Il Fattore di Forma e lo Scambio Termico per Irraggiamento in Fisica

Il fattore di forma

Ogni volta che sono presenti più corpi a temperature diverse tra loro, separati dal vuoto o da un mezzo trasparente (approssimazione coerente con tutte le applicazioni pratiche nel caso di aria alla pressione atmosferica) alle radiazioni elettromagnetiche, si ha scambio di calore per irraggiamento. Ciascuno dei corpi che prende parte al fenomeno di scambio emette e riceve dagli altri corpi potenza raggiante e la potenza raggiante scambiata dall'i-esimo corpo q di superficie A è data dalla differenza tra la potenza complessivamente emessa (per temperatura e per riflessione) e quella complessivamente incidente. q = (A E+p A Win)-WinA q = A(c' o T4 +(1-a)Win -Win) = A &' (o T4 -Win) (1)

A parità di temperature, tali quantità dipendono dalle posizioni occupate dai corpi e, per ciascuno corpo, è quindi possibile determinare un fattore di forma o di vista Fij. Per l'i-esimo corpo, Fij è definito come il rapporto tra l'energia che esso emette e che raggiunge il j-esimo corpo e l'energia totale emessa.

Se si considerano due superfici a diversa temperatura (vedi fig. 1), nell'unità di tempo, essendo A¡ l'area e Ei l'irraggiamento integrale, esse emetteranno: W =E . A ; W2 = E2 . A2 (2)

Scrivendo, in base alla sua definizione, i fattori di forma: F12 = 12 W, F2-1 = ; W 2-1 W2 (3) e supponendo che i corpi siano perfettamente diffondente: E ;0 = EL.cose π (4) è possibile dimostrare una proprietà fondamentale del fattore di vista, secondo cui:(5) A . F1_2 = A2 . F2-1

A2 n2 n1 4 A1 Fig. 1: Angolo di vista tra due superfici non complanari

Si possono inoltre considerare due situazioni distinte di scambio termico per irraggiamento, ovvero quella in cui tutta l'energia emessa da un corpo incide totalmente sugli altri e quella in cui, invece, parte dell'energia emessa è dispersa. Due differenti casi relativi alla prima delle due situazioni sono riportati in figura 2:

• le superfici di un prisma (fig. 2.a) costituiscono una cavità chiusa e, quindi, l'energia emessa da una di esse, ad esempio A1, incide su tutte le altre, ma non su se stessa (F1-1 =0): F1-2 + F1_3 + F1-4 + F1 5 = 1 (6)
• l'energia emessa dalla superficie laterale di un cilindro (fig. 2.b), non essendo la superficie piana, incide anche su se stessa: F11 + F1_2 + F1 3 =1 (7)

In generale, per corpi che formano cavità chiuse, si può dunque scrivere: ZFtj=1 n j=1 (8)

Due differenti casi relativi alla seconda situazione sono invece riportati in figura 3: · la superficie A1, emette energia che incide su tutte le altre, ma non su se stessa (F1-1 =0), ed in parte è dispersa (fig. 3.a): F1-2 + F1_3 + F1_4 + F1_5 = F 1-2,3,4,5 (9) · la superficie A1, emette energia che incide su tutte le altre e su se stessa ed in parte è dispersa (fig. 3.b): F1-1 + F1-2 + F1_3 + F1-4 + F1-5 = F1-1,2,3,4,5 (10)

A2 A5 A1 A2 A1 A4 A A3 a) b) Fig.2: Esempi di scambio termico per irraggiamento: a) energia emessa da una superficie che incede su tutte le altre superfici, ma non su se stessa; b) energia emessa da una superficie che incede su tutte le altre e su se stessaA A A2 A2 A A A4 A. As A5 a) b) Fig.3: Esempi di scambio termico per irraggiamento: a) energia emessa da una superficie che incede su tutte le altre superfici, ma non su se stessa e in parte è dispersa; b) energia emessa da una superficie che incede su tutte le altre e su se stessa

Il metodo della radiosità

La radiosità di un corpo è definita come la quantità di potenza radiante complessivamente emessa per unità di superficie, ovvero sia per temperatura che per riflessione dell'energia raggiante proveniente da altri corpi: G = E+r . Wi (11)

Per un corpo grigio si ha: G = 60 . a . T4 +r . W. (12) e se il corpo è anche opaco: G = 50 . a . T4 + (1-a) . W. (13)

Ricordando che per il principio di Kirchoff l'emissività di un corpo è uguale al coefficiente di assorbimento &' =a allora la 13 diventa G = 4 0 T (14) ' e, ricavando Wi in funzione della radiosità dalla equazione 1 si può dire che la potenza netta q trasmessa da una superficie: q= A &' ( T4 -Wi) = A =' (GT4 - C- Α ε' 1-3 (FT" _G) (15)

Il metodo della radiosità consente di semplificare il problema della valutazione del flusso termico scambiato per irraggiamento (normalmente estremamente complesso sia dal punto di vista teorico che computazionale), riconducendolo alla soluzione di un sistema di n equazioni in n incognite, essendo n il numero di corpi che partecipano al fenomeno.

Supponendo che, in condizioni di regime stazionario, per ogni corpo valgano le seguenti ipotesi: · temperatura costante; · proprietà radiative uniformi; · emissione perfettamente diffusa; applicando la definizione di radiosità tra 2 corpi, si ottiene: A, . G = A, . E, +r1 . A2 . F21 . G2 che generalizzata per n corpi: A, . G, = A, . E, +r, . ZA, . Fii . G; (16) j=1 n in cui sono presenti n incognite che sono gli n valori di radiosità dei corpi.

