Teorie e Metodi del Disegno di Architettura dall'Università Iuav di Venezia

I U A V Università Iuav di Venezia - a.a. 2021/2022

Dipartimento di Culture del Progetto

TEORIE E METODI DEL DISEGNO DI ARCHITETTURA B06030 L2 00 - -- Txy TxZ L1 00

Indice

1. Lezione: Omologia ed enti fondamentali. 3
2. Lezione: Il ribaltamento nel metodo di Monge 8
3. Lezione: Il ribaltamento, casi particolari 11
4. Lezione: L'assonometria. 13
5. Lezione: Coniche degeneri. 20
6. Lezione: Sezioni coniche: ellisse, parabola ed iperbole. 25
7. Lezione: Teoria delle ombre 26
8. Lezione: Curve e superfici. 29
9. Lezione: Le superfici voltate: le volte cilindriche. 36
10. Lezione: Le superfici voltate: le volte sferiche. 38
11. Lezione: Proiezioni centrali (prospettiva a quadro verticale) 40
12. Lezione: Prospettiva a quadro inclinato. 47

12/10/2021 I Lezione Omologia ed Enti Fondamentali

Omologia: deriva dal greco, prefisso omalos: affine, uguale, simile e una desinenza logos logica, discorso. Ci sono diverse definizioni per determinare cos'è un'omologia:

• Omologia 1: Processo che permette di passare da un'immagine all'altra attraverso la proiezione di linee, non prendendo misure, non prelevando distanze. Solo ed unicamente attraverso un passaggio grafico. Per esempio: il passaggio da una pianta o prospetto fino ad arrivare ad un'assonometria o prospettiva.
• Omologia 2: passare da un'immagine all'altra attraverso la proiezione di punti, con un passaggio grafico, non prendendo le misure.
• Omologia 3: sezione piana di stelle prospettive.
• Omologia 4: omografia di piani sovrapposti.

Assegnati due punti nello spazio proiettivo una ed una sola retta di ciascun punto si incontreranno sulla giacitura di un piano. Esse sono stelle prospettive, la loro relazione si chiama prospettività. Il piano alfa si chiamerà piano della prospettività.

B A C C D Assegnati due punti nello spazio proiettivo A e B una ed una sola retta di ciascun punto si incontreranno sulla giacitura di un piano. O* A AT* A": proiezione del punto O in corrispondenza del punto A, creando A' immagine omologica O Nota un'immagine possono ricavare l'altra attraverso un'omologia. Si può passare da un'immagine piana ad una sua corrispondente conoscendo una coppia di punti corrispondenti e conscendo la relazione che accomuna Per assegnare un'omologia è necessario: un centro, un'asse e una coppia di punti corrispondenti (propri o impropri).

Principi di un'Omologia

punti corrispondenti sono allineati con il centro dell'omologia, rette corrispondenti si intersecano sull'asse. V C! A' B' S B A+ 00 V: centro dell'omologia, s: asse dell'omologia A'e A *: punti corrispondenti dell'omologia V: centro dell'omologia, s: asse dell'omologia A'e A *: punti corrispondenti dell'omologia Caso con un lato parallelo Con l'omologia si perde il rapporto angolare, permane l'appartenenza alla retta. Casi speciali dell'omologia: AFFINITA', OMOTETIA e TRASLAZIONE.

• Affinità: l'asse è parallelo al piano, può essere ortogonale (caso assonometria isometrica) o obliqua (caso assonometria cavaliera)
• Omotetia: 2 piani sono allineati
• Traslazione: l'immagine rimane costante, viene solo traslata.

Riferimento nello Spazio (Omologia Affine)

Assegnati due punti O e O' equidistanti dal piano geometrale e dato un punto posizionato sul piano a, ogni punto proietta il proprio omologo. Da O otteniamo N', da O' otteniamo N*, l'asse dell'omologia è l'asse di intersezione comune con il piano geometrale (linea verde tratteggiata). A questo punto bisogna determinare il centro dell'omologia determinato dall'intersezione della retta che contiene O e O' con il piano geometrale. I due sono tra loro paralleli, la loro intersezione avviene all'infinito; il centro è dunque improprio. 0 00 0' Noo C N 0- N* N' A 1 1 1 90° 48º - 1 1 1 - 1 - - - 1 - I 1 1 A' 4 S A B* 1 - 1 - Esempio di omologia affine ortogonale (a sinistra) e obliqua (a destra). A' B'V 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 11 1 1 1 11 1 Y 11 1 1 1 1 δ 1 1 δ (Esempio di omologia omotetia, le rette magenta, verde, rosso ed azzurro sono tra loro parallele) Più il piano è vicino al vertice (centro proprio dell'omologia) più l'immagine sarà piccola. Se l'immagine viene proiettata su diversi piani gradualmente più distanti dal centro dell'omologia, la figura risulterà sempre più grande con un ingrandimento costante e proporzionale alla distanza da V. Permane il rapporto angolare, ma non le lunghezze lineari.

1 > Y 1 1 1 1 1 - r Y 1 1 δ (Esempio di omologia di traslazione, le rette magenta, verde, rosso ed azzurro sono tra loro parallele) L'immagine rimane costante, viene solo traslata. Permane il rapporto angolare e le lunghezze lineari.

Ricapitolando

• Omologia generale: con asse proprio e centro proprio
• Omologia affine: con asse proprio e centro improprio (il centro è definito dalla direzione So)
• Omologia omotetia: con asse improprio e centro proprio 5
• Omologia di traslazione: asse improprio e centro improprio.

