Aberrazioni delle lenti sferiche: cause e correzioni

Introduzione alle Aberrazioni delle Lenti

Prof. Leonardo Trombetta

Le aberrazioni delle lenti che si esamineranno non sono legate a difetti di fabbricazione, ma alle leggi della rifrazione applicate senza le approssimazioni dell'ottica di Gauss, alla forma delle lenti e al prendere in considerazione raggi policromatici. Una lente reale presenterà le aberrazioni previste teoricamente, alle quali si sommeranno i difetti di fabbricazione.

Per avere un'immagine corretta di un oggetto, si richiede implicitamente che:

• a ogni punto oggetto corrisponda un solo punto immagine (sistema stigmatico);
• tutti i punti immagine giacciano in uno stesso piano perpendicolare all'asse ottico (ad es. per poter proiettare l'immagine su uno schermo);
• l'ingrandimento sia costante per tutti i punti del piano immagine (per non avere deformazioni)

Queste condizioni sono soddisfatte nell'ottica di Gauss, ma si ottengono con delle approssimazioni: in particolare nell'ottenere le formule relativamente semplici per le lenti sottili, si sono utilizzati raggi con piccola inclinazione rispetto all'asse ottico (parassiali). Ciò ha permesso di approssimare la funzione trigonometrica seno con l'angolo stesso misurato in radianti, cioè: sen p= 0

Andando a considerare raggi con inclinazione maggiore, che colpiscono la parte esterna della lente (marginali), è necessario "sviluppare in serie di potenze" la funzione seno: sen p=0-2 +

Lo sviluppo sarebbe infinito, ma si tronca nei casi in esame all'elemento elevato alla terza potenza. Decadendo l'approssimazione di raggi parassiali, i punti citati sopra non sono più soddisfatti e si manifestano le aberrazioni, dette del terzo ordine per avere considerato fino all'esponente 3 nello sviluppo in serie.

La teoria delle aberrazioni del terzo ordine è opera del matematico Von Seidel. Esse sono:

• Aberrazione sferica monocromatica assiale
• Coma monocromatica extra assiale
• Astigmatismo monocromatica extra assiale
• Curvatura di campo monocromatica extra assiale
• Distorsione monocromatica extra assiale

Nella tabella, per comodità, si riporta anche la voce monocromatica per indicare che l'aberrazione si manifesta anche con luce di una singola lunghezza d'onda, e assiale/extra assiale per caratterizzare se dipende da punti oggetto sull'asse ottico o lontani dall'asse ottico. Le aberrazioni monocromatiche sono dette anche geometriche. Inoltre va considerata l'aberrazione cromatica, che è assiale/extrassiale e dipende dalla lunghezza d'onda (quindi non è un'aberrazione monocromatica).

Aberrazione Sferica

Si veda la figura seguente, in cui si ha un punto oggetto sull'asse ottico a distanza finita, e uno all'infinito.

Aberrazione sferica Raggi marginali Raggi parassiali Cerchio di minima confusione P P" P Aberrazione sferica laterale Raggi marginali Caustica di rifrazione Raggi parassiali F parassiale marginale Aberrazione sferica laterale

In entrambi i casi i raggi più vicini all'asse ottico (raggi parassiali) e quelli più distanti (raggi marginali) non si comportano nello stesso modo: nel primo caso si formano più punti immagine, nel secondo caso i raggi distanti dall'asse vengono focalizzati ad una distanza differente dalla lente rispetto a quelli più centrali.

L'aberrazione sferica dipende sia dai raggi di curvatura delle superfici R1 e R2 della lente che dalla posizione del punto oggetto s (e di conseguenza del punto immagine s'). Per tenere conto di ciò si introducono due fattori:

Fattori di Posizione e Forma

Fattore di posizione P= "-5 s'+S

Fattore di forma q= R2+ R1 R2-R1

E' interessante notare che il fattore di forma tiene conto non solo della forma della lente, ma anche di come è orientata rispetto alla luce. Ad esempio, nella figura seguente la lente menisco ha lo stesso potere in entrambi i casi, ma fattore di forma di segno opposto.

