Teoria degli insiemi: concetti fondamentali, notazioni e operazioni

Università San Raffaele Roma

Università San Raffaele Roma www.unisanraffaele.gov.it Professore Veronica Redaelli Argomento Teoria degli insiemiT

Sommario della Teoria degli Insiemi

Università San Raffaele Roma Veronica Redaelli Sommario V

• Definizione di insieme
• Notazione
• Rappresentazione
• Principali relazioni
• Principali operazioni

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Definizione di Insieme

Università San Raffaele Roma Veronica Redaelli Definizione Un INSIEME è una collezione di oggetti determinati e distinti, della nostra percezione o del nostro pensiero, concepiti come un tutto unico; tali oggetti si dicono elementi dell'insieme Georg Cantor (1845-1918) Matematico tedesco Teoria degli insiemi 3 di 18T

Notazione degli Insiemi

Università San Raffaele Roma Veronica Redaelli Notazione

• INSIEMI : lettere maiuscole A, B, X, N, Z, ...
• ELEMENTI : lettere minuscole a, b, n, h, e, .....

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Notazione Simbolica

Università San Raffaele Roma Veronica Redaelli Notazione

• Appartiene: € esempio: a € A
• Non appartiene : esempio: a ¢ A
• Insieme vuoto : Æ privo di elementi
• Insieme universo: U contiene tutti gli altri insiemi

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Notazione Logica

Università San Raffaele Roma Veronica Redaelli Notazione

• Per ogni elemento ... :
• Esiste almeno un elemento che ... : $
• Congiunzione 'e' : A
• Disgiunzione 'o' : V
• Implicazione 'se ... allora ... : Þ

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Rappresentazione: Diagramma Eulero-Venn

Università San Raffaele Roma Veronica Redaelli Rappresentazione Diagramma Eulero-Venn: F · a .1 · b · f p ... · u F (insieme frutta) l (elemento latte) Teoria degli insiemi 7 di 18T

Rappresentazione: Elencazione degli Elementi

Università San Raffaele Roma Veronica Redaelli Rappresentazione Elencazione degli elementi: F = { p, m, u, a, b, ..... } F (insieme frutta) 1 ¢ F Ma ... quando il numero degli elementi è elevato? E se è 00 ? ? Teoria degli insiemi 8 di 18T

Rappresentazione: Proprietà Caratteristica

Università San Raffaele Roma Veronica Redaelli Rappresentazione

• In base ad una proprietà caratteristica: F (insieme frutta) F = { x | x è un frutto} S = { x | x è uno studente del primo anno} S (insieme studenti del I anno)

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Relazioni tra Insiemi: Uguaglianza

Università San Raffaele Roma Veronica Redaelli Relazioni tra insiemi

• UGUAGLIANZA : A = B se ogni elemento dell'uno è anche elemento dell'altro es. A = { a | a è un triangolo con tutti i lati uguali} B = { b | b è un triangolo con tutti gli angoli uguali} VacA =>aEB A VbEB =>beA

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Relazioni tra Insiemi: Inclusione

Università San Raffaele Roma Veronica Redaelli Relazioni tra insiemi

• INCLUSIONE: ACB A è SOTTOINSIEME PROPRIO di B (appartiene a ... ) se ogni elemento di A è anche elemento di B VacA =>aEB Se A = B : sottoinsieme improprio A c B

· a B · b f · p . C · u n · m A Teoria degli insiemi 11 di 18T

Esempio: Insiemi Numerici

Università San Raffaele Roma Veronica Redaelli Esempio: gli insiemi numerici

• N = { 0,1,2,3, ... } numeri naturali
• Z= { ... ,-3,-2,-1,0,1,2,3, ... } numeri interi
• Q = {a/b | a,beZ _ b0 } numeri razionali Q Z N

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Operazioni tra Insiemi: Intersezione

Università San Raffaele Roma Veronica Redaelli Operazioni tra insiemi

• INTERSEZIONE : AOB elementi che appartengono sia ad A che a B I = A O F = {x | xEA ^ XEF }

· b · f a · p · u A :0 1 · d · C I (frutta essiccata) F A (alimenti essiccati) F (frutta) Teoria degli insiemi 13 di 18T

Operazioni tra Insiemi: Unione

Università San Raffaele Roma Veronica Redaelli Operazioni tra insiemi

• UNIONE : AU B elementi che appartengono o ad A o a B T = AUF = {x | xEA vxEF } F A

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Esempio: Insiemi Numerici Reali

Università San Raffaele Roma Veronica Redaelli Esempio: gli insiemi numerici

• R=QUI numeri reali I : insieme dei numeri irrazionali ( es. Tt, V2 ) R 1 . Q Z N 1 . . .

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Proprietà delle Operazioni tra Insiemi

Università San Raffaele Roma Veronica Redaelli Alcune proprietà :

Proprietà di Intersezione e Unione

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Proprietà	Intersezione	Unione
Commutativa	AnB=BOA	AUB = BUA
Associativa	An(BnC) =(AnB)nC	AU(BuC) =(AUB) UC
Insieme vuoto e insieme universo	And = ¢ AnU = A	AUØ = A AUU = U

Riassunto della Teoria degli Insiemi

Università San Raffaele Roma Veronica Redaelli Riassumendo

• Definizione di insieme
• Notazione
• Rappresentazione
• Principali relazioni
• Principali operazioni

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Università San Raffaele Roma Veronica Redaelli

• .
• .
• N
• E
• .
• -
• .
• .

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