Punti di particolarità degli insiemi numerici, Università eCampus

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS

Corso di Laurea e Insegnamento

R.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: ECONOMIA E COMMERCIO 2010 METODI MATEMATICI 4 PUNTI PARTICOLARITA' DEGLI INSIEMI NUMERICI 1 A Facoltà di Economia Attività 1 - lezione CAP 4 4 - PROPRIETA' DEGLI INSIEMI c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.itR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: ECONOMIA E COMMERCIO 2010 METODI MATEMATICI 4 1 PUNTI PARTICOLARITA' DEGLI INSIEMI NUMERICI A Facoltà di Economia

Punti particolari degli insiemi

4 - 1 PUNTI PARTICOLARI DEGLI INSIEMI È naturale chiedersi come riconoscere i punti che fanno parte di un sottoinsieme e quali punti invece stanno fuori da esso. La questione si fa più sottile se si pensa a insiemi che hanno un bordo, o per meglio dire una frontiera E' naturale chiedersi se i punti che stanno su questa frontiera siano da considerarsi interni o esterni, o magari se vadano classificati come un genere completamente a se stante. Approfondiremo quindi le singole definizioni. c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it∃ Sia - R.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: ECONOMIA E COMMERCIO 2010 METODI MATEMATICI 4 1 PUNTI PARTICOLARITA' DEGLI INSIEMI NUMERICI . . : Facoltà di Economia

Punti interni

4-1-1 Punti interni . Siano x0 ER e ECR Xo si dice punto interno ad E se esiste almeno un intorno completo tutto contenuto in E. In simboli F& E R+tale .. che .. B(x), &) CE Attenzione, è sufficiente che questa proprietà sia verificata da un solo specifico intorno completo, non da qualunque intorno completo c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it AR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: ECONOMIA E COMMERCIO 2010 METODI MATEMATICI 4 1 PUNTI PARTICOLARITA' DEGLI INSIEMI NUMERICI Facoltà di Economia

Punti esterni

5-1-2 Punti esterni Siano x ER e ECR Xo si dice punto esterno ad E se esiste almeno un intorno completo tutto contenuto nel complementare di E, cioè privo di intersezioni con E. In simboli F&E R+tale .. che .. B(x0,&) CE c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it AR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: ECONOMIA E COMMERCIO 2010 METODI MATEMATICI 4 1 PUNTI PARTICOLARITA' DEGLI INSIEMI NUMERICI Facoltà di Economia

Punti di frontiera

4-1-3 Punti di frontiera Siano XER e ECR Xo si dice punto di frontiera dell'insieme E se ogni suo intorno completo contiene almeno u n punto di E ed un punto del complementare di E. In simboli F&E R+tale .. che .. B(x),&) CEc c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it AR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: ECONOMIA E COMMERCIO 2010 METODI MATEMATICI 4 1 PUNTI PARTICOLARITA' DEGLI INSIEMI NUMERICI Facoltà di Economia

Punti di accumulazione

4-1-4 Punti di accumulazione Siano X ER e ECR Xo si dice punto accumulazione dell'insieme E se comunque scelto un intorno completo B(x), €), risulta che B(x0,8)) contiene almeno un punto che non sia Xo In simboli VEER Ex E B(x0, E)tale.che .. x # x0 Attenzione: questa proprietà deve valere per ogni intorno! c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it AR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: ECONOMIA E COMMERCIO 2010 METODI MATEMATICI 4 1 PUNTI PARTICOLARITA' DEGLI INSIEMI NUMERICI A Facoltà di Economia

Insieme aperto e chiuso

Concetto di insieme aperto

4 - 2 INSIEME APERTO- INSIEME CHIUSO Il concetto di insieme aperto si trova in molti ambiti e con diversi gradi di generalità. Intuitivamente, un insieme è aperto se è possibile spostarsi sufficientemente poco in ogni direzione a partire da ogni punto dell'insieme senza uscire dall'insieme stesso. c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it∃ Sia - R.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: ECONOMIA E COMMERCIO 2010 METODI MATEMATICI 4 1 PUNTI PARTICOLARITA' DEGLI INSIEMI NUMERICI . . : Facoltà di Economia

Definizione di insieme aperto

4-2-1 Insieme Aperto . Siano x ER e ECR L'intervallo E si dirà aperto quando tutti i suoi punti sono punti interni, cioè se per ogni punto appartenente d E esiste almeno un intorno del punto che appartiene ad E. Xo si dice punto interno ad E se esiste almeno un intorno completo tutto contenuto in E. In simboli VxEE& E R+tale .. che .. B(x),&) CE c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it AR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: ECONOMIA E COMMERCIO 2010 METODI MATEMATICI 4 1 PUNTI PARTICOLARITA' DEGLI INSIEMI NUMERICI A Facoltà di Economia