=2,5 D q=2,5 D R =+10 R = - 20 n=1,5 n=1,5 q=+3 q =- 3 R2= - 10 R2=+20

Correzione dell'Aberrazione Sferica

L'aberrazione sferica per una singola lente sferica non può essere eliminata, ma solo resa minima per una certa coppia oggetto-immagine: se cambia il punto oggetto, la lente va riprogettata, cioè vanno individuati i nuovi raggi di curvatura che minimizzano l'aberrazione sferica.

Nella figura seguente si vede come una serie di lenti sottili con lo stesso potere e lo stesso diametro, ma diverso fattore di forma, sono affette da aberrazione sferica differente. Vi è una lente per la quale l'aberrazione sferica risulta minima (inferiore a 0,1, asse delle ordinate), cioè con il valore q ottimale (prossimo a 0,6, asse delle ascisse).

1.0 D 0.9 0.8 differenza assiale nella distanza focale 0.7 „tracciamento dei raggi 0.6 0.5 - teoria al 3°_ ordine 0.4 0.3 0.2 0.1 fattore di forma OL -2 -1 O +1 +2

Grafico dell'aberrazione sferica relativa a lenti di forma diversa ma di uguale distanza focale. Per le lenti considerate: h = 1 cm. f=+ 10 cm, n' = 1,51700

La formula che permette di trovare il fattore di forma q che rende minima l'aberrazione sferica (per una certa coppia oggetto-immagine) è la seguente: q0= n+2 -2(n2-1) p

Trovato il qo, si può progettare la lente, dal momento che il fattore di forma "contiene" i raggi di curvatura.Per trovare questi ultimi disponendo di q si utilizzano relazioni che appartengono al Sistema di Coddington:

R1= 2f(n-1) q+1 q-1 2f(n-1) R2=

Un modo più semplice per ridurre l'aberrazione sferica è mettere un diaframma davanti alla lente. In tal modo vengono "tagliati" i raggi marginali, cioè la causa dell'aberrazione sferica.

Abbiamo visto che con una sola lente sferica l'aberrazione sferica si può solo rendere minima, ma non eliminare del tutto. Si può tuttavia ottenere questo risultato, cioè eliminare completamente l'aberrazione sferica, mediante la combinazione di due o più lenti. Oppure con una singola lente, ma asferica (paraboloide, ellissoide), più complessa da progettare e più costosa da realizzare.

Di seguito l'effetto dell'aberrazione sferica:

lente corretta Microscope Image lente non corretta Microscope Image

Coma

La coma (da chioma: coda della cometa) si manifesta con punti oggetto fuori asse.

Coma Immagine corretta (asse ottico) Immagine comata (extrassiale

Immaginando la lente come costituita da varie corone circolari, i raggi luminosi originati dall'oggetto fuori asse passano attraverso di esse, creando un'immagine ad anelli luminosi, di grandezza differente e in posizione differente, che si sovrappongono parzialmente, formando una macchia a forma di goccia.

Se la "coda" della cometa (cioè la parte panciuta della goccia) è rivolta verso l'asse ottico si parla di "coma negativo"; se invece essa è rivolta verso i bordi della lente, ricorda un cono gelato e si parla di "coma positivo".Le immagini che si formano sono Dei cerchi concentrici

B B A A Off-Axis Comatic Aberration Zone 1 B Zone 1 Zone 2 Zone 3 Zone 4 Zone 4 B -A A B Optical Axis Lens -A Coma Blur coma negativo: la punta della cometa sta verso l'alto 12345 coma positivo

Ad esempio, nell'osservazione astronomica, le stelle prossime ai bordi del campo di osservazione appaiono come goccioline.

