Elementi di Teoria degli Insiemi: concetti fondamentali e notazioni

Università degli Studi di Palermo

Scuola Politecnica

Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche

Appunti del corso di Matematica 01 - Elementi di Teoria degli Insiemi Anno Accademico 2015/2016 M. Tumminello, A. Pecorella, V. Lacagnina, D. Provenzano, A. Consiglio

1. Introduzione

Il concetto di insieme è un concetto primitivo, ossia che non può essere definito mediante altri concetti più semplici. Talvolta capita di dire o ascoltare frasi quali: "l'insieme delle vocali", "l'insieme dei numeri pari", "l'insieme delle matricole della Facoltà di Economia dell'Università degli Studi di Palermo". In altri termini, nell'uso comune, trova posto la parola insieme con il significato di collezione di oggetti di qualsiasi natura ed aventi una o piú caratter- istiche in comune. Come concetto matematico l'insieme continuerá ad avere lo stesso significato. Di solito, per indicare gli insiemi, si utilizzano le lettere maiuscole dell'alfabeto: A, B, C, ... Un insieme è formato da elementi; esiste un particolare insieme privo di elementi detto insieme vuoto e indicato con il simbolo Ø. An- che i concetti di elemento e insieme vuoto sono concetti primitivi. Gli elementi di un insieme si indicano con le lettere minuscole: a, b, c, ... Se a è un elemento dell'insieme A, si scrive: a E A e si dice che a appartiene all'insieme A. Se a non è un elemento di A, si scrive a¢ A e si dice che a non appartiene all'insieme A. Gli elementi possono essere rappresentati graficamente tramite i cosiddetti diagrammi di Eulero- Venn.

Esempio 1.1

a c b d 2 1 d f A c B e C 3 Un altro modo per rappresentare gli insiemi è la cosiddetta rappresen- tazione tabulare in cui vengono elencati tutti gli elementi dell'insieme: A = {a, b, c, d} B = {2,4,6, ... }. È bene evidenziare che gli elementi di un insieme sono distinti fra loro e che l'ordine con cui si elencano è ininfluente. M. Tumminello, A. Pecorella, V. Lacagnina, A. Consiglio 3 . . .

2. Notazione: quantificatore esistenziale e universale

Non è corretto, per esempio, scrivere A = {1,7,5, 7} perché il 7 com- pare due volte. In relazione all'ordine con cui si descrivono gli elementi di un insieme si ha: A = {1,5,7} = {1,7,5} = {5,1,7} = {5,7,1} = {7,1,5} = {7,5,1}. Un ulteriore modo alternativo per descrivere un insieme A è, quando possibile, quello di scegliere un insieme "noto" che contiene A ed indi- viduare gli elementi specificando una o più condizioni caratterizzanti.

Esempio 1.2

L'insieme C = {0,1, ... , 9} potrebbe rappresentarsi scrivendo: C = {x EN : 0 ≤x≤9}

Esempio 1.3

L'insieme D = {1,3,5, ... } dei numeri naturali dispari può rappresentarsi scrivendo: D={xEN : x=2k+1, k EN} 2. Notazione: quantificatore esistenziale e universale Il simbolo "3" si legge "esiste" e viene usato spesso per ragioni di sintesi e precisione. Per esempio, la seguente espressione: 3 x E A t.c. ... si legge: "Esiste almeno un elemento x in A tale che1 ... ” Questa seconda scrittura, che differisce dalla precedente soltanto per l'introduzione del punto esclamativo: 3 ! x E A t.c. ... si legge: "Esiste ed è unico l'elemento x in A tale che ... " Invece l'espressione: Vx E A : ... si legge: "Per ogni elemento x di A risulta ... " I simboli "3" e "V" si chiamano rispettivamente quantificatore esisten- ziale e quantificatore universale. 1in sostituzione di "t.c." si utilizza spesso il simbolo " : ", o anche " / " M. Tumminello, A. Pecorella, V. Lacagnina, A. Consiglio 4

