I Numeri Naturali e Decimali: sistema posizionale e scrittura polinomiale

I Numeri Naturali

L'Insieme dei Numeri Naturali

I numeri che usiamo per CONTARE si chiamano NUMERI NATURALI. Essi formano una sequenza che inizia con lo 0.

DEFINIZIONE. Dato un numero naturale, il numero che si ottiene aggiungendo 1 (unità ) si chiama consecutivo o successivo.

Esempio di Numeri Naturali

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...

DEFINIZIONE. Ogni numero naturale (escluso lo zero) ha sempre un numero naturale che lo precede. Tale numero prende il nome di antecedente o precedente.

Esempio di Antecedente

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...

Definizione dell'Insieme N

DEFINIZIONE. I numeri naturali formano un insieme che si indica con la lettera N e che si può rappresentare così: N = {0,1,2,3,4 .... } L'insieme dei numeri naturali è un insieme infinito e ordinato pertanto possiamo confrontare i numeri e definire il maggiore (>), il minore (<) o se sono uguali (=) 23 < 347 oppure 347 > 23

Sistema di Numerazione

DEFINIZIONE. Un sistema di numerazione è un insieme di simboli dotato di una o più regole con cui i simboli vengono raggruppati così da poter rappresentare tutti i numeri.

DEFINIZIONE. Il nostro sistema di numerazione è un sistema decimale posizionale Il nostro sistema di numerazione viene detto decimale (o base dieci) perché usiamo dieci simboli diversi che sono:

• 0
• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7
• 8
• 9

Sistema di Numerazione Posizionale

Il nostro sistema di numerazione viene detto posizionale perché le cifre hanno un valore diverso a seconda della posizione (=ordine) che occupano.

Le cifre che rappresentano i primi dieci numeri vengono dette unità del primo ordine. Gli ordini si riuniscono in gruppi di tre (u unità, da decine, h centinaia) e formano le classi.

Classi e Ordini

CLASSE MIGLIAIA CLASSE UNITÀ Centinaia di migliaia Decine di migliaia Migliaia Centinaia Decine Unità VI V IV III II I 100 000 10 000 1 000 100 10 1

REGOLA. Dieci unità (di qualsiasi ordine) formano un'unità dell'ordine immediatamente superiore.

Valore Assoluto e Relativo

Valore assoluto uno due sei otto -> > 1 2 6 8 1 un 1 1 Valore relativo migliaio due centinaia sei decine otto unità

La Scrittura Polinomiale

Si può scrivere un numero mettendo in evidenza il "peso" delle diverse cifre, dato dalla loro posizione. Questa scrittura è detta scrittura polinomiale, ed è l'espressione che si ottiene sommando i valori assoluti delle cifre moltiplicati per il loro "peso". Il "peso" di ogni cifra è dato dal valore della sua posizione. Consideriamo, per esempio, il numero 5430. Si può scrivere così: 5430 = 5 x 1000 +4x 100 +3x 10+0x1 Infatti 5 x 1000 + 5000 + 4 × 100 + 400 + 5 migliaia 4 centinaia 3 decine 0 unità 3 × 10 + 30 + 0x1 = 0 = 5 x 1000 4 × 100 3 × 10 0×1 5430 5430

I Grandi Numeri

Significato e Valore

Classe Ordine Simbolo Significato Valore 1º u unità semplice = 1 unità 1 unità 2° da 10 unità = 1 decina 10 3º h 10 decine = 1 centinaio 100 4° uk 10 centinaia = 1 migliaio 1000 migliaia 5° dak 10 migliaia = 1 decina di migliaia 10 000 6° hk 10 decine di migliaia = 1 centinaio di migliaia 100 000 7º UM 10 centinaia di migliaia = 1 milione 1 000 000 milioni 8° daM 10 milioni = 1 decina di milioni 10 000 000 9º hM 10 decine di milioni = 1 centinaio di milioni 100 000 000 10° uG 10 centinaia di milioni = 1 miliardo 1 000 000 000 miliardi 11° daG 10 miliardi = 1 decina di miliardi 10 000 000 000 12° hG 10 decine di miliardi = 1 centinaio di miliardi 100 000 000 000

Confronto tra Numeri Naturali

Per confrontare i numeri naturali che sono costituiti da 1) # numero di cifre > è maggiore il numero che ha più cifre 23 347 1 La cifra più significativa è dell' ordine delle decine La cifra più significativa è dell' ordine delle centinaia Quindi 23 < 347 oppure 347 > 23

Confronto con Stesso Numero di Cifre

2) = numero di cifre > per stabilire quale devo andare a confrontare la prima cifra diversa Prime cifre significative sono uguali Appartengono entrambi all' ordine delle migliaia 1525 1531 Si devono confrontare le cifre dell' ordine delle decine 2 < 3 allora 1525 < 1531 oppure 1531 > 1525

Ordine e Rappresentazione sulla Semiretta Orientata

Possiamo disporre i numeri naturali partendo dal più piccolo (ordine crescente) o dal più grande (ordine decrescente): 5 7 13 19 28 37 ORDINE CRESCENTE 45 37 29 18 8 2 ORDINE DECRESCENTE Utilizzando la rappresentazione dei numeri naturali sulla retta possiamo concludere

PROPRIETÀ. Ogni numero naturale è minore di tutti i numeri naturali che lo seguono ed è maggiore di tutti i numeri naturali che lo precedono.

