La parabola: definizione, equazioni e proprietà in Matematica

La parabola

La parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto detto fuoco e da una retta detta direttrice. In questa scheda saranno prese in esame la parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y e quella con asse di simmetria parallelo all'asse x.

Parabola con asse parallelo all'asse y

Equazione generica

y = ax2 + bx + c Se a>O la concavità è verso l'alto y O x Se a

Coordinate del vertice

v(-20- ª) 2a' Dove A = b2 -4 · a · c

Coordinate del fuoco

F b 1-4 2a' 4a

Equazione della direttrice

1+△ y =- 4a

Equazione dell'asse di simmetria

x =- b 2a Se c=0, la parabola passa per l'origine y = ax2 + bx Se b=0, la parabola ha vertice e fuoco sull'asse y y = ax2 + c Se b=c=0, la parabola ha il vertice nell'origine e fuoco sull'asse y y = ax2

Parabola con asse parallelo all'asse x

Equazione generica

x=ay2 + by + c Se a>O la concavità è verso destra y O x Se a

Coordinate del vertice

v(-A-b) 4a' 2a Dove A = b2 - 4 · a · c

Coordinate del fuoco

F 1-4. _ b 4a ' 2a

Equazione della direttrice

1+4 x =-- 4a

Equazione dell'asse di simmetria

y =- b 2a Se c=0, la parabola passa per l'origine x = ay2 + by Se b=0, la parabola ha vertice e fuoco sull'asse x x=ay- + c Se b=c=0, la parabola ha il vertice nell'origine e fuoco sull'asse x x = ay2 1,2 x Nell'equazione della parabola con asse parallelo all'asse x, si trova la x al posto della y e viceversa, mentre le coordinate dei punti principali sono invertite. Le regole e i procedimenti sono uguali per entrambe.

Come tracciare il grafico della parabola

Per tracciare il grafico della parabola, occorre determinare:

1. Le coordinate del vertice
2. La concavità
3. Le intersezioni con gli assi o, in alternativa, alcuni dei suoi punti col metodo della tabella (già usato per la retta)

Metodo 1 (Intersezioni)

y=x2-3x+2 Si determinano subito le coordinate del vertice. Come si vede facilmente Si ha: 4=9-8=1 V(-2-Aa) >V(3 ;- ) Essa ha l'asse parallelo all'asse y e la concavità rivolta verso l'alto (a>0). Le sue intersezioni con gli assi si trovano mettendo a sistema l'equazione, prima con l'asse y e poi con l'asse x (o viceversa) Intersezione con asse y (x =0) _y= x2-3x +2 1x=0 Jy=+2 1x=0 A(0;2) Intersezione con asse x (y=0) y=x2-3x+2 1 x2-3x+2=0 y=0 y= 0 X1, x2 = 3+1 2 - X1, x2 = ly= 0 3±V9-8 2 1 y = 0 x =3-1-7 N B [y=0 ->C ly= 0 x= 3+1 == 2 Zł B(1;0) C(2;0) A questo punto si riportano sul grafico i valori trovati tracciando prima il vertice, poi l'asse di simmetria e infine le intersezioni con gli assi. y Asse 3 × X = 2 A 1 Fuoco IF x B C .V. 1 Vertice y = - 2 Direttrice Si possono anche determinare le coordinate del fuoco e le equazioni di asse e direttrice ma non sono determinanti ai fini del disegno F(-b1-A) > F(2:0) 2a' 4a y =- 1+A >y= 4a 1 2 x = b 2a 3 2

Come tracciare il grafico della parabola, metodo 2 (tabella)