Definizione di insieme chiuso

4-2-2 Insieme chiuso Un insieme si dice "chiuso" se tutti i punti di accumulazione di E appartengono ad E. Indicheremo l'intervallo "aperto" col simbolo (a,b) usando parentesi tonde intendendolo "privato degli estremi". Analogamente indicheremo l'intervallo "chiuso" usando parentesi quadre [a, b] per indicare "estremi inclusi") Si potrebbe dimostrare il seguente Teorema: un sottoinsieme di R è chiuso se e solo se il suo complementare è aperto c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.itR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: ECONOMIA E COMMERCIO 2010 METODI MATEMATICI 4/S1 PUNTI PARTICOLARITA' DEGLI INSIEMI NUMERICI 1 Facoltà di Economia

Approfondimento: Insieme dei numeri razionali Q

Caratteristiche dell'insieme Q

Attività 2 - approfondimento L'insieme dei numeri razionali Q A fronte di tutte le definizioni introdotte si può dimostrare che il particolare insieme Q dei numeri razionali non ha né punti interni, né punti esterni. Tutti si numeri reali sono punti di frontiera per Q c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it TAR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: ECONOMIA E COMMERCIO 2010 METODI MATEMATICI 4/S1 PUNTI PARTICOLARITA' DEGLI INSIEMI NUMERICI 1 Facoltà di Economia

Discontinuità dei numeri razionali

Infatti, i numeri razionali si dispongono sull'asse reale in modo 'discontinuo' cioè tra due qualsiasi punti dell'asse reale, cadono infiniti punti ad ascissa irrazionale e infiniti punti ad ascissa razionale. Ad es. V2 =1,414213562 .. È un numero decimale illimitato non periodico, cioè ha infinite cifre decimali che non si ripetono mai, come tutti i numeri irrazionali. c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it TAR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: ECONOMIA E COMMERCIO 2010 METODI MATEMATICI 4/S1 PUNTI PARTICOLARITA' DEGLI INSIEMI NUMERICI 1 Facoltà di Economia

Approssimazione e punti interni di Q

Pertanto non potrà mai essere scritto sotto forma di frazione. Ma possiamo approssimarlo 'fermandoci' ad un numero sempre maggiore di cifre decimali. Così avremo infiniti numeri decimali finiti ( e quindi razionali, cioè esprimibili con una frazione) che gli si avvicinano sempre di più, per eccesso o per difetto. Non riusciremo però mai a trovare un intorno di un suo punto che contenga solo punti di Q. Pertanto nessun punto dell'insieme Q è "interno" a Q, c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.it TAR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: ECONOMIA E COMMERCIO 2010 METODI MATEMATICI 4/S1 PUNTI PARTICOLARITA' DEGLI INSIEMI NUMERICI 1 TA Facoltà di Economia

Punti esterni e di frontiera per Q

Analogamente non ha punti esterni. Esaminando il campo dei reali ( razionali+ irrazionali) possiamo quindi affermare che tutti i numeri reali sono di frontiera per Q. c 2007 - 2014 Università degli Studi eCampus - Via Isimbardi 10 - 22060 Novedrate (Co) - C.F. 90027520130 - Tel: 031.7942500 - Fax: 031.792631 - Mail: info@uniecampus.itR.E. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI eCAMPUS Corso di Laurea: Insegnamento: Lezione nº: Titolo: Attività nº: ECONOMIA E COMMERCIO 2010 METODI MATEMATICI 4/S2 PUNTI PARTICOLARITA' DEGLI INSIEMI NUMERICI 1 Facoltà di Economia

Esercitazione

Domande sull'insieme E

Attività 3 - esecitazione Esercitazione

1. Dato l'insieme E= (2,4) il numero 3 è interno ad E?
2. Dato l'insieme E = [1,2] i numeri 1 e 2 sono interni ad E?
3. L'insieme E= [5,6] ha punti esterni?
4. (-0, +00) ha punti esterni?
5. Quali sono i punti di frontiera dell'insieme E ? E=(x ERtale .. che .. x ≤9)

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Soluzioni degli esercizi

soluzioni

1. Per stabilire se il punto 3 è interno ad E , seguendo la definizione dobbiamo trovare un intorno completo di 3 tale da essere tutto contenuto in E. Assumendo == 1/2 ( ad esempio) tutto l'intorno di 3 è contenuto in E. Quindi 3 è un punto interno.
2. In questo caso E è un intervallo che comprende i suoi estremi. In 1, ricordando la natura simmetrica degli intorni, è facile capire come la metà sinistra dell'intorno completo cadrà sempre fuori dall'insieme. Analogamente in 2 con la metà destra. Quindi 1 e 2 non sono punti interni ad E.

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