Piano Cartesiano: coordinate, rette e concetti fondamentali

Piano Cartesiano

Il piano cartesiano è costituito da due rette orientate, graduate e perpendicolari fra loro, dette assi cartesiani: l'asse delle x, detto anche asse delle ascisse (orizzontale), e l'asse delle y, detto anche asse delle ordinate (verticale). Gli assi si incontrano in un punto, detto origine e dividono il piano in 4 zone dette quadranti. In particolare, partendo dal quadrante in alto a destra, si indicano con i numeri romani e si parla di I (primo), II (secondo), III (terzo) e IV (quarto) quadrante.

y 3 Il Quadrante 2 I Quadrante 1 X -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 III Quadrante -2 IV Quadrante -3 -

Coordinate di un punto

Per definire la posizione di un punto nel piano devo assegnare due numeri, che corrispondono al valore sull'asse x e sull'asse y. Il punto P(3; 2) ha coordinata 3 sull'asse x e 2 sull'asse y.

3 P 2 1 1 0 1 2 3 4 5 -1

Coordinate nei Quadranti

1In particolare:

• nel I quadrante i punti hanno entrambe le coordinate positive, A(1; 3)
• nel II quadrante i punti hanno l'ordinata positiva e l'ascissa negativa, B(-1; 2)
• nel III quadrante i punti hanno entrambe le coordinate negative, C(-1; - 3)
• nel IV quadrante i punti hanno l'ascissa positiva e l'ordinata negativa, D(2; - 1)
• asse delle x: i suoi punti hanno sempre la seconda coordinata uguale a zero; per esempio E(3; 0)

F 4 1 A 3 B - 2 1 1 1 E -3 -2 -1 0 1 2 3 4 D -1 -2 IC -- 3 -4

• asse delle y, i suoi punti hanno sempre la prima coordinata uguale a zero; per esempio F(0; 4)

Punto medio e lunghezza del segmento

Dati due punti A(xa; ya) e B(x); y}) si definisce punto medio il punto che divide il segmento AB in due parti uguali. Le sue coordinate si trovano con le seguenti formule:

YA+ YB XM = - XA + XB 2 VM = "2 se A(2; 4) e B(8; - 6), il punto medio M ha coordinate 2+8 XM = 20 - 2 =5 4+(-6) VM =+2-0-426=2-1

4 2 - 0 0 2 5 6 7 9 10 M -1 3 1 5 -6 IH B

Calcolo della lunghezza del segmento

La lunghezza del segmento si ricava applicando il teorema di Pitagora d = V(XA-xB)2+ (YA-YB)2 d = 1(2-8)2 + (4-(-6))2 = 1(-6)2 + (10)2 = 136 + 100 = 1136

Esercizi

Individuare punti nel piano cartesiano

2Esercizi Individua nel piano cartesiano i seguenti punti: A(1; - 3) B(-3;4) C(3; 3) D(0; 1) E(-2; 5) F(-4; - 5) G(4; 0) H(5;4) I(-1; - 2) L(5; - 2) M(0; - 5) N(-3; 0)

Coordinate del punto medio

Scrivi le coordinate del punto medio dei seguenti segmenti di estremi AB: A(2; - 4) B(4; - 2) R: (3; - 3) A(-1 ;. 3) B(3; - 5) R: (1; - 1) A(9; - 6) B(-1; - 2) R : (4; - 4) A(-1; - 3) B(-2;6) R : (-3,3) 3 3 A(-10; - 7) B(0; 0) R : (- 5 ;- ) A(-2; - 6) B(-6;6) R : (-4; 0) A(-5; - 2) B(4; 7) R : (− 1 2 2) A(-5; - 5) B(7; 2) R 1; - )

Distanza tra i punti

Calcola la distanza fra i punti A(-3;3) B(5; - 3) R : 10 A(2; - 5) B(7; 6) R : 26 A(-1; - 6) B(-7;7) R : 205 A(2; - 5) B(7; 6) R : 109 A(3;2) B(-1;0) R : 20 = 2 5 A(-8; - 5) B(6; - 1) R : 212

Perimetro del triangolo

Calcola il perimetro del triangolo che ha i vertici in A(2; - 3) B(4;4) C(7; - 2) Usando la formula della distanza tra due punti, calcola la lunghezza di ciascun lato: AB =1(2-4)2 + (-3 - 4)2 AC = CB = 2p= [V53 + 126 + 145] Calcola il perimetro del triangolo che ha i vertici in A(0;7) B(8;1) C(4; - 2) [ 15 + 97 ]

