Matematica generale: funzioni reali di una variabile reale, Università di Sassari

Matematica generale

Angelo Antoci Dipartimento di Scienze economiche e aziendali Università di Sassari e-mail: antoci@uniss.it Anno accademico 2024-2025

Parte I. Funzioni reali di una variabile reale

1.1 Nozioni di base

1.1.1 Definizione di funzione di una variabile

Indichiamo con R l'insieme dei numeri reali e con A un sottoinsieme di R, Ac R. Una qualsiasi regola che ci permette di associare a ciascun numero reale appartenente all'insieme A uno e un solo numero reale, si dice funzione reale di una variabile reale da A in R.Una funzione da A in R può essere indicata con il simbolo f o con qualsiasi altra lettera dell'alfabeto (maiuscola o minuscola) e di solito si usa il simbolo: f : AIR Tramite la funzione f, a ogni numero x (variabile in A c R) corrisponde un unico numero y ER, che chiameremo immagine di x e indicheremo con f(x): y = f(x). X è la variabile indipendente, y è la variabile dipendente.

1.1.2 Definizione di dominio naturale della funzione f

I più ampio sottoinsieme di R in cui è possibile l'applicazione della regola che definisce la funzione f, si chiama dominio naturale di f (o, in alternativa, campo di esistenza o insieme di definizione). Come vedremo, in molti casi sarà necessario studiare le proprietà della funzione f : A / R, considerando come insieme di partenza A un sottoinsieme proprio del dominio naturale della funzione f .

1.1.3 Esempi di funzioni

a) La funzione: y = f (x) = x2 Tale funzione associa a qualsiasi numero reale X il suo quadrato X2 = X . X (in questo caso si ha che il dominio naturale di f coincide con l'insieme dei numeri reali R):

• f(2) = 2.2 = 4,
• f(3) = 3.3 = 9,
• f(-2) = (-2) . (-2) = 4,
• f(-1)=(-1). (-1) = 1,
• f (0) = 0 . 0 = 0 e così via.

b) La funzione: y = f (x) = x3 Tale funzione associa a qualsiasi numero reale x il prodotto x' = x . x . X (il dominio naturale di f è l'insieme dei numeri reali R):

• f(2) =2 .2 .2 = 8,
• f(3) = 3 .3.3 = 27,
• f(-2)=(-2).(-2).(-2) =- 8, f(-1) =(-1).(-1).(-1) =- 1,
• f(0) = 0 . 0 . 0 = 0 e così via.

1.1.4 Definizione di grafico di una funzione

Per rappresentare le caratteristiche di una data funzione f : A -> R è utile riportare, nel piano cartesiano (x, y), sull'asse orizzontale l'insieme di partenza A di f(x) e, per ogni x E A, tracciare il punto del piano di coordinate: (x, y ) = (x,f(x)) Al variare di x in A, tali punti descrivono un sottoinsieme del piano che si chiama grafico della funzione f .

y A P = (3,4) + 1 1 1 x I Q=(-5,-2) + Figura 1.1: punti (x, y ) = (3,4) e (x, y)= (-5,-2).

4y 4+ 3 2+ 1 -3-2-1 1 2 3 4 x -1 - -2- -3+ Figura 1.2: grafico della funzione f (x) = x2 - 4x + 3.

y A 4+ 3+ 2- 1 1 + -3-2-1 1 2 3 4x -1 -2 - -3 - Figura 1.3: grafico della funzione f (x) = 2x - 1.

y A x È il grafico di una funzione y = f (x) y 4 x Non è il grafico di una funzione y = f (x) Figura 1.4: 'test della retta verticale'.

1.1.5 Definizione di insieme immagine della funzione f

Data una funzione f : A -> R, possiamo costruire un sottoinsieme di R, che indichiamo con f(A) (oppure con Im(f)), tramite la regola seguente: y E R appartiene a f (A) se esiste x E A tale che y = f (x). Tale insieme viene chiamato immagine di A mediante f .

(-7,6) y' (2, 4) Immagine t O (4, 0) (-4,0) X (-2, -4) (5, -5) Figura 1.5: insieme immagine di una funzione.

