Fondamenti di Elettromagnetismo: Le Onde, Università Politecnica delle Marche

Le Onde

Franco Moglie
Dipartimento di Ingegneria dell'Informazione (DII)
Università Politecnica delle Marche, Ancona, Italy

Le Onde
SI
.IT
UNIVER
C
ICA
DELLE MARCHE
UNIVERSITÀ
POLITECNICA
DELLE MARCHE
F. Moglie (DII - UNIVPM)
03.02 Onde
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L'onda e il legame spazio tempo

Legame tra lo spazio e il tempo

• Le onde sono perturbazioni del campo
  elettromagnetico che una volta generate sono in
  grado di autosostenersi e propagarsi con una
  velocità finita v.

L
T
=V

• La durata T e l'estensione spaziale L sono legati
  dalla velocità di propagazione v.

Au(z,t)
.Z
u(z,t)
t
1
ts
tv
L
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t 1, t2 t3 ly t, 1
T

L'onda e il legame spazio tempo: Propagazione senza attenuazione

W
y, mm
V = (2.00 m/s)i
1
1
t = 2.50 s
h
H/2
-2 -1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
vt = 5.00 m
x, m
-
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L'onda e il legame spazio tempo: Propagazione con attenuazione

(a) t=t,
2
(b) t=t2=t,+At
0
(c) t=t3=t2+At
y1 (x)
İy
v= Ax/At
(d)
Y2(X)
X
1X
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Le Onde Piane

Caratteristiche generali delle onde piane

• Le onde piane sono una soluzione particolare delle equazioni di
  Maxwell nei mezzi omogenei facile da calcolare.
• Le onde piane sono una buona approssimazione del campo
  elettromagnetico a una sufficiente distanza dalla sorgente.
• Sono particolarmente utili perché è possibile dimostrare che in un
  mezzo omogeneo qualunque campo è esprimibile come una
  combinazione lineare di onde piane.

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Le Onde Piane - Equazione d'Onda

Nell'ipotesi di assenza di sorgenti

La conducibilità o è nulla e siamo in assenza di cariche.
J=0 e pv=0
Inoltre ipotizziamo di avere un mezzo omogeneo e tempo-invariante.
Le equazioni di Maxwell ai rotori diventano
V x E :
at
e
V x H =
aD
at
Prendiamo il rotore della prima
V x E = VV . E- VE = - V
aB
at
(Notare che V · E = 0 in assenza di cariche elettriche)
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Le Onde Piane - Equazione d'Onda per il campo elettrico E

0E
at
∂
(V x B) =
at
02
Ot2
(εμΕ)
Unendo le espressioni precedenti
12 Ε = εμ
2 E
at2

Equazione d'onda per il campo magnetico H

In maniera perfettamente analoga si ottiene
02 H
2 Η - εμ
Ot2
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Le Onde Piane - Equazione d'Onda: Soluzione delle equazioni

Ogni equazione vettoriale da risolvere corrisponde a 3 equazioni
scalari (una per ogni componente del campo)
72 Ηx=εμ
02 Hx
at2
02 Hy
2 Ηγ = εμ
Ot2
02 Hz
2 Η2 = εμ
at2
Ricordiamo che
2
=
0×2
02
+
02
dy2
+
0z2
22
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Onde Piane Uniformi

Ipotesi 1: non ci sono variazioni del campo nelle direzioni x e y

∂
2 =0
0
0x
- dy

Ipotesi 2: Il campo elettrico ha solo componente lungo x

L'equazione d'onda si semplifica e diventa:
02 Ex
0z2
=Eu
02 Ex
Ot2
x
La soluzione è
Ex = Af (t- = )
V
Z
+ Bf2 (t+
z
v
/
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Onde Piane Uniformi: Verifica

Ex = Af1 (t-)
soddisfa l'equazione differenziale
02 Ex
0z2
02 Ex
=Eu
Ot2
af1
at
= Af (t-2)
af1
dz
= A
02 f1
,
Ot2
= Af“ (t -~ )
1) {(+-2)
02 f1
0z2
= A
(
−
2
1
v
f (t-2)
- εμ
02 f
at2
con
1
V =
VELL
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Onde Piane Uniformi: Verifica analoga