Zone 2 Zone 3

Correzione della Coma

Come si vede dal grafico seguente, la coma si può eliminare completamente ( q0° attraversa l'asse delle ascisse, quindi il suo valore in ordinata è nullo) agendo sulla forma della lente per una certa coppia oggetto-immagine. E contemporaneamente si riesce ad ottimizzare anche la correzione dell'aberrazione sferica, in quanto il punto di minimo del fattore di forma dell'aberrazione sferica qo è prossimo al punto in cui q0° si annulla.

aberrazione aberrazione sferica 9 0 q 0 coma

FIGURA 11.15 Curve di correzione dell'aberrazione sferica e del coma. Il valore q; che annulla il coma è quasi uguale al valore q, che minimizza l'aberrazione sferica. I valori negativi del coma sono riferiti al caso in cui l'immagine comatica si presenti rovesciata rispetto a quella nella Figura 11.14.

La formula che permette di individuare il fattore di forma ottimale è: „c (2n+1)(n-1)p n+1

Come si vede, dipende da p, il fattore di posizione: per cui la lente sarà progettata per una specifica coppia oggetto-immagine.

Individuato il fattore di forma, si trovano i raggi di curvatura con le equazioni di Coddington descritte in precedenza.

Le lenti corrette da coma sono dette aplanatiche. Anche in questo caso, si può inserire un diaframma per limitare i raggi marginali.

Astigmatismo

Anche l'astigmatismo è relativo a punti oggetto a una certa distanza dall'asse ottico. Si presenta a causa dell'obliquità dei fasci: sull'asse ottico non è presente per le lenti sferiche (in molte trattazioni, infatti, è indicato come astigmatismo dei fasci obliqui): è quindi un'aberrazione indesiderata. Non va confuso con l'omonimo difetto della vista, anche se concettualmente si tratta sempre di avere due focali differenti su due piani ortogonali tra loro. Mentre in lenti toriche è volutamente ottenuto: la lente torica ha due curvature differenti e quindi si potranno avere due focali differenti su piani ortogonali tra loro anche sull'asse ottico.

Intervallo di Sturm focalina t Cerchio di minima confusione focalina s Raggi tangenziali Asse ottico P Raggi sagittali oggetto

Il "piano del foglio" in figura, in realtà il piano individuato dall'asse ottico e da P, è detto piano tangenziale (o meridionale), e i fasci di raggi focalizzano nel punto t, dove si forma l'immagine primaria. Il piano "uscente dal foglio", è detto sagittale, e i raggi focalizzano in s. Nel punto t si forma una linea (focalina), poiché i raggi sagittali non sono ancora a fuoco e "proseguono oltre". L'analogo accade con i raggi tangenziali nella focalina s.

La distanza tra le due focalina è detta intervallo di Sturm. La miglior immagine di P si può osservare tra t ed s nel cerchio di minima confusione. Come si vede in figura, le focaline sono le degenerazioni di due ellissi.

In figura come appare una ruota nelle due focaline

oggetto Jente Piano focale tangenziale Piano focale sagittale

Nella figura seguente le immagini sulle due focaline e quella corretta.

Astigmatismo Immagine corretta Microscope Image Piano immagine Choose A Specimen Bovine Arterial Cell 1 Choose A Specimen Microscope Image Image Plane Bovine Arterial Cell Sagittal Tangential Off-Axis Distance Piano immagine Choose A Specimen

Curvatura di Campo

Questa aberrazione è anch'essa relativa a punti fuori asse, ed è collegata all'astigmatismo. Vengono spesso trattate assieme. Infatti, se si fa variare la posizione del punto oggetto, allontanandolo sempre più dall'asse ottico, lato immagine variano le posizioni delle focaline T e S nel piano tangenziale (per immediatezza supponiamo il piano del foglio).

Vista in 2D P Superficie di Petzval 53 52 12 SI Paraboloide S Paraboloide P P1 S 2 T 3 Paraboloide T P3 Vista in 3D Microscope Image Image Plane