Matematica Finanziaria: Regimi di Interesse, Annualità e Periodicità

Materiale didattico

Matematica finanziaria A cura di Francesco CARBONE Versione: 02gen2013 Materiale in bozza. E' gradita la segnalazione di eventuali errori/orrori. Viterbo Anno Accademico 2012/13

Sommario

Introduzione

3

Regimi dell'interesse

1. Regimi dell'interesse. 4

Interesse semplice

5

Interesse composto discontinuo annuo

7

Interesse convertibile

11

Interesse composto continuo annuo

11

Annualità

1. Annualità 12

Operazioni relative alle annualità costanti posticipate limitate

12

Operazioni relative alle annualità costanti anticipate limitate.

13

Operazioni relative alle annualità costanti posticipate illimitate

15

Operazioni relative alle annualità variabili limitate

16

Costruzione di un piano di ammortamento

16

Periodicità

1. Periodicità 20

Operazioni relative alle periodicità costanti posticipate limitate

20

Operazioni relative alle periodicità costanti posticipate illimitate

20

Risoluzione degli esercizi di matematica finanziaria

1. Risoluzione degli esercizi di matematica finanziaria 21

Schema metodologico

21

Uso del foglio elettronico nella matematica finanziaria

1. Uso del foglio elettronico nella matematica finanziaria 25

Impostazione

25

Sintassi delle formule

26

Risoluzione mediante l'uso del foglio elettronico

28

Quadro delle principali formule di matematica finanziaria

1. Quadro delle principali formule di matematica finanziaria 30

Introduzione

La matematica finanziaria (MF) è uno strumento di lavoro per la dottrina estimativa, per le valutazioni economico-finanziarie e per le scienze economiche. Avvalendosi della MF è possibile spostare nel tempo (anticipare/posticipare) dal momento i a quello j degli importi monetari (costi e/o ricavi), nonché aggregarli eseguendo la loro somma algebrica allorquando si realizzano in epoche diverse.

Perché vi è bisogno della MF? Le motivazioni possono essere comprese analizzando il seguente quesito: è meglio 1.000 € oggi oppure 1.000 € tra un anno? La totalità degli individui razionali opterebbe per i 1.000 € oggi. Questa unanimità verrebbe andrebbe ad assottigliarsi allorché al termine dell'anno verrebbe assicurato un importo via via crescente, pari a [1.000+ 4], dove A è la remunerazione che ciascuno individuo si attenderebbe per aver atteso il tempo necessario affinché maturasse [Cn]1. La relazione che lega il capitale iniziale con il capitale finale è la seguente Cn=Co+4; dove 4 =Co*r*t ossia A esprime l'incremento monetario che registra un capitale in funzione della ragione finanziaria (saggio di interesse) [r] con cui varia il capitale nel tempo [t], cioè 4 è l'interesse maturato dal capitale nell'unità di tempo, che normalmente viene così determinato I = Co * r * t Ne consegue Cn = Co + (Co * r * t) ed assumendo t=1 anno, si ha Cn = Co * (1 +r) Ritornando al quesito sopra esposto, ciascun individuo accetterà [1.000+ 4] a importi diversi di A in relazione al suo saggio personale atteso di remunerazione del capitale. Data la somma attesa [Cn] per rinunciare a [Co], la formula inversa consente di determinare il relativo saggio di interesse [r] che ciascun individuo implicitamente ha scelto per la remunerazione del tempo dell'attesa che maturi [Cn], ossia F =[] - 1 Il saggio di interesse [r], normalmente espresso su base annua, è ragione con cui avviene la remunerazione unitaria del capitale rappresentata dall'interesse [I] a favore del capitalista (titolare dei diritti di proprietà del capitale). L'interesse è il costo che ciascuno deve sostenere per aver avuto un capitale da terzi e conseguentemente potremo definire il saggio di interesse come il costo unitario d'uso del capitale. Altresì l'interesse rappresenta il costo che ciascun sostiene per aver rinunciato all'uso alternativo dei capitali. Muovere del denaro nel tempo equivale a sottrarlo ad altri usi alternativi, pertanto deve riconoscersi la sua remunerazione sia se esso è stato fornito da un capitalista (caso evidente) sia se il denaro derivi da autofinaziamento.

1 Esso potrebbe anche interpretarsi come è l'ammontare a cui ciascuno rinuncerebbe per avere immediatamente la completa disponibilità del capitale [Co=Cn-4].

Gran parte degli individui che posseggono dei capitali, grandi o piccoli che siano, impiegandoli si attendono una remunerazione. Ipotizzando che essa sia esclusivamente in denaro2, ovvero ragionando in una logica di investimento, nel momento in cui ciascun individuo impiega del denaro per realizzare una iniziativa (strategia A) da essa si attende una remunerazione almeno pari o superiore a quella che avrebbe conseguito con lo stesso capitale impiegato in qualsiasi altro modo (strategie alternative B ed altre alternative), per cui la migliore tra le strategie scartate è il costo della rinuncia della strategia A3. Esemplificando: nel momento in cui l'individuo ha un capitale depositato in un conto corrente, lo preleva per realizzare un iniziativa si attende che quest'ultima gli fornisca un beneficio non inferiore a quello che avrebbe avuto lasciando il denaro nel conto corrente. Ne consegue che ciascuno tende ad impiegare il denaro (ma il ragionamento può estendersi a qualsiasi risorsa), in iniziative che nelle attese gli assicurino una remunerazione almeno superiore all'impiego corrente.