Ex = Bf2 (1 +2)
soddisfa l'equazione differenziale
02 Ex
0z2
a2 Ex
x
- εμ
Ot2

Valore della velocità v

Nel vuoto
V= C =
νεομο
1
= 299 792 458 ~ 3108 m/s
In un mezzo non ferromagnetico con costante dielettrica Er
c
V =
1
Ver
=
c
n
ove n = ver è detto indice di rifrazione
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Velocità di fase delle onde nel vuoto

Onda progressiva

Ex = Af1 (t-
z
v
-
all'aumentare del tempo l'onda rimane inalterata se mi sposto lungo z
con velocità positiva
AZ
c
= At
Az
At
= C
E' un'onda piana che si propaga lungo z

Onda regressiva

Ex= Bf2 (t+
z
v
Questa onda ha velocità v = - c; essa viaggia nel senso negativo
dell'asse z.
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Onde Piane Uniformi: Il campo magnetico

Partiamo dall'equazione del rotore di H
× H =
OD
at
⇒
OHy
aEx
X
dz
=- 8
at
OHy
-& Af1 (t -- )
=
az
+ Bf2 (t+2)]
Integrando ambo i membri
Hy =- & |Af'1 (t-2)
+ Bf2 (t+-
Z
dz
V
)1
[Af 1 (t -- ) + Bf'2 ( +2) ] d ( 2)
=- EV
= - EV Af (t-
v
z
+ Bf2 (t+
Z
)]
v
-
+ cost.
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Onde Piane Uniformi: Il campo magnetico, continuazione

Quindi
+ Bf2 (t+~)]
Hy = - EV Af1 (t- 2)
1
=
V
−
η
Af (t-
Z
M) + Bf2 (+ +2)]
avendo posto
n=
1
EV
Notare che n ha dimensioni (V/m)/(A/m) = (V/A) = (22) = (ohm)
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Onde Piane Uniformi: Impedenza d'onda

1
n =
EV
ma
1
V =
1
µ
n=
1
ε
Nel vuoto
V = C = 299 792 458 ~ 3 108 m/s
n = 376.730 313 668~377 (22)
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Onde Piane Uniformi: Equazioni dei campi

Ex = Af1 (t-) + Bf2 (+)
Hy = -:
1
Af (t- =
V
Z
+ Bf2 (t + =))
n=
ε
µ
= 377 (22) (nello spazio libero)
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Onde Piane Uniformi: Equazioni dei campi e Onde TEM

E
1
direzione prop.
H = - ^ x E
η
H

• E e H sono ortogonali tra loro e rispetto alla direzione di
  propagazione n. Prendono il nome di Onde TEM "Transverse
  ElectroMagnetic".
• n è l'impedenza caratteristica del mezzo e definisce il rapporto tra
  il modulo del vettore campo elettrico e quello campo magnetico.

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Onde Piane Uniformi: Caso di un dielettrico non ferromagnetico

• Avevamo visto che in un dielettrico non ferromagnetico la velocità
  di propagazione dell'onda è minore che nel vuoto.
• Anche l'impedenza d'onda si riduce allo stesso modo.

n=
1
=
ε
µ
V
po
E0Er
no
=
VEr
=
no
n
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Onde Piane Uniformi: Densità di potenza associata all'onda piana

P = E x H

• Rappresenta la densità di potenza associata all'onda
  elettromagnetica.
• Dimensionalmente P è una potenza per unità di area. E è in V/m,
  H è in A/m, P è in W/m2.
• Se l'onda piana incide su un mezzo materiale (quindi anche un
  corpo biologico), moltiplicando P per la sezione del corpo stesso
  ottengo la potenza che vi incide normalmente.

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Onde Piane Uniformi: Densità di potenza associata all'onda piana e vettori

Ex
ExA
Hy
Pz
Hy
-
V
y

• I vettori E, H e P di un'onda piana formano una terna destrorsa
  con P parallelo alla direzione di propagazione
• Per l'onda progressiva Ex/ Hy = n e P è diretto nella direzione
  positiva dell'asse z.
  P = 1H2 =
  E2
  η
• Per l'onda regressiva Ex / Hy = - n e P è diretto nella direzione
  negativa dell'asse z.