Due rette sono definite complanari quando esiste un piano che le contiene entrambe. Si possono verificare due condizioni: le rette hanno solo un punto in comune, dicesi incidenti, mentre se non hanno punti in comune sono definite parallele. Se invece hanno 2 (quindi tutti) i punti in comune sono definite coincidenti, vengono considerate ancora parallele. Nel caso in cui due rette non siamo complanari, diconsi sghembe.

Proprietà dello Spazio Proiettivo

• esiste una retta, e soltanto una, passante per due punti distinti;
• esiste una retta, e soltanto una, passante per due piani distinti;
• se due punti A e B stanno su un piano, la retta passante per quei punti sta sul piano;
• esiste almeno un piano passante per tre punti distinti assegnati;
• esiste almeno un punto che sta su tre piani distinti assegnati

Enti Fondamentali

• punto: indicato con la lettera maiuscola dell'alfabeto (A), definito come una circonferenza il cui raggio tende a 0, ente adimensionale
• retta: indicato con la lettera minuscola dell'alfabeto, definito come una serie di infiniti punti collegati tra di loro di estensione indefinita (infiniti punti adimensionali, uniti tra di loro compongono una struttura monodimensionale)
• piano: indicato con la lettera greca minuscola, è bidimensionale e non raggiunge mai il suo limite. i punti e le rette possono giacere sul piano, la posizione che il piano appartiene allo spazio si dice giacitura.

Diverse linee parallele con diversa giacitura si incontrano in un punto improprio che tende all'infinito, che corrisponde ad una retta impropria.

Forme Proiettive

6Elemento generatrice: Punto E . . . D C B A r -O RETTA: costituita da infiniti punti O O O O PIANO: costituito da infiniti punti propri ed infiniti punti impropri. TERNA DI ASSI CARTESIANA: determinano lo spazio puntrggiato. Elemento generatrice: Retta FASCIO DI RETTE PROPRIO: tutte le rette che si incontrano in un punto creano un fascio di rette. FASCIO DI RETTE IMPROPRIO: la retta tende all'infinito STELLA DI RETTE:costituito da infiniti fsaci di rette propri e impropri. Elemento generatrice: Piano 1 1 FASCIO DI PIANI CON RETTA PROPRIA: l' ente di sostegno è la retta FASCIO DI PIANI CON RETTA IMPROPRIA STELLA DI PIANI: l'ente di sostegno è il punto

719/10/2021 II Lezione Ribaltamento nel Metodo di Monge

Gaspard Monge (1746 - 1818)

Figlio di un venditore ambulante, fu educato in una scuola di Oratoriani della quale divenne successivamente un usciere. Non viene da una famiglia agiata. La sua nascita, tuttavia, gli preclude l'ammissione alla scuola militare, ma fu accettata la sua partecipazione ad un edificio annesso alla scuola dove veniva insegnato il disegno geometrico, sebbene lui fosse considerato di origini non sufficientemente elevate per poter risolvere problemi di calcolo. Nel 1768 Monge fu nominato professore a condizione che i risultati della sua geometria descrittiva rimanessero un segreto militare limitato agli ufficiali superiori. Nel 1780 fu nominato a ricoprire una cattedra di matematica nell'Università di Parigi; tale lavoro, insieme ad alcuni incarichi provinciali, gli diede un reddito medio/alto. Il suo primo elaborato di particolare importanza fu comunicato all'Accademia di Francia nel 1781; in quest'opera egli discusse le linee di curvatura disegnate su una superficie. Monge abbracciò ardentemente le dottrine della rivoluzione. Nel 1792 fu nominato Ministro della Marina e aiutò il comitato di sicurezza pubblica nell'utilizzo della scienza per la difesa della repubblica. Quando il Terrore salì al potere egli fu denunciato e scampò dalla ghigliottina soltanto grazie ad una fuga precipitosa. Al suo ritorno nel 1794 fu nominato professore nella Scuola Normale; collaborò con Sylvestre François Lacroix. Nel 1796 fu inviato in Italia con la Commissione per le Scienze e le Arti, e vi soggiornò per quasi due anni. Nel 1798 raggiunse Napoleone Bonaparte in Egitto; dopo le vittorie navali e militari dell'Inghilterra egli fuggì in Francia. A Parigi fu professore all' École polytechnique, in cui insegnava geometria descrittiva, materia della quale pubblicò un manuale. Questo lavoro contiene le proposte sulla forma e sulla posizione relativa alle figure geometriche dedotte tramite l'uso dei trasversali. La maggior parte dei suoi studi sono contenuti nelle pubblicazioni Applicazione dell'algebra alla geometria (1805) e Applicazione dell'analisi alla geometria la cui quarta edizione, pubblicata nel 1819, è stata modificata da Monge poco prima della sua morte. Contiene tra gli altri risultati la sua soluzione di un'equazione differenziale alle derivate parziali del secondo ordine. Gaspare Monge fu anche il primo sviluppatore della proiezione ortogonale. Gaspard Monge muore a Parigi il 28 luglio 1818

Metodo di Monge

rappresenta degli enti in 2 piani tra loro ortogonali, quello orizzontale si definisce piano geometrale, mentre l'altro corrisponde al prospetto.

• Un punto appartiene ad una retta quando tutte le immagini appartengono alla retta.
• Un punto appartiene ad un piano quando appartiene ed una retta che appartiene ad un piano.
• Una retta appartiene ad un piano quando le tracce della retta appartengono alla traccia omonima del piano.

secondo piano di proiezione corrisponde al PROSPETTO piano proiettante di profilo (contiene i centri di proiezioni) II DIEDRO I DIEDRO A A -- 0-1 QUOTA t linea di terra / retta fondamentale AGGETTO A2 * A1 angolo di 90° piano geometrale / piano di quota 0 corrisponde alla PIANTA III DIEDRO IV DIEDRO 8