Come anticipato, si può tracciare il grafico della parabola anche evitando le intersezioni con gli assi cartesiani, utilizzando la tabella. Ecco un esempio È data la parabola y =- x2 + 4x + 2 Si trova, come prima, il vertice e si considera il segno della "a". In questo caso il segno è negativo e quindi la concavità è rivolta verso il basso A questo punto, anziché trovare le intersezioni con gli assi, si costruisce la tabella a fianco. In questa tabella, sono stati assegnati alla x dei valori a piacere e questi ultimi sono stati sostituiti nell'equazione della parabola trovando così i corrispondenti valori di y. Le coppie trovate non sono altro che punti della parabola che si riportano nel grafico. Una volta trovati i punti A,B e C, per fare ancor meglio il grafico, si possono trovare i loro simmetrici. Questi si trovano facilmente perché hanno stessa ordinata e sono equidistanti dall'asse di simmetria. Esempio B' ha stessa ordinata di B e, come il punto B, dista 1 unità dall'asse di simmetria come si può vedere dal grafico. Così pure si procede per i simmetrici di A e di C y V.(2;6) i 5 1 B B' A. A' 2 0 1 2 3 4 x CI -3 C' Il metodo della tabella è vantaggioso rispetto a quello dell'intersezione con gli assi perché, in alcuni casi, è più preciso. Infatti, se nell'equazione di secondo grado che scaturisce dal sistema, il delta non è un quadrato perfetto, la radice non si elimina e quindi si devono approssimare i valori che si ottengono come intersezioni con l'asse x. Potrebbe anche capitare che la parabola non intersechi l'asse x in nessun punto e, in quel caso, l'intersezione sarebbe poco indicativa e quindi meno utile. Con la tabella invece, questi rischi non si corrono A = b2 -4 . a .c=16+8=24 4 .. V(+2; +6) x y =- x2+4x+2 0 y =- 0+4.0+2=+2 1 y =- (1)2 +4.1+2=+5 -1 y =- (-1)2+4(-1) +2 =- 3 A(0;2) B(1;5) C(-1 ;- 3)

Intersezione tra retta e parabola

Per trovare i punti comuni tra retta e parabola, ovvero per trovare le loro intersezioni, basta mettere a sistema le loro equazioni e risolvere. Esempio. Trovare le intersezioni tra la parabola e la retta a fianco y=x-x-2 0 y=x-2 Per trovare le loro intersezioni, si mettono a sistema le loro equazioni. Risolto questo sistema, come si vede, si arriva alla determinazione delle coordinate dei punti di intersezione Nota importante In modo analogo si determinano le intersezioni tra 2 parabole, mettendo a sistema le loro equazioni y=x-x-2 y=x-2 - x-x-2=x-2 y=x-2 x-x-2-x+2=0 y=x-2 x -- 2x=0 -> y = x-2 1 x(x-2)=0 y=x-2 1 A x=0 y=x-2 y =- 2 -> x=0 A(0; - 2) B x-2=0 T {x=2 B(2;0) Graficamente, si rappresenta come a lato y=x-2 y=2-2=0 y Î B (2; 0) 0 x A(0; - 2) NOTA Nell'esercizio precedente, non c'è stato bisogno di calcolare il delta in quanto, l'equazione ottenuta, era incompleta. Come si può verificare, sono state trovate due soluzioni reali e distinte. Il delta però, spesso si deve calcolare ed è molto utile per capire qual è la posizione reciproca tra retta e parabola, come riepilogato nello schema che segue

Posizioni reciproche tra retta e parabola

Se 4>0 Parabola e retta sono secanti Si incontrano quindi in due punti o, in altre parole, hanno due punti in comune 0 Χ Se 4=0 Si hanno due soluzioni reali e coincidenti (in pratica una sola soluzione) Come si vedrà 4=0 È la cosiddetta CONDIZIONE DI TANGENZA Parabola e retta sono tangenti Si "toccano" in un solo punto o, in altre parole, hanno un punto in comune y $ χ 0 Se 4<0 Non si hanno soluzioni reali (nessuna soluzione) Parabola e retta sono esterne Non si incontrano mai 0 x N.B. In modo del tutto analogo si opera per determinare le posizioni reciproche tra due parabole o tra parabola e qualsiasi altro luogo geometrico o funzione 6

Come si determina l'equazione di una parabola

Si hanno due soluzioni reali e distinteCi sono due possibili tracce da seguire per determinare l'equazione della parabola. Una consiste nell'applicare la definizione, cosa possibile se sono noti fuoco e direttrice, l'altra consiste nell'applicare un sistema di tre equazioni in tre incognite che sono ovviamente la a, la b e la c, cioè i parametri dell'equazione generica. Le tre equazioni, come si vedrà, sono le condizioni poste dal problema

