A2= 4×2
   6
   B2 = 9 y2
   1
   A = 2x
   B = 3 y
   2.2×3
   y = 12xy
   0
   · A = - 2x
   B = - 3y -
   2 . ( - 2 x) . (-3y) = 12xy
   2
   (-2x-3y)
2. 902
   12ab + 4b2 = A2 - 2AB + B2 = (3a-2b)
   2
   1. A2 = 9a2
   B2 = 462
   A = 3a
   B =- 2b
   2. 3a. (-2b) = - 12ab
   2. A = - 30
   B= 2b
   2. (- 3a) (2b) =- 12ab
   1
   ( - 3a + 2b)
3. 
   6 ab + 9a2b2+ 1 = 12, 2AB+B2
   -+
   - ZAB + A2 + B2
   ( A + B ) 2 = ( B + A)2
   A2 = 9 a2b2
   B2 = 1
   A = 3ab
   B =- 1
   -
   2. 3ab. (-1) =- Gab
   (
   3ab-1) = (-3ab + 1)
   2
4. 4a2 +
   9
   100
   +
   12
   10
   A2 + ZAB + B2
   A + B
   2
   + 2AB
   A2 = 4a2
   B2 =
   2
   9
   100
   A =- 2a
   B = - 3
   10
   2. (20 ) ( 30)
   1
   12
   12
   10
   8
   1
   2
   1
   2a + 3 ) = ( - 2a - 3]
   10
   12

Quadrato di trinomio

Siano A, B e C tre generici monomi.
Il quadrato del trinomio (A+B+C) è:
(A+B+C)2 = (A+B+C) (A+B+C) = A2 + AB + AC + BA + B2 + BC + CA + CB + C2
Riducendo i termini simili:
(A+B+C)2 = A2 + B2+C2+2AB +2AC +2BC
Il quadrato di un polinomio di un numero qualunque di termini è uguale alla somma dei
quadrati di tutti i termini e dei doppi prodotti di ciascun termine per ognuno di quelli che lo
seguono.

Cubo di binomio

Siano A e B due monomi, il cubo di binomio è dato da:
(A+B)3 = (A+B)2 (A+B) = (A2 + 2AB + B2) (A+B)
Sviluppando i calcoli si ha:
(A+B)3 = A3 + A2B + B2A + B3 + 2A2B + 2B2A
Riducendo i termini simili:
(A+B)3 = A3 + 3A2B + 3B2A + B3
Il cubo di un binomio è un quadrinomio i cui termini sono:
· il cubo del primo monomio;
· il triplo del prodotto del quadrato del primo per il secondo;
· il triplo del prodotto del primo monomio per il quadrato del secondo;
· il cubo del secondo monomio.

Esempio di cubo di binomio

1. 27 a + 54 a2 x +
   36 ax 2/+ 8x
   3
   A3 = 27a3
   B = 8x3
   A = 3a
   B = 2x
   1
   3 A 2 B = 3 ( 3a ) 2 x = 27 a 2 . 2x =
   5402x
   3 AB = 3.3a . (2x)=9a. 4x2=36ax?
   - D
   ( 30 + 2 x )