Appunti di Matematica: Funzioni, Limiti e Concetti Correlati per l'Università

Funzione

· Essa è una corrispondenza che per ogni valore di XE DOM., associa un solo valore di 4 € DOM. - DO codominio? y=0 2ºº quad. 1 1° quad. y=x > X=0 3 quad. y = - X 4º quad.

Rette Fondamentali

• RETTE FONDAMENTALI ascisse pordinate
• asse Xe 4 D 4 = O e x = 0
• bisettrici - Đ 6 = x e y = - x
• rette generiche M= coeff. ff . aug . 9 = punto dove la retta interseca asse y
• oblique -> y = mx + q
• rette parallele - verticali ->x= W m1= W2- orizzontali > y = n
• rette perpendicolari m1= 1 U2

CONTINUA FOGLIO 9

Funzioni Base

1.1

• CUBICA 1 1 y=x3 2 D= VXEIR
• PARABOLA 1 1 y=ax+bx+C D = HXEIR O
• RADICE CUBICA · MODULO · iperbole equilatero 4= {x 1 4= [x] D= XEIR Y= x D= den. #0 D= VXEIR > > -
• iperbole allografica · LOGARITMO 1 ESPONENZIALE y= ax+b 4=lnx Cx+b DOM .: den. # 0 - TRIGONOMETRIChe i senx VXEIR COSX VXEIR = ex X -

Spiegazione Semplificata del Limite

--SPIEGAZIONE SEMPLIFICATA LIMITE · Indica "cosa succede" a una funzione, quando la variabile x si avvicina a un certo punto. Se il risultato che otteniamo è sempre vicino allo stesso numero, allora il lim I.

Teorema dell'Unicità del Limite

1.1 Teorema dell'Unicità afferma che non possono esserci 2 valori diversi per lo stesso limite! · Se lim f x= l; allora il lim. è mico X-DXO

Teorema dei Due Carabinieri del Confronto

1.2 Teorema dei 2 CARABINIERI del CONFRONTO · Se una funzione, f(x), è compresa fra altre 2 funzioni, g(x) e h(x), che hanno lo stesso limite, allora anche fx ha quel limite.·Sia gxx fx < hx Hx in un intorno Xo. · Se lim 9x = lim hx = l; allora 8x= l. X -DXO X-DXO XOXO

Derivate

2 DERIVATE · Si usa per calcolare la "pendenza" della retta tangente in un punto. · Esprime quanto la funz. Varia in quel punto. f (xoth)- 8(xo) J'(x0) = live h-DO h

Teorema di Fermat

Teorema di Fermat · Se un punto è un MAX./MIN., allora lì la L'è zero. · Sex è me estremo relativo e fé derivabile in xo, allora f'(x)=0

Teoremi di Rolle e Lagrange

2.2 Rolle e Lagrange · Afferma che per una funzione continua e derivabile in un intervallo chiuso, I un punto all'interno dell'intervallo dove l'è uguale alla pendenza della retta che congiunge i 2' estremi dell'intervallo. Cioè I un punto dove la retta tangente alla curva, è parallela alla retta secalle PI Xo 8 x fb r Ja + a to b ] = esiste almeno · Se f è continua in [a; b], e se è derivabile in (a; b) e f(a) = [Cb) · allora I un punto "€ (a;b), dove j' ( c) è zero.

Monotonia e Derivata

2.3 MONOTONIA e DERIVATA allora · Se j'(x) > 0 > fé crescente allora · Se f'(x) ≤0 => f è decrescente.

Regola di De l'Hopital

2.4 De l' Hopital · Serve per risolvere forme indeterminate calle 00 000 00. · Si deriva (num. e den.) fino a trovare una Soluzione · Se lim 8 x gx = % oppure 11 00 00 X-DXO e live f'x = L; allora live fx 8× X-DXO XOXO y x

Punto Stazionario e Classificazione

2.5 PT. STAZIONARIO puulo Xo dove j'(x0) = 0 CLASSIFICAZIONE MIN > O: Ree · Se fcmi (n) (xo) = 0 e . n pari ><O : Rel . MAX. · n dispari ->PT. sella · Punto dove la funz. non sale ne scende

Punto di Flesso

2.6 PT. di Flesso · È dove la curva cambia direzione di concavità. · f" (xo) = O e cambia segno intorno axo

Definizione Formale di Limite

Definizione formale limite Valore finito epsilon = quantità piccolissima · LIMITE: Se f (x) = L, allora VEJO, JE>O FINITO X-DXO 1 " del delta": è una variazione infinitesimale vuol dire "tale che" D : IS>0: fx-LKKE quando 0L/x-xok8 per ogni · LIMITE: INFINITO Se fx= = co ; allora HM>O X -DXO 7 un >>O: f(x)>M quando o</x-xokS · LiMiTe FINITO. . Se & x = L; allora VEJO, ALL'INFINITO X D:00 almeno un Kso : fx-LE quando |x|>K · LiM. INF. ALLINF: · Se 8 x= = 00; allora HM>o X DI00 IK>O: f(x)>M quando |x|>K

