Metodi Quantitativi: Ammortamento e Rendita con Esempi Numerici

UNIVERSITÀ DELLA VALLE D'AOSTA

UNIVERSITÉ DE LA VALLÉE D'AOSTE

Università della Valle D'Aosta - Dipartimento di Scienze Economiche e Politiche
Corso di laurea in Economia e Management (classe laurea L-18)
METODI QUANTITATIVI - MODULO MATEMATICA 2
6 CFU - ORE 45
Docente: Dott.ssa Tiziana Ciano
Anno Accademico 2024/2025

Ammortamento e Rendita: Differenze

• L'ammortamento è una strategia per restituire un prestito in modo
  organizzato e graduale. E comune per i mutui, i prestiti personali e i
  leasing e consente ai debitori di rimborsare il debito in modo sostenibile
  attraverso pagamenti periodici.
• Rendita: È una serie di pagamenti periodici effettuati o ricevuti a scadenze
  regolari. Gli obiettivi possono variare, ma in genere una rendita mira a
  fornire un reddito regolare o a finanziare una serie di spese. Non c'è un
  debito da estinguere nel caso delle rendite, ma piuttosto un flusso di
  denaro che si vuole ricevere o pagare nel tempo.

Ammortamento

L'ammortamento è un'operazione finanziaria che si configura come accensione di un prestito
al tempo t = 0 dietro il pagamento di una serie di rate in istanti successivi t1, t2, ... , tn. Tale
operazione è caratterizzata da due condizioni di chiusura:

A = Do = >

i=1
n
(1 + ¿)t
Rt
ovvero il debito contratto al tempo zero deve essere uguale alla somma di tutti i
pagamenti futuri. (condizione di chiusura iniziale).

Un'analoga condizione può essere stabilita nel caso di montante finale (condizione di
chiusura finale): ovvero il montante generato dalla somma di tutti i pagamenti deve essere
uguale al montante del capitale preso a prestito.

A . (1 +i)" = >Rt . (1 +i)t
n
i=1

Grandezze Principali dell'Ammortamento

Le grandezze principali di un'operazione di ammortamento sono:

• Ct: quota capitale riferita al tempo t
• It: quota interesse riferita al tempo t
• Dt: debito residuo al tempo t
• Et: debito estinto al tempo t

La quota capitale rappresenta l'ammontare di capitale rimborsato ogni anno.
Insieme alla quota interessi concorre alla formazione della rata.

Si ha infatti la seguente equivalenza:
Rt = Ct + It

Quota Interessi nell'Ammortamento

La quota interessi, a sua volta, indica qual è ad ogni istante l'ammontare di interessi
maturati sul debito residuo rispetto al periodo precedente.

In formule:
It = Dt-1 . i

dove Dt-1rappresenta il debito residuo del periodo precedente.
Se l'interesse viene riscosso in via anticipata la formula si modifica come segue:
It = Dt . i

Caratteristiche del Debito Residuo

Le caratteristiche relative al debito residuo, sono raccolte nelle seguenti formule:

1. Do = A, il debito al tempo zero coincide con il capitale preso a prestito
2. Dn = 0, il debito deve essere estinto alla scadenza
3. Dt = Dt-1 - Ct il debito al tempo t è dato dalla differenza tra debito del periodo
   precedente e quota capitale

Analoghe relazioni si possono costruire per il debito estinto:

1. Eo = 0, il debito estinto al tempo zero è nullo
2. En = A, il debito estinto a scadenza coincide con il capitale preso a prestito
3. Et = Et-1 + Ct il debito estinto al tempo t è dato dalla somma tra debito estinto del periodo
   precedente e quota capitale.

Infine la relazione tra debito estinto e residuo è data, ad ogni periodo, da:
A = Et + Dt

Esempio di Ammortamento

Esempio: Un'azienda è finanziata per un ammontare di 24.000 € per una durata di 4 anni
al tasso annuo d'interesse composto del 4,5%. Guardiamo l'operazione dal punto di vista
della banca.