1.1.6 Definizione di funzione iniettiva

Una funzione f : A -> R si dice iniettiva in A se: f(x)=f(x2) ogni volta che x # X2, per ogni coppia di numeri reali X1, X2 € A. 'Test della retta orizzontale': Qualsiasi retta orizzontale si disegni nel piano (x, y), questa incontra al più in un solo punto il grafico di una funzione iniettiva.

Iniettiva Non iniettiva y y 4 y = 2x - 1 3- 3 01 2 -1x 2 X -1 O +1 X : y = - x2 + 4 a b Figura 1.6: esempi di funzioni iniettiva e non iniettiva.

Nota: una funzione f : A -> R può essere iniettiva o no, a seconda di come viene definito l'insieme di partenza A, il quale può coincidere o meno con il dominio naturale della funzione. Per esempio, la funzione f(x) = x3 è sempre iniettiva, in qualunque modo venga fissato l'insieme di partenza A (anche ponendo A = R).

y 4 Figura 1.7: grafico di f (x) = x3. 3+ 2+ y= x3 1 + -+ - A -3 -2 -1 1 2 3 x -1- -2+ -3+Al contrario, la funzione f(x) = x2 può essere iniettiva o meno, a seconda di come venga fissato l'insieme di partenza A. Per esempio, se A = R, allora f(x) = x2 non è iniettiva, infatti: f(2)=f(-2)=4, f(3)=f(-3) =9 ecc. Se invece si pone A = R., allora la funzione f(x) = x2 diventa iniettiva in A.

y 4 XXX 3+ y= x2 2+ 1 + + -3 -2 -1 2 3 X -1- -2- -3+ A Figura 1.7: grafico di f (x) = x2 con A = R .. +

1.1.7 Definizione di funzione crescente e decrescente

Definizione: Sia data una funzione f : A -> R; se per ogni coppia X1, X2 € A, con X < X2, risulta: f(x) ≤f(x2) si dice che f è crescente in A. Se risulta: f(x)

y f(x2) O X. 1 O X X2 1 f(x2) - Figura 1.8: funzione strettamente crescente.

y O X - Figura 1.9: funzione crescente.

Definizione: Analogamente, se per ogni coppia X1, X2 € A con X < X2 risulta: f(x)≥f(x2) si dice che f è decrescente in A. Se risulta: f(x)> f(x2) si dice che f è strettamente decrescente in A.

y f(x) O X. 2 X 1 X f(x2) Figura 1.10: funzione strettamente decrescente.

y O X Figura 1.11: funzione decrescente.

Definizione: Le funzioni che soddisfano una delle quattro proprietà precedentemente elencate si dicono funzioni monotone in A. y .. f(x2) f(x,) 1 X1 X2 I D X Figura 1.12: funzione non monotona. Nota: Le funzioni strettamente crescenti e le funzioni strettamente decrescenti in A sono iniettive in A.

1.1.8 Definizione di massimo e minimo

Definizione: Data una funzione f : A -> R, il numero reale M appartenente a f(A) si dice massimo (oppure massimo assoluto) di f in A (e si indica comunemente: Max f(x)) XEA se (il simbolo V si legge: "qualunque"): M ≥f(x), Vx € A Un punto xe A tale che M =f(x) si dice punto di massimo.

y Massimo X 1 X2 0 b a X Punto di massimo Figura 1.13: massimo e punto di massimo di una funzione.

Definizione: Analogamente, il numero reale m appartenente a f(A) si dice minimo (oppure minimo assoluto) di f in A (e si indica: Min f(x)) se: XEA m ≤f(x), Vx€A Un punto x E A tale che m = f(x) si dice punto di minimo.

y y = f(x) X2 xo × 1 × Figura 1.14: minimo e punto di minimo di una funzione.

y a X1 X 4 9 X2 ) 0 × <3 X Figura 1.15: funzione con due punti di massimo (il massimo è sempre unico) e due punti di minimo (il minimo è sempre unico).