Grandezze e Funzioni

3Grandezze e Funzioni Per grandezza di intende tutto ciò che può essere misurato, e quindi espresso con un un numero (es: distanza percorsa, la massa di un oggetto, il tempo ) In genere le grandezze sono variabili, ovvero possono assumere valori diversi a seconda delle circostanze. Può capitare che due grandezze sono in relazione fra loro e che il valore di una dipende dal valore dell'altra. Si definisce x: variabile indipendente (posso assegnargli valori a piacere) y: variabile dipendente (il suo valore dipende dal valore di x) Si dice che y è funzione di x se a ciascun valore della x corrisponde uno e un solo valore della y y=f(x) Significa che posso determinare il valore della y tramite operazioni matematiche Se conosco i valori assunti dalle due variabili, o la funzione che descrive il legame matematico fra x e y, posso rappresentare graficamente i dati. Ad esempio per la funzione y = 2x + 1 posso assegnare dei valori della x e calcolare la corrispettiva y. I valori ottenuti rappresentano le coordinate dei punti del grafico della funzione.

f 10 E 9 8 7 6 C 5 2 2 A 1- -1 0 1 2 3 4 5 6 -1 A(0; 1) x =1 -> y =2 .(1)+1-> y =2+1=3 B(1;3) x =2 ->y=2.(2)+1->y =4+1=5 C(2; 5) x=3->y=2.(3)+1->y =6+1=7 D(3; 7) x = 4 -> y =2 .(4)+1->y =8+1=9 E(4; 9)

La retta nel piano cartesiano

4La retta nel piano cartesiano Le rette sono le funzioni più semplici, la loro funzione è espressa da un'equazione di primo grado.

Rette parallele agli assi

• L'asse x ha equazione y = 0 (sono tutti i punti che hanno come valore delle ordinate 0. Una retta parallela all'asse xha equazione y = numero (ad esempio y = 3)
• L'asse y ha equazione x = 0(sono tutti i punti
• che hanno come valore delle ascisse0. Una retta parallela all'asse y ha equazione x = numero (ad esempio x = - 2)

5 f 2 1 -3 -1 0 1 2 3 4 5

Retta passante per l'origine

Retta passante per l'origine- legge di proporzionalità diretta. La retta che passa per l'origine ha equazione del tipo ax + by = 0. Se esplicitiamo (ricaviamo) la y otteniamo by = - ax → y = - box y = m . x Nell'equazione y = mx m si chiama coefficiente angolare e rappresenta la pendenza (inclinazione) della retta: nella figura sono rappresentate rette con coefficienti angolari diversi, in particolare la retta verde ha m = = , quella ne quella nera m = 1, quella rossa m = 2 e quella blu m = 4 Come si può vedere nella figura all'aumentare i del valore di m aumenta la pendenza della retta. Rette con coefficiente angolari positivo sono crescenti

6 5 4 3 2 1 -2 -1 2 3 4 5 -2

Rette con coefficiente angolare negativo

5Rette con coefficiente angolare negativo sono decrescenti. Nel grafico a lato la retta arancione ha m = - 1; quella azzurra m = - 4 Possiamo notare che sono speculari (simmetriche rispetto all'asse y) alla retta rossa (m = 1) e blu (m = 4)

6 g 3 2 1 2 3 -2 L'equazione y = m x rappresenta la proporzionalità diretta fra due variabili: se la variabile indipendente raddoppia, triplica, di dimezza anche quella dipendente raddoppia, triplica o si dimezza. Quando ragiono in termini di proporzionalità diretta m rappresenta il coefficiente di proporzionalità. Grandezze direttamente proporzionali sono la spesa per un certo quantitativo di mele (ho un prezzo al kg, a seconda di quanti kg di mele prendo la mia spesa varia); oppure ore di lavoro-stipendio Ad esempio, se le mele costano 1,6 euro al kg si ha: kg acquistati spesa coordinate punto 1 1,6 · (1) = 1,6 (1; 1,6) 2 1,6 · (2) = 3,2 (2; 3,2) 3 1,6 · (3) = 4,8 (3; 4,8) Se rappresento in un grafico (kg di fruttalspesa) si ottiene una retta passante per l'origine

1 fx HEN 5 O A = (1, 1.6) ... O B = (2, 3.2) : C = (3, 4.8) : P 3 f : Line (A, B) : - y = 1.6x 2 + Input ... A 1 1 2 3 6 -2 -1