Per il rimborso si possono presentare i seguenti casi:

1. Rimborso alla fine del quarto anno del capitale e degli interessi dovuti
   M = 24.000 · f (4) = 24.000 · 1.0454 = 28.620, 45
   Quindi i flussi di cassa associati all'operazione sono
   ANNI
   0
   4
   IMPORTI
   -24000
   28620,45
2. Rimborso alla fine del quarto anno dell'ammontare prestato e pagamento alla fine di
   ogni anno degli interessi dovuti, cioè I = 24.000 · 0,045 = 1.080, generando i seguenti
   flussi di cassa di rimborso
   Anni
   0
   1
   2
   3
   4
   Importi
   -24.000
   1.080
   1.080
   1.080
   25.080

Ammortamento Graduale

3. Pagamento periodico di parte del capitale finanziato e degli interessi maturati, per
esempio
Anni
0
1
2
3
4
Importi
-24000
5080
8900
8540
4180

Solo la terza forma di rimborso, cioè il pagamento periodico sia di parte del capitale e sia
degli interessi dovuti, si dice ammortamento graduale di un prestito.
Si affrontano successivamente le regole di base di ogni ammortamento e tratteremo di
alcuni ammortamenti di uso comune.

Parametri del Piano d'Ammortamento

I parametri che caratterizzano il piano d'ammortamento sono di solito raccolti in una
tabella siffatta:

t
Ct
It
Rt
Dt
Et
0
-
-
-
A
-
1
...
2
. ..
. . .
...
. . .
...
...
.. .
n
...
-
A

A seconda del tipo di ammortamento scelto, poi cambiano le modalità con cui vengono
redatti tali piani.

Impostazioni per il Piano d'Ammortamento

Per costruire il piano d'ammortamento di un prestito possiamo usare due impostazioni:

• Elementare;
• Finanziaria

Impostazione Elementare

-> C1 + C2 + ... .. + Cn= A
La costruzione di un ammortamento con impostazione elementare parte dalla condizione
di chiusura elementare.
In questo caso sono fissate le quote di capitale Ct, con t = 1,2, ... , n, con l'unico vincolo che
la loro somma sia uguale all'ammontare finanziario A.
La scelta degli ammontari delle quote di capitale dipende solo dalle controparti che
intervengono nel contratto di finanziamento. Per esempio, per una start-up (o per
un'azienda in difficoltà finanziarie) si possono prevedere quote di capitale all'inizio molto
basse e alla fine più alte, mentre per un'azienda ben avviata di solito le quote di capitale
sono costanti.

Costruzione del Piano con Impostazione Elementare

Per costruire un piano di ammortamento con l'impostazione elementare si procede come
segue:

• si fissano gli ammontari delle quote di capitale Ct (con t = 1,2, ... ,n) rispettando il
  vincolo della condizione di chiusura elementare;
• si usano le relazioni di base per determinare le quote interessi It, le rate Rt, i debiti
  residui Dt e i debiti estinti Et (con t = 1,2, ... , n);
• si costruisce una tabella dove si riportano tutti gli elementi dell'ammortamento (detto
  piano d'ammortamento finanziario).

Esercizio 1: Piano di Ammortamento

Esercizio 1: Un'azienda di nuova costituzione ottiene un finanziamento di 30.000 € da
rimborsare attraverso il pagamento di 5 rate annue posticipate al tasso annuo d'interesse del
5%. Le quote di capitali sono:
C1 = 3000
C2= 3000
C3 = 8000
C4 = 8000
C5 = 8000
Costruisci il piano di ammortamento, utilizzando le relazioni viste in precedenza, anno per
anno.

Anni
Rt
Ct
It
Dt
E
0
-
-
-
30000
0
1
4500
3000
1500
27000
3000
2
4350
3000
1350
24000
6000
3
9200
8000
1200
16000
14000
4
8800
8000
800
8000
22000
5
8400
8000
400
0
30000

Il monte interessi dell'ammortamento cioè la somma
di tutte le quote interessi generate
dall'ammortamento
5
Is =1500 + 1350 +1200 +800+400 =5250
s=1

Ammortamento Uniforme o Italiano

Nell'ipotesi in cui tutte le quote di capitale Cs siano uguali, cioè Cs = C per
ogni s, dalla condizione di chiusura elementare si ha: (C=A)
.. +c= [C= A
n
ossia
n . C = A
s=1
dalla quale possiamo ricavare l'ammontare della quota costante di capitale
C =
Numero di quote di capitale
Ammontare finanziato
A
n
Un ammortamento con quota costante di capitale si dice ammortamento di tipo uniforme
o italiano.