Rappresentazione dei Numeri Naturali

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

I Numeri Decimali

Definizione di Numeri Decimali

DEFINIZIONE. I numeri con la "virgola" vengono definiti decimali. Un decimo (0,1), un centesimo (0,01), un millesimo (0,001), ecc. vengono definiti unità decimali, rispettivamente di primo, secondo, terzo ordine, ecc.

Esempio di Numero Decimale

Parte intera 23,54 Parte decimale 2 3 , 5 4 1 1 unità 1 decine decimi centesimi si legge << Ventitré e cinquantaquattro centesimi>>

Regola di Invarianza dei Decimali

REGOLA. Il valore di un numero decimale rimane invariato se alla destra della sua ultima cifra decimale si aggiunge un numero qualsiasi di zeri.

Esempio di Invarianza

32,41 = 32,410 = 32,4100

Regola di Pareggiamento Cifre Decimali

REGOLA. Possiamo pareggiare il numero di cifre decimali di due numeri decimali inserendo, dopo l'ultima cifra decimale, degli zeri.

Esempio di Pareggiamento

45,871 12,300 12,3 0,67 0,670

Rappresentazione sulla Semiretta Orientata

Per rappresentare un numero decimale sulla semiretta orientata bisogna suddividere le unità intere in unità decimali.

Esempio di Rappresentazione Decimale

1,7 ossia 1 intero e 7 decimi Rappresentazione 10 decimi intero 10 decimi intero 0 1 2 1 intero 7 decimi 1,7

Confronto tra Numeri Decimali

Caso 1: se i due numeri hanno parti intere diverse, il più grande è quello che ha la parte intera maggiore Esempio 1>0,5

Confronto con Stessa Parte Intera

Caso 2: se i due numeri hanno la stessa parte intera allora si confrontano le parti decimali Esempio Prendiamo i due numeri da confrontare, incolonniamoli uno sotto l'altro, in modo che le decine corrispondano alle decine, le unità alle unità, i decimi ai decimi, ... aggiungendo degli zeri in caso di cifre mancanti. 44,49 81,4 44,99 81,0 Confrontiamo le cifre cominciando da quella più a sinistra e fermiamoci quando troviamo due cifre diverse: · le cifre delle decine sono uguali, quindi passiamo alle unità; · le cifre delle unità sono uguali, quindi passiamo ai decimi; · le cifre dei decimi sono diverse: consideriamo queste due cifre. Il numero maggiore è quello contenente la cifra più grande. Nel nostro caso pos- siamo scrivere: 44,49 < 44,99 perché 4 < 9 81,4 > 81,0 perché 4 > 0

Ordine e Rappresentazione dei Decimali sulla Semiretta

Suddividiamo il tratto che separa un numero naturale dal suo successivo in 10 parti uguali, ciascuna delle quali rappresenta un decimo. 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,3 1,4 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 2 3 1,3 1,32 1,34 1,36 1,38 1,4 1,31 1,33 1,35 1,37 1,39 Dividiamo l'intervallo tra due decimi consecutivi in dieci parti uguali: ciascuna delle parti ottenute rappresenta un centesimo. Un numero decimale è maggiore di un altro se sta alla sua destra sulla semiretta orientata. Valgono quindi le seguenti disuguaglianze: 0,2 < 0,7 1>0,8 1,34 > 1,3 1,32 < 1,4

Arrotondamento

Arrotondamento dei Numeri Decimali

Per arrotondare un numero decimale alla cifra di un dato ordine (unità, decimi, centesimi, ... ), dobbiamo osservare la cifra che si trova alla sua destra: · se è minore di 5, lasciamo inalterata la cifra rispetto a cui stiamo arrotondandoed eliminiamo le cifre successive (approssimazione per difetto). · se è maggiore o uguale a 5, aggiungiamo 1 alla cifra rispetto a cui stiamo arrotondando ed eliminiamo le cifre successive (approssimazione per eccesso). 7,4 è più vicino a 7 che a 8. Perciò 7,4 ~ 7. 7,4 7 8 7,5 invece è ugualmente vicino a 7 e a 8. In questo caso, per convenzione, si arrotonda al numero maggiore, cioè 8.

Arrotondamento dei Numeri Interi

Per arrotondare un numero intero alla cifra di un dato ordine, dobbiamo osservare la cifra che si trova alla sua destra: · se essa è minore di 5, lasciamo inalterata la cifra rispetto a cui stiamo arrotondando e sostituiamo con degli zeri tutte le cifre successive; · se invece è maggiore o uguale a 5, aggiungiamo 1 alla cifra rispetto a cui stiamo arrotondando e sostituiamo con degli zeri tutte le cifre successive. N.B. Abbiamo visto che per arrotondamento si intende l'approssimazione al numero più vicino. In alcune situazioni, però, si deve usare per forza l'approssimazione per difetto (chiamata anche troncamento) oppure quella per eccesso.