Concavità e Convessità

2.7 CONCAVITÀ/ CONVESsità se la curva · Se · Se P (x) >0 : fuß. convessa + guarda in alto x) < 0: fuz. concava » se la curva guarda in basso

Tipologie di Funzioni

3.1 Le 3 TIPOLOGIE

• INIETTIVA : allora Vx1#x2 = f(x1) + f (x2) . Se ogni elemento del CONDOMINIO è immagine di un solo elemento dell'insieme di partenza (DOM.) 4
• SURiETTIVA: VyE CODOMINIO, 3XEDOM .: fx=y · Tutti i possibili risultati devono essere raggiunti da qualche x.
• BIETTIVA: se è sia iniettiva che surietTiva · una f. biunivoca è sempre invertibile. . es : y = x + 1

Monotonia delle Funzioni

3.2 MONOTONIA · CRESCENTE: 1 Vx, cx, =f(x1) = f (x2) ·DECRESCENTE: Vx, <x2 => f(x1) > f (x2) · con "Strettamente" si toglie il ""di "> O<"

Limitazione delle Funzioni

3.2) LIMITAZIONE · LIMITATA SUPERIORMENTE ·Se ] una costante M: Vx€ (a,b) Si ha f(x) =M · LIMITATA : · Se ] una costante M= Vx€ (a,b) INFERIORMENTE si ha f(x)>M

Massimi e Minimi Assoluti

33 MAX. MIN. ASS . · MAX. ASS .: { Cxo) >, f(x) VXE DOM. · MIN.ASS .: f(x%) < f(x) VXE DOM.

Integrale Indefinito

4.1 INTEGRALE INDEFINITO (f(x) dx = F(x)+ C dove Fx = fx 1

Integrale Definito

4.2 INTEGRALE DEFINITO b S. f (x)dx=F(b) -F(a) · L'integrale rappresenta l'area algebrica sotto la curva tra x= ax= b 1

Funzioni Integrabili

4.3 categorie integrabili Funzioni 1 continue su [ab] 2) LIMITATE SU [a, b]

Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale

4,4 Teorema fondamentale calcolo juT · Se funzione è integrabile in [a; b], allora: x F(x) = f(+) dt è continua in/a,b/ a d dx ( Sx 8 (+) dt ) = f (x) a b Corolario del Teorema Fondamentale f(x) dx=F (b) - F(a) . 8= f Ja

Spiegazione Semplificata dell'Integrazione

SPIEGAZIONE SEMPLIFICATA ·Integrare significa sommare tanti "retTampoli" sotto una curva per Trovare l'area· L'int. indef. è la funzione primitiva, cioè l'originale da cui deriva f (x) primitive devivo (x) derivata D 8'(x ) integro · la costante +C c'è sempre perchè diverse funzioni possono avere le stesse costanti È impossibile trovare "C" con l'integrazione perciò si generaliza

Argomenti Aggiuntivi

5 = FUNZ. 2 VAR. 6 = TeoreMi SU FUNZ. CONTINUE 7= PT. CRITICI/ ESTREMI CLASSIFICAZIONE 8 = LIM. NOT., TAYLOR e MCLAURIN 9= TeoreMi FONDAMENTALI

Continuità in un Punto

6 CONTINUITÀ IN UN PUNTO <= > solo se · I è continua in Xo > lim f x = f xo X DXO · Una f. è continua in un punto se non fa salti lì.

Continuità a Destra e a Sinistra

6.1 CONTINUITÀ a dx e SX -¿ é continua da dx in x => lim fx= fxo X X e continua da SX in XE limfx=fxo X-DÃO · Serve se il gunTo è un estremo dell'intervallo

Teorema di Weierstrass

6.2 Teorema di Weierstrass min max m 7x1,x2€/a;b]:f(xm) {{x=f(xM) ·Se 8. è continua in [a;b] => ha sicuro PT. MAX e PT. MIN

Teorema di Darboux (Valori Intermedi)

6.3 Teorema di Darboux (valori intermedi) · Se f. è continua su [a; b), allora assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b) ES: se mua f. va da 2 a 7, allora passa per tutti i numeri tra 2 e 7, anche se in modo irregolare.

Teorema degli Zeri

6.4 Teorema deglizeri ·Se f. è continua in [a;b] e f(a);f(b)<0, allora Fc € (a,b) : { (c) = 0 · Se una f. continua cambia segno, deve attraversare lo zero.