Ammortamento Italiano

L'ammortamento italiano o uniforme prevede che ciascuna quota di ammortamento
(supposto che le rate siano equintervallate ed n sia il numero di periodi previsti per
l'ammortamento) sia costante e pagata in via posticipata.
Le quote capitali dunque possono essere calcolate con la seguente formula:
Ct = C =
A
n
dove n rappresenta il numero di pagamenti e A l'importo del prestito.
Il debito residuo ad ogni epoca, pertanto, risulta:
Dt =
n- t
n
n_A= (n-t)C
ovvero pari al numero di quote capitali non ancora corrisposte.
Nell'ammortamento italiano le rate sono decrescenti e si calcolano come somma tra la
quota capitale e la corrispondente quota interessi.

Redazione del Piano di Ammortamento Italiano

La redazione del piano di ammortamento del prestito avviene con i seguenti passi:

1. si determinano le quote capitali
2. si compilano le colonne del debito residuo Dt = Dt-1 - C e del debito estinto Et = Et-1 + C
3. si compila la colonna relativa alla quota interessi It = Dt-1 · i
4. si determina la rata come Rt = C + It

Esempio 2: Ammortamento Uniforme

Esempio 2: Riprendiamo i dati dell'esempio precedente: finanziamento di 30.000 € e da
rimborsare attraverso il pagamento di 5 rate annue posticipate al tasso annuo d'interesse del
5%. Se si usa l'ammortamento di tipo uniforme allora l'ammontare costante della quota di
capitale quale sarà?
Definire il piano ammortamento.

Anni
Rt
Ct
It
Dt
E
0
-
-
-
30000
0
1
7500
6000
1500
24000
6000
2
7200
6000
1200
18000
12000
3
6900
6000
900
12000
18000
4
6600
6000
600
6000
24000
5
6300
6000
300
0
30000

Se si usa l'ammortamento di tipo uniforme
allora l'ammontare costante della quota di
capitale è
C =
30000
5
=6000
con monte-interessi pari a 4500 €

Impostazione Finanziaria

La costruzione di un ammortamento con l'impostazione finanziaria parte dalla condizione
di chiusura finanziaria iniziale di un ammortamento.
Consideriamo un finanziamento d'ammontare A da restituire in n anni mediante rate
posticipate a tasso annuo d'interesse composto i.

Per costruire un piano di ammortamento con l'impostazione finanziaria si procede come
segue:

• si fissano le rate Rt
• si usano le relazioni di base per determinare le quote interessi It , le quote di capitale Ct , i
  debiti residui Dt e i debiti estinti Et (con t = 1; 2; ....; n).
• si costruisce una tabella dove si riportano tutti gli elementi dell'ammortamento (che si
  dice piano d'ammortamento finanziario).

A = Do = >

n
(1 + 2)
Rt
i=1

Esercizio 3: Finanziamento con Rate Variabili

Esercizio 3: Un'azienda ottiene un finanziamento per un ammontare di 24.000 €, al tasso
annuo d'interesse composto del 7%, da rimborsare mediante il pagamento di tre rate annue
costanti posticipate. La seconda rata è maggiore del 10% rispetto la prima, mentre la terza
rata è maggiore del 20% rispetto alla prima.

Svolgimento:
Indicando con R1 l'ammontare della prima rata possiamo esprimere gli ammontari della
seconda e terza rata in funzione della prima, cioè
R2 = (1 +0.1) . R1 = 1.1R1
R3 = (1 +0.2) . R1 = 1.2R1

Tenendo conto del profilo delle rate di rimborso, possiamo scrivere la condizione di
chiusura finanziaria iniziale dell'ammortamento
24000 =
RI
1 +0.07
+
1.1R
(1 + 0.07)2
+
1.2R1
(1 +0.07)3
da cui il minimo comune multiplo e il raccoglimento a fattore comune della rata R1 a
secondo membro portano
24000 - 1.073 = R1 . [1.072 + 1.1 . 1.07 + 1.2]