Determinazione della parabola in base alla definizione

Esempio. Determinare l'equazione della parabola con fuoco F(2 ;- 1) e direttrice y=1 F(2; - 1) -> y=1 -> Fuoco Direttrice Poiché la parabola è il luogo geometrico (insieme di punti) equidistanti da fuoco e direttrice, si assume P come punto generico P(x;y) -> Punto generico Si calcola ora la distanza di P dal fuoco F (regola della distanza tra due punti) PF= 1(x2-X1)2 + (y2 - y1)' PF= 1(x-2)2 +(y +1)2 PF = Vx2+4-4x + y2 +1+2y PF = Vx2 + y2 - 4x + 2y + 5 Poi si calcola la distanza tra P e la direttrice (PH). La direttrice è parallela all'asse x. Per trovare la sua distanza dal punto P, basta calcolare la distanza di P dal piede della perpendicolare condotta da P alla direttrice stessa (punto H). Quindi si fa la differenza (in valore assoluto) delle ordinate dei due punti. In alternativa si può calcolare la distanza PH con la formula della distanza tra due punti y P(x; y) H(x; 1) 0 x PH = |y - 1 Ora si uguagliano le due distanze e si risolve l'equazione che ne deriva, elevando ambo i membri al quadrato. Finiti i calcoli, si ordina rispetto ad y e si trova l'equazione della parabola Vx2 + y2 - 4x + 2y + 5 = y -1| 2 (Vx2 +y2 -4x+2y+5) = (y-1)2 x2 + / - 4x+2y +5= +1-2y 2y +2y =- x2+4x-5+1 4y =- x2 +4x-4 14 + y =- 1x2+x

Condizioni per determinare l'equazione della parabola

Come anticipato, se non si hanno fuoco e direttrice e non si ha la possibilità di trovarli in modo semplice, occorre impostare un sistema di tre equazioni in tre incognite che qui verrà indicato, per comodità, come "sistema principale". Le equazioni quindi, sono tante quante sono i parametri da determinare. Tali equazioni non sono altro che le condizioni imposte dal problema, mentre le incognite sono i parametri a, b e c della parabola. Trovati i valori di questi parametri, l'equazione sarà determinata. Ecco i vari tipi di condizioni che si possono trovare e i procedimenti da applicare

CASO NUMERO 1

y = ax2 + bx + c -> P(-2; + 3) Parabola passante per un punto assegnato (condizione di appartenenza di un punto alla parabola). Si sostituiscono le coordinate del punto nell'equazione generica della parabola Esempio Parabola con asse parallelo all'asse y passante per il punto P(-2;+3) 3= a(-2)2 + b(-2) + c 3= 4a-2b+c 4a-2b+c=3 Quest'ultima è una delle tre equazioni che si dovranno inserire nel sistema principale.

CASO NUMERO 2

Vertice assegnato Esempio Parabola con asse parallelo all'asse y e avente vertice nel punto V(-2 ;- 1) NOTA Come si vede, dal vertice si ottengono due condizioni utili per il sistema principale. Se, per esempio, il testo fornisse il vertice e un punto (caso precedente), questi due dati sarebbero sufficienti per determinare l'equazione della parabola perché da essi scaturiscono tre condizioni. N.B. In alcuni casi è nota solo l'ascissa o solo l'ordinata del vertice. In quel caso si uguaglia solo quella ed evidentemente la condizione non sarà doppia! V(-20 ;- Âa) > V(-2 ;- 1) Si uguagliano le coordinate del vertice generico a quelle del vertice assegnato b 2a 4 =- 2 -A =- 1 4a Queste sono due equazioni da inserire nel sistema principale (condizione doppia) Nota. Essendo V un punto della parabola, al posto della seconda condizione, si può fare la condizione di appartenenza del vertice alla parabola generica, evitando così di inserire nel sistema un'equazione di secondo grado, dovuta alla presenza del 4