Lezione N°3: Analisi nodale dei circuiti elettrici

Analisi circuitale

Metodi di analisi di reti elettriche

• Data la seguente rete, in cui gli elementi circuitali sono stati omessi e sostituiti da una linea, con 10 (l ) lati e 6 (n) nodi;

d 1 5 h e 9 a 3 4 c i j 2 6 b

Grandezze incognite

• Considerando che per ogni lato ci sia un elemento e poiché per ogni elemento introduciamo una tensione e una corrente, il numero totale delle incognite è 2l.

Equazioni

• Leggi costitutive degli elementi -> danno origine a l equazioni.
• Equazioni di Kirchhoff ai nodi -> danno origine a n-1 equazioni.
• Equazioni di Kirchhoff alle maglie -> danno origine a | - n + 1 equazioni.

Altri metodi di analisi:

• Semplificare lo sforzo computazionale è possibile introducendo un numero di incognite inferiori a 2l.
• Analisi nodale: introduce n-1 tensioni incognite e formula n-1 equazioni mediante l'applicazione di Kirchhoff ai nodi.
• Analisi agli anelli: introduce m correnti incognite (ove m è il numero di maglie indipendenti) e formula m equazioni applicando Kirchhoff alle maglie.

Analisi nodale

1. Scegliere un nodo di riferimento. Assegnare le tensioni V1,V2 .... Vn-1 agli altri n-i nodi. Le tensioni sono misurate rispetto al nodo di riferimento
2. Applicare la leggi di kirchhoff agli n-1 nodi diversi da quello di riferimento. Usare la legge di ohm per esprimere le correnti di ramo in termini di tensioni di nodo.
3. Risolvere le equazioni ottenute, calcolando così le tensioni di nodo incognite

Le incognite sono V1, V2,V3 44 80 2 1 3 3A 4 40 2ª, 3A 40 2₺ n-1 nodi

• Scegliere un nodo di riferimento tensioni V1,V2 .... Vn-1 agli altri n-i nodi.

Assegnare le

Analisi nodale punto 1

Attenzione: generatore di corrente comandato 40 20 8 3A

Analisi nodale punto 2

Leggi di kirchhoff ai nodi Leggi di ohm V1- V3 + V1- V2 · Nodo 1: 3 =i + i, = 3 = 4 2 3v1 - 2V2 - V2 =12 V1 - V2 V2 - V3 + V2 - 0 · Nodo 2: i3 +i2 =1x= 2 8 4 - 4v +7v2 = V2 =0 · Nodo 3: i1 +12 =2i> V1 - V3 + V2 - V3 = 2(v1 - V2) 4 8 2 2v1 - 3v2 + V3 =0 Si ottengono: 3 equazioni (nel riquadro blu) 3v1- 2v2 - V3 =12 - 4v +7v2 - V3 =0 2v1 - 3V2 + V3 =0 Sistema di 3 equazioni

Analisi nodale punto 3

• Le equazioni possono essere risolto, per esempio con il metodo di riduzione e si ottiene:
• I valori delle altre grandezze possono essere ottenuti dall'applicazione delle leggi di ohm:

v =4.8V , V2 =2.4V, V2 =- 2.4V 1 i2 = v2- v3 8 = 2.4 - (-2.4) 8 i = V1- V3 =1.8 4 4.8- (-2.4) 4 =0.6 i = x V1- V2 2 4.8- 2.4 2 - =1.2 İ3 =2 = 2.4 4 2.4 =0.6 4

Resistore costituito da una rete di resistori

M + W e W NRete originale: i due terminali M ed N identificano i punti a cui precedentemente era collegato il generatore di tensione V M N W 1 Rete equivalente M 0 B N C All'interno della scatola B: rete elettrica diversa da quella originale ma che ai terminali M ed N si comporta in modo equivalente a quella originale

Circuito equivalente

M M i 2 + e N N- 0 + e. R e N Circuito originario Circuito equivalente

Teorema di Thevenin

• Il teorema di Thevenin stabilisce che un circuito lineare a due terminali può essere sostituito da un circuito equivalente che consiste in un generatore di tensione Vn in serie ad un resistore Rth .
• Vth è la tensione ai terminali del circuito aperto; Rmn è la resistenza equivalente o la resistenza d'ingresso ai terminali, quando tutti i generatori indipendenti sono spenti.

Teorema di Thevenin

I a 0 Linear two-terminal circuit + Load 0 b (a) R Th I a O + Load VTh + V O b (b) V

Applicazione Teorema di Thevenin

Circuito originario

42 12 a 32 V + 12 22 2 A RL b L 4 2 VTh + 32 V + i1 12 22 İ2 2A VTh Calcolo della tensione a circuito aperto V. Th 0 4 2 12 0 RTh 12 2 0 Calcolo della resistenza R Th' spegnendo tutti generatori indipendenti 1242 12 a 32 V + 12 2 2 A RL 00 Circuito originario Circuito equivalente

Soluzione

• La corrente che scorre in RL è piu facilmente calcolabile usando un circuito equivalente

4 2 a İL 30 V + RL 0 b

Principio di sovrapposizione degli effetti

• In una rete lineare una qualsiasi grandezza di tensione e/o di corrente è ottenibile sommando gli effetti di tutti i generatori presenti nella rete.
• Quando si applica il principio di sovrapposizione degli effetti uno o più generatori sono assunti nulli. In tal caso: - Un generatore di tensione con tensione nulla è equivalente ad un corto circuito. - Un generatore di corrente con corrente nulla è equivalente ad un circuito aperto.

Limiti di applicazione

• Il principio di sovrapposizione degli effetti è valido solo per il calcolo delle tensioni e delle correnti e non delle potenze. p = Ri2 = e 1 e e e 2 2 1 e R 2 + 11 V R + p' D €2 e1 NO ! 0 (a) (b) (c) e 2 R 2 2 R R 1 2 2 R + R p" p + e1