3. Relazioni di inclusione tra insiemi

Diciamo che due insiemi A e B sono uguali se hanno gli stessi elementi (l'ordine non ha importanza) e si scrive A= B In caso contratio gli insiemi A e B si dicono diversi e si scrive A + B Si dice che l'insieme A è un sottoinsieme dell'insieme B se ogni elemento di A è anche elemento di B. In tal caso si dice che A è incluso in B (oppure che A è contenuto in B) e si scrive ACB Graficamente B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ACB In pratica, tutti gli insiemi sono considerati sottoinsiemi di un insieme U # Ø, noto anche come insieme universo. In probabilità questo insieme è di solito indicato con 22 e rappresenta l'evento certo. Nel caso in cui si considerino soltanto sottoinsiemi A diversi da B (come nella figura precedente), si scrive anche ACB e si legge "A è contenuto propriamente in B". In sostanza, affinché si possa dire che "A è contenuto propriamente in B" deve succedere che (i) tutti gli elementi di A appartengano anche a B e (ii) che esista almeno un elemento di B che non appartiene ad A. Da quanto detto può dedursi che per dimostrare che A = B è possibile applicare il principio di doppia inclusione: ACBe BCA . La scrittura A¢ B si legge "A non è contenuto in B ", ossia esiste almeno un elemento dell'insieme A che non sta in B.

Esempio 3.1

Sia A = {3,5,7} e B = {0,2,3,5} allora A ¢ B perchè 7 € A e 7 ¢ B. M. Tumminello, A. Pecorella, V. Lacagnina, A. Consiglio 5 . . . A .3. Relazioni di inclusione tra insiemi Per convenzione si assume che l'insieme vuoto sia contenuto in ogni insieme: ØCA e si dice che A è un sottoinsieme proprio di B se (i) A + Ø e (ii) A + B. Dalla definizione di inclusione risulta evidente che ACA ossia, qualunque insieme A è sottoinsieme di se stesso. Di particolare importanza per la matematica sono i cosiddetti insiemi numerici. Indichiamo con N: l'insieme dei numeri naturali {1,2,3, ... }; Z: l'insieme dei numeri interi { ... , -2, -1, 0.1, 2, ... }; Q: l'insieme dei numeri razionali {: a,bEZ,b#0}; R: l'insieme dei numeri reali; C: l'insieme dei numeri complessi. Un'importante proprietà dell'inclusione è la proprietà transitiva per cui se A C B e B C C, allora A C C. Inoltre, se ACB e BCA, allora A= B Un insieme molto importante, soprattutto in calcolo delle probabilità, è l'insieme delle parti di A, che si indica con P(A), ed è definito come l'insieme formato da tutti i sottoinsiemi di A.

Esempio 3.2

Dato l'insieme A = {1,2,3}, l'insieme delle parti è P(A) = {ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3} } Nota bene. È importante non confondere il simbolo 1 con il sim- bolo {1}: il primo rappresenta l'elemento di A, il secondo rappre- senta l'insieme formato dal solo elemento 1. Nello specifico: 1 € A, {1} C A e {1} € P(A). Si definisce cardinalità di un insieme finito il numero dei suoi elementi e si indica con |A| o card(A). È possibile dimostrare che il numero di elementi dell'insieme delle parti è |P(A)] = 2|4| M. Tumminello, A. Pecorella, V. Lacagnina, A. Consiglio 6

Esercizio 3.1

1. Scrivere in forma tabellare i seguenti insiemi A = {n EN : n < 10} B = {n EN : n ≥2,n <12} C= {nEN : n <0} D= {x EZ : - 2 ≤x≤7}
2. Determinare l'insieme delle parti dei seguenti insiemi A = {a, b, c} B= {0, {1,a} } C = {n EN : n è un numero primo < 5}

4. Operazioni con gli insiemi

Siano A e B due insiemi. Si chiama intersezione fra i due insiemi A e B, e si indica con An B, il seguente insieme: AnB = {x : xEA e xeB} Due insiemi A e B si dicono disgiunti se An B = Ø. Si osservi che se A C B, allora An B = A. Si definisce unione fra i due insiemi A e B, e si indica con A U B, il seguente insieme AUB = {x : xE A oppure xe B} Si osservi che se A C B, allora AU B = B.