Se si applica la definizione a tutti gli altri corpi, si ottiene un sistema di n equazioni in n incognite, che consente di determinare la radiosità di ogni corpo coinvolto nel fenomeno. Procedendo poi con un bilancio energetico tra l'energia complessivamente emessa (primo termine del secondo membro della (14)) da un corpo e quella complessivamente ricevuta da un secondo corpo (secondo termine del secondo membro della (14)), si può calcolare il flusso termico scambiato tra due corpi come: q; = A . G1 - A2 . F21 . G2 Che generalizzata allo scambio di un corpo i con n corpi: q; = A, . G,(1 - FR) - ZA, . Fyj . G; j=1 n (17)

Considerando un sistema costituito da 3 corpi grigi (fig. 4) che rispettano le ipotesi operative precedentemente elencate e applicando quanto esposto, si ottiene un sistema di 3 equazioni in 3 incognite: A, . G1 = A, . a1 . 0 0 . T4 + r1 . (A, . F.I . G1 + A2 . F21 . G2 + 43 . F31 . G3 ) A2·G2 = A2.ª200 ·T2+12.(A1 · F12 ·G1 + A2 . F2 · G2 + A3 . F32 . G3) A3 . G3 = A3 . a3 . 00 . T3 + 13 . (43 . F13 . G1 + 42 . F23 . G2 + 43 . F33 . G3) (18)

Risolvendo il sistema e, quindi, noti i valori di G1, G2 e G3 è possibile calcolare il flusso termico scambiato da un corpo verso gli altri. Ad esempio, supponendo che sia T1>T2>T3, il flusso trasmesso per irraggiamento dal corpo 1 verso i corpi 2 e 3 sarà: q1-2,3 = A . G1 . (1- F11)-(42 . F21 . G2 + 43 . F31 . G3 ) (19)

3 2 1 Fig.4: Esempio del metodo della radiosità per un sistema costituito da 3 corpi grigi

Piani paralleli affacciati

Alla disposizione geometrica di piani paralleli affacciati sono riconducibili quelle situazioni in cui lo scambio termico avviene esclusivamente per irraggiamento ed unicamente tra i due corpi in oggetto, come ad esempio quando si ha scambio radiativo fra la volta celeste e la superficie terrestre o fra le pareti affacciate due edifici nelle strette strade di città.

Le ipotesi che devono essere verificate sono le seguenti: · piani sufficientemente estesi da poter considerare trascurabili i fenomeni di bordo; · regime stazionario; · temperatura superficiale del piano 1 uniforme; · temperatura superficiale del piano 2 uniforme; · proprietà radiative dei corpi uniformi; · corpi grigi e opachi; · superfici perfettamente diffondenti; · il mezzo interposto non partecipa allo scambio di calore per irraggiamento.

L'energia raggiante emessa dal pian0 1 incide interamente sul piano 2 e subisce una serie di assorbimenti e riflessioni in funzione dei coefficienti caratteristici di assorbimento e riflessione (fig. 5). Dopo n riflessioni, il corpo 2 avrà dunque assorbito la quantità: q2 = a2 . E1 + a2 . 11 . 12 . E1 + a2 . (r1 . 12)2 . E1 + ... + a2 . (r1 . 12)" . E. (20)

Analogamente, il corpo 1, dopo n riflessioni avrà dunque assorbito parte dell'energia raggiante emessa dal corpo 2: q1 = a, . E2 + a, .12 . 11 . E2 + a, . (r2 . 11)2 . E2 + ... + al . (12 . 11)" . E2 (21)

La (20) e la (21) sono serie geometriche di ragione rir2 < 1, le cui somme sono pari a: q2 = a2 . E . 1 1-11.12 (22) q 1 = a 1 E 2 1 1-11.12 (23)

E1 1 2 a2E1 r2E1 rir2E1 azr1r2E1 Fig.5: Scambio termico per irraggiamento tra piani paralleli affacciati: energia emessa dal corpo 1

Il flusso termico q scambiato per unità di superficie tra i due piani affacciati è pari alla differenza q = q1 - q2: q = q1 -q2 = a2 . E1 1 1-11 . 12 -a . E2 . 1 1-11 . 12 = a2 . E1 - a . E2 1-11.12 (24)

Ricordando che, per definizione, E è l'integrale tra 0 e o di ¿, e che & = a · £o, nell'ipotesi di corpi grigi, essendo a costante al variare di 2, si ottiene: E = a E. (25) e, per la legge di Stefan-Boltzmann, si può pertanto scrivere: E, = a, . 00 · T,4 (26) E2 = a2 . 00 . T2 (27)

Nell'ipotesi di corpi opachi, inoltre, t = 0 e dunque r = 1 - a. Tutto ciò considerato, moltiplicando per la superficie A, attraverso gli opportuni passaggi matematici, si ottiene: q = A . O . (T,4-T24) -+ -- 1 1 1 1 1 a2 (28) a che, nel caso di corpi neri, diviene: q(n) = A. 00 . (T,4 -T24) (29)

Nel caso in cui una superficie A scambi con l'ambiente circostante generico molto più grande della superficie A, questo si può considerare come un corpo nero (a2 =1) e pertanto il flusso termico scambiato dalla superficie, in base alla equazione 28, diventa: q(n) = a, A . 00 . (T4 -Tamb)