Da cui la MF è lo strumento che consente di includere nel processo di valutazione economico- finanziario il costo opportunità dell'impiego alternativo del capitale. Con riferimento ad un generico investimento, i ricavi dello stesso devono essere in entità tale da compensare l'insieme dei costi sostenuti dall'investitore, ivi comprese le mancate remunerazioni che l'investitore non ha percepito prelevando il capitale dal conto corrente in cui era depositato.

La MF assume che: i) qualsiasi operazione finanziaria sia effettuata, comunque esiste un soggetto che mette a disposizione il denaro (capitalista) ed un altro che lo impiega (utilizzatore); ii) qualsiasi impiego sia realizzato con i capitali si deve comunque riconoscere una remunerazione a favore del capitalista;

La determinazione degli interessi sul capitale impiegato è conseguentemente una operazione imprescindibile per poter includere nel processo di valutazione il costo d'uso del capitale. Ne consegue che la somma di due o più importi economico-finanziari che si realizzano in epoche diverse richiede necessariamente la determinazione dei relativi interessi maturati durante il periodo, ovvero due importi che maturano in momenti diversi non possono sommarsi matematicamente, ma solo finanziariamente. Ciò può effettuarsi solamente se ci si avvale della MF

Regimi dell'interesse

In relazione alle modalità con cui l'interesse si aggrega al capitale (tab. 1) si distinguono i seguenti regimi:

Interesse semplice: regime finanziario in cui l'interesse maturato sul capitale si somma al capitale che lo ha generato al termine dell'anno. E' il regime con cui convenzionalmente si assume di operare per operazioni finanziarie non superiori all'anno. Si tratta di un interesse non fruttifero, poiché gli interessi generati nel periodo precedente rimangono inerti nei periodi successivi, ossia l'interesse maturato al termine dell'unità di tempo non concorre alla maturazione degli interessi per il periodo successivo;

2 Normalmente la remunerazione a favore del consumatore è rappresentata dall'utilità che gli assicura l'acquisto di un bene utilizzando il denaro. Per utilità deve intendersi la capacità del bene a soddisfare un nostro bisogno. 3 Il valore della migliore alternativa scartata per seguire la strategia A, costituisce il costo opportunità di quest'ultima.

Interesse composto: dato un capitale iniziale, gli interessi maturati nel corso del tempo si sommano al capitale iniziale per la determinazione degli interessi dei periodi successivi, ovvero gli interessi sono fruttiferi. L'interesse composto può essere distinto in:

• discontinuo annuo: quando l'interesse maturato nel corso tempo, a fine anno si aggrega al capitale iniziale per la quantificazione degli interessi del periodo successivo;
• convertibile: quando gli interessi maturati da un capitale si sommano al capitale iniziale più volte nel corso dell'unità di tempo in cui è espresso il saggio di interesse (esempio: saggio su base annua con aggregazione bimestrale, trimestrale, semestrale, etc.);
• continuo o matematico: quando gli interessi si sommano al capitale in ogni istante. Esso ha una valenza più sul piano teorico che operativo.

Quadro sinottico dei regimi di interesse

Tab. 1 - Quadro sinottico dei regimi di interesse Interesse Interesse Capitale riferimento di Aggregazione degli interessi al capitale Semplice Non fruttifero Capitale iniziale Composto discontinuo annuo Fruttifero Montante Annuale Convertibile Fruttifero Montante Inferiore all'anno Continuo Fruttifero Montante Istante per istante

Interesse semplice

E' il regime convenzionalmente in uso quando i movimenti finanziari avvengono con orizzonti temporali convenzionalmente inferiori all'anno. Gli interessi si aggregano al capitale al termine del periodo e non sono fruttiferi.

Dato un il capitale disponibile al momento iniziale indicato come Co, un saggio di interesse annuo r ed il tempo t, l'interesse ammonta a: I = Co * r * t

Formule inverse interesse semplice

Capitale iniziale

I CO = - r *t

Saggio di interesse

I r =: Co * t

Tempo

I t = Co * r

Montante semplice

Il capitale finale generatosi al termine del periodo [t] (con t ≤ 1 anno) è denominato montante semplice ed ammonta a: M = [Co + I] = [Co + (Co * r * t)] = [Co * (1+r * t)]

Formule inverse montante semplice

Capitale iniziale

M Co = 1+r*t

Saggio di interesse

M -1 r = Co * t

Tempo

t= [1% *1 Co * r -Col = M To -1 r

Sconto

Si intende l'importo portato a riduzione del montante per determinare il capitale disponibile. Formalmente C = M - Sc. Si distinguono comunemente lo sconto matematico o razionale Sc = [M - C] = M -- 1+r*t. = (1+r*t) M M*(1+r*t)-M M*r*t 1+r*t. dallo sconto bancario o commerciale Sc = M *r *t Quest'ultimo è quello applicato dalle banche. Formalmente è meno ortodosso di quello matematico, tuttavia, più semplice da