Esempio 4.1

Sia A = {c, 3,1,8} e B = {2,3,1,d, c, 9}. Risulta: AnB= {1,c} ; AUB = {3,1,8,2,3,d, c, 9}. Visivamente, con i diagrammi di Eulero-Venn, si ha d 2 β 1 ε A B 9 3 c L'unione e l'intersezione di due o più insiemi godono di varie proprietà. Le più importanti sono

• Proprietà associativa dell'unione e dell'intersezione (AnB) nc= An (BnC), (AUB) UC = AU(BUC) M. Tumminello, A. Pecorella, V. Lacagnina, A. Consiglio 7

4. Operazioni con gli insiemi

• Proprietà commutativa dell'unione e dell'intersezione AnB = BNA, AUB = BUA
• Proprietà di idempotenza ANA = A AUA = A
• Proprietà distributiva dell'unione rispetto l'intersezione (AnB) UC = (AUC) n(BUC)
• Proprietà distributiva dell'intersezione rispetto l'unione (AUB) nC = (AnC) U(BnC) Sia 22 l'insieme universo, si definisce insieme complementare, e si indica con Ac, l'insieme: Ac = {x € Q : x ¢ A} Attraverso i diagrammi di Eulero-Venn l'insieme complementare si rap- presenta nel modo seguente: Ω Ac . A Il rettangolo rappresenta l'insieme universo 22. Valgono alcune interessanti proprietà:
• (Ac)c = A
• AU Ac = 2 (principio del terzo escluso)
• An Ac = Ø (principio di non contraddizione) Dal punto di vista logico, se l'insieme A rappresenta un attributo (l'insieme dei numeri pari), il principio di non contraddizione permette di escludere che il medesimo attributo e la sua negazione appartengano allo stesso oggetto (non esiste un numero che sia pari e dispari allo stesso tempo. Il numero 0 è pari in quanto 2 · 0 = 0). Un'altra operazione tra insiemi molto usata è la differenza. Dati due insiemi A e B si definisce insieme differenza tra A e B, e si indica con A \ B, l'insieme AB = {x : xE Aex ¢B}. Alternativamente possiamo scrivere che A \B = (AnB)A, dove il simbolo (.)4 indica il complementare dell'insieme in parentesi nell'insieme A. 8 M. Tumminello, A. Pecorella, V. Lacagnina, A. Consiglio

5. Il prodotto cartesiano

Una coppia ordinata è un insieme di due elementi in cui si tiene conto dell'ordine con il quale si prendono gli elementi dell'insieme. Una coppia ordinata si denota con (a, b). Quindi {a,b} = {b, a}, mentre (a, b) + (b,a) Dati due insiemi A e B, si definisce prodotto cartesiano fra A e B (in simboli A x B) l'insieme delle coppie ordinate (a, b) con a € A e b € B: Ax B = {(a,b) : a € A e bE B} Se A = B, si è soliti scrivere A2 invece di A x A. Si osservi che, in generale, A x B + B x A.

Esempio 5.1

Siano due insiemi A = {f, g} e B = {", ~}. Si ha che Ax B= {(f,"), (f,"), (g,"),(g,")} BxA= {(~,f),(~,g), (, f), (~, g)}

Esempio 5.2

Dato l'insieme A = {2,3,4}, si ha che A2= {(2,2), (2,3), (2,4), (3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3), (4,4)} Da un punto di vista grafico, se riportiamo l'insieme A su due assi perpendicolari che si intersecano in (0, 0), A2 è dato dai punti nel piano di coordinate (x, y). Se l'insieme è R - l'insieme dei numeri reali - e rappresentiamo R tramite una retta orientata, allora R2 è l'insieme delle coppie ordinate (x, y) dove x € X (asse delle ascisse) e y € Y (asse delle ordinate). Geometricamente, il prodotto cartesiano R3 rappresenta lo spazio. Il prodotto cartesiano Z2 è un sottoinsieme proprio di IR2, Z2 c R2, e si può rappresentare tramite una griglia di punti M. Tumminello, A. Pecorella, V. Lacagnina, A. Consiglio 9