1.1.9 Definizione di massimo e minimo relativi

Definizione: Data una funzione f : A -> R, un punto x € A si dice punto di massimo relativo se esiste un intervallo I = (a, b) tale che x E / e per Vx El n A risulta: f(x)≥f(x). Il valore f(x) si dice massimo relativo di f .

massimo relativo y M f(x) y=f(x) O IX XO X 1 punto di massimo relativo Figura 1.16: massimo relativo e punto di massimo relativo.

Definizione: Analogamente, un punto x E A si dice punto di minimo relativo se esiste un intervallo / = (a,b) tale che x El e per Vx El n A risulta: f(x) ≤f(x). Il valore f(x) si dice minimo relativo di f .

y y=f(x) f(x) I m minimo relativo C X X 0 X 1 punto di minimo relativo Figura 1.17: minimo relativo e punto di minimo relativo. Nota: Un punto di massimo è anche un punto di massimo relativo. Un punto di minimo è anche un punto di minimo relativo.Come vedremo più avanti, individuare i massimi e i minimi relativi di una funzione è, di solito, il primo passo per l'individuazione dei massimi e minimi (assoluti).

Ay y = f(x) f(d) f(h) f(e) f(b) f(c) f(a) O! a b C d e h x 1 Figura 1.18: massimi e minimi, relativi e assoluti.

1.1.10 Definizione di funzione inversa

Sia f : A -> R una funzione iniettiva e sia f(A) l'immagine dell'insieme A mediante f. Siccome f è iniettiva, ad ogni yef(A) è associato un unico elemento x € A tale che f(x) = y. Si dice funzione inversa di f la funzione che ad ogni elemento di f(A) associa l'elemento di A del quale il primo è immagine: f-1 : f(A) -> A

1.1.11 Esempi di funzioni inverse

Esempio 1: come visto precedentemente, la funzione y = f(x) = x2 può essere iniettiva o meno, a seconda di come venga fissato l'insieme di partenza A. Se si pone A = R., allora la funzione y = f(x) = x2 è iniettiva in A e l'insieme immagine di A = R, mediante la funzione f + è f(A) = R.

y 25 20 15 10 5 - 0 + 0 1 2 3 4 5 x Figura 1.19: grafico della funzione y = x2 con A = R .

La funzione inversa di y = f (x) = x2: f-1 : R + ->R + si chiama radice quadrata di y e si indica con il simbolo x = f 1(y) = vy. Nota: Chiaramente, in base alla costruzione della funzione f 1(y) = vy, il suo dominio naturale è l'insieme dei numeri reali positivi R. .

5 - x 1 4 3 2 1 + 0 + 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 y Figura 1.20: grafico della funzione x = f (y ) = vy.

Nota: Nella funzione X = vy, con x è stata indicata la variabile dipendente e con y la variabile indipendente. Se adottiamo la convenzione di indicare con x la variabile indipendente e con y la variabile dipendente, i grafici delle funzioni y = x2 e y = Vx possono essere rappresentati insieme.

y = x2 y = X 4 ₸ y 3 2 y=VX 1 0 - + + 1 + 0 1 2 3 4 x Figura 1.20: grafici delle funzioni y = vx e y = x2, e retta y = X.Osservazione: Osserviamo che i grafici di f(x) = x2 e di f 1(x) = Vx sono simmetrici rispetto alla retta di equazione y = x (la quale è la bisettrice del primo e del terzo quadrante). Lo stesso tipo di simmetria vale fra il grafico di una qualunque funzione f(x) e quello della sua inversa.

Esempio 2: La funzione y = f(x) = x3 è iniettiva in tutto il dominio naturale R. Inoltre, l'insieme immagine di A = R mediante la funzione f è f(A) = R. La funzione inversa di f : f 1 : R->R Si chiama radice cubica di y e si indica con il simbolo: x = f (y ) = {y.

8 T x 6 + 4 2 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 y -2 + -4 T + -6 1 + -8 - Figura 1.21: grafico della funzione x = f -1(y ) = 3 y .

Nota: Chiaramente, in base alla costruzione della funzione f 1(x) = {x, il suo dominio naturale è l'insieme dei numeri reali R. Se adottiamo la convenzione di indicare con x la variabile indipendente e con y la variabile dipendente, i grafici delle funzioni y = x3 e y = 3 x possono essere rappresentati insieme.