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Onde Piane Uniformi: Densità di potenza associata all'onda piana, rappresentazione

X
Ex
Ex
Pz
Z
Pz
Z
Hy
Hy
y
(a)
(b)

• (a) onda progressiva
• (b) onda regressiva

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Onde Piane Uniformi: Onde piane nel dominio della frequenza

Nel caso sinusoidale:
f(t) = cos(wt)
cos (wt) = R eiwit
COS
= cos (wt - Bz) = R |ej(wt-Bz)
s/w (1-2)]
con
3 =
ω
c
=
2Tf
c
λ
=
Essendo la lunghezza d'onda ) = c/f. L'unità di misura di ß è (m-1).
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Onde Piane Uniformi: Onde piane nel dominio della frequenza, continuazione

Ricordando che
∂
at
= jw e
02
= - w
2
Ot2
e partendo da
82 Ex
X
=Eu
0z2
a2 Ex
at2
· X
Si ottiene l'equazione d'onda
02 Ex
x
0z2
= - εμω2 Εx = - β2 Εx
Che ha come soluzione
Ex = Eye-jBz + Ey e+ißz
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Onde Piane Uniformi: Onda piana sinusoidale

Onda piana sinusoidale nel tempo e nello spazio che viaggia verso le z positive

R Et e (wt-Bz)
L
= Ey cos (wt - Bz)
x

Onda piana sinusoidale nel tempo e nello spazio che viaggia verso le z negative

R Ey e-j(wt-Bz) |= Ey cos (-wt + Bz)
r
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Onde Piane Uniformi: Parametri dell'onda piana

y
2
1
1
1
1
x
1
t- 0
It- A)
ΔΧ
Hej (wt- Bz )
L
= cos (wt - Bz)
Fotografata in un istante t, l'onda è periodica nello spazio con periodo
A.
B1=2₸
3 =
27
λ
X è la lunghezza d'onda.
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Onde Sinusoidali

s(z, t) = Acos (wt - Bz) = Acos
27
(ft-2)]

Costante di fase 3 (rad/m)

Rapidità con cui varia la fase al variare della posizione, a un t fissato

Lunghezza d'onda à (m)

Distanza per la quale la fase istantanea vari di 27, a un t fissato
2π/β

Velocità di fase Vf (m/s)

Velocità con cui si sposta un punto a fase istantanea costante, in
pratica è la velocità con cui si sposta la cresta dell'onda.
Vf = w / B = = >
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Onde Sinusoidali: Fotografia dell'onda sinusoidale E+ all'istante t = 0

X
2
Ex= E cos(@t- ßz)
m
V
1
+
1
-
I
-
> Z
1
1
1
1
1
1
1
V
y
Hy=
+
cos(@t- ßz)
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1
1

Onde Sinusoidali: Altra rappresentazione

E | B | [direzione di propagazione]
E
B
C =
velocità
della luce
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Onde Sinusoidali: Esempio di calcolo

Un'onda piana con f = 3 GHz si propaga in un mezzo omogeneo con
Er = 7 e ur = 3. Calcolare la velocità di fase v e la lunghezza d'onda
1.
Soluzione
Vf =
1
νεμ
=
Erur
3 108
V(7)(3)
= 6.55 107 (m/s)
1=
β
=
=
27TVf
2Tf
= VI -
6.55 107
∼
0.02 (m)
3 109
ωνεμ
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c
=

Onde Piane Uniformi: Proprietà delle onde piane uniformi

• Campo elettrico e magnetico sono perpendicolari alla direzione di
  propagazione.
• Campo elettrico e magnetico sono perpendicolari tra di loro e il
  loro prodotto vettoriale fornisce la direzione di propagazione
  dell'onda.
• Non ci sono variazioni dell'ampiezza dei campi sul piano
  perpendicolare alla direzione di propagazione (fronte d'onda
  piano). In regime sinusoidale il fronte d'onda è un piano equifase.
• Il rapporto tra l'ampiezza del campo elettrico e di quello
  magnetico è dato dall'impedenza d'onda.
• Il vettore di Poynting è diretto lungo la direzione di propagazione e
  fornisce la densità di potenza per unità di superficie associata
  all'onda elettromagnetica.

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Onde Piane Uniformi: Proprietà delle onde piane uniformi, continuazione

• A grande distanza dalla sorgente l'onda piana è una accettabile
  approssimazione locale di un'onda sferica.

raggio
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
r
1
1
PT
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
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1
1
1
1
1
1
Sorgente puntiforme
fronte
ď'onda
fr
1
1
1
1
1
1
1
1
1
E.
1
1