La retta in posizione generica

La retta in posizione generica Una retta genetica ha equazione del tipo ax + by + c = 0 Se, come quanto visto prima, ricaviamo la y otteniamo by = - ax - c y =- ox-1 y =mx +q Ad esempio la retta 6x - 3y - 12 = 0 può essere scritta come -3y =- 6x + 12 -6 x + 12 y = x +_3 -3 Da cui si ricava y =2x -4 m = 2; q =- 4 In questa tipologia di retta troviamo due parametri m : coefficiente angolare, rappresenta la pendenza q : quota, indica l'intersezione con l'asse y (quanto la retta si è spostata verso l'alto o verso il basso rispetto all'origine)

fx EN 6 f : y = x : 5 g : y = x - 3 ... O h: y=x+ 4 ... 3 + Input ... 2 1 -3 -1 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 h Nel grafico riportato, la retta nera y = x passa per l'origine, quella azzurra y = x + 4 è spostata verso l'alto di 4 e passa per il punto (0; 4), quella viola y = x - 3 è spostata verso il basso di 3 e passa per il punto (0; - 3),

Come disegnare una retta

7Come disegnare una retta Per disegnare una retta è sufficiente ricavare due punti che appartengono ad essa. 1- se l'equazione è in forma implicita ricavare la y per evidenziare m e q. 2- assegnare due valori a piacere alle x, sostituirle nell'equazione della retta e ricavare le corrispondenti y. Così si trovano le coordinate di due punti della retta. Ad esempio. 2x+y-3=0 y =- 2x + 3 1 2 x y -2(1) +3->-2+3=+1 -2(2) +3->-4+3 =- 1 A(1; 1) B(2; - 1)

4 A -1 0 1 4 5 B -2

Verificare se un punto appartiene ad una retta

Per controllare se un punto appartiene ad una retta basta sostituire le coordinate del punto P (Xp; yp) nell'equazione della retta y = mx + q yp = mxp +q e verificare che si ottenga un'identità Ad esempio: Verificare se il punto A(3; 4) è sulla retta y = 2x - 2 4 = 2(3) - 2 4 = 6- 2 4 =4 identità: il punto è sulla retta Ad esempio: Verificare se il punto A(-1; 3) è sulla retta y = 2x + 1 3 = 2(-1) + 1 3 =- 2+1 3 =- 1 non è un'identità: il punto NON è sulla retta.

Intersezioni con gli assi

8Intersezioni con gli assi. Ogni retta interseca entrambi gli assi. Per trovare i punti di intersezione con un asse si pone uguale a zero l'altra variabile

• intersezione asse y: pongo x = 0 y = m . 0 + q y = q L'intersezione con l'asse y è data dal termine noto q
• intersezione asse x: pongo y = 0 mx+q=0 mx =- q x = q m Ad esempio la retta y = 2x - 1 ha intersezione asse y Intersezione asse x 2(0) -1 =- 1 2x-1= 0 2x = 1 2 1

Rette parallele e perpendicolari

Rette parallele e perpendicolari Due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare m1 = m2 Esempio: verificare se le rette x - y - 2 = 0 e 3x - 3y + 7 = 0 sono parallele Si determinano i coefficienti angolari, scrivendo le due equazioni in forma esplicita: x-y-2=0->-y =- x+2-> y=x-2 m =1 3x-3y +7=0->-3y =- 3x -7-> y = 7> y=3x+=] >y=x+] m = 1

1 3 2 1 6 -5 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 Essendo i due coefficienti angolari uguali le rette sono parallele \ \

Coefficiente angolare ribaltato

9Due rette sono perpendicolari se moltiplicando i due coefficienti angolari tra loro si ottiene -1; cioè se una retta ha rispetto all'altra retta il coefficiente angolare ribaltato e cambiato di segno (opposto del reciproco) m1 . m2 =- 1 m1 = - m2 Esempio: le rette 3x - 4y - 8 = 0 e 4x + 3y - 15 = 0 sono perpendicolari? Si determinano i coefficienti angolari, scrivendo le due equazioni in forma esplicita: 3x -4y - 8 = 0 -> -4y =- 3x + 8 → y == x- 3 4 8 4 3 → y == x-2 4 -> 4y = 3x - 8 m 3 4 4x+3y - 15 = 0 -> 3y = - 4x + 15 y = 3x + 5 -> y =-- x+5 4 3 → m = 4 3 Essendo i due coefficienti angolari opposti (segno diverso) e reciproci (ribaltati) le rette sono perpendicolari L

9 6 5 4 2 -2 -1 0 2 3 5 6

Coefficiente angolare della retta passante fra due punti

Coefficiente angolare della retta passante fra due punti Per calcolare il coefficiente angolare della retta che congiunge due punti si utilizza la seguente formula MAB = YA- YB XA- XB Ad esempio, se A(2; 7) e B(-2; 1) MAB = YA-YB XA- XB = 7-(1) 2-(-2) 7-1 6 2+2 £ 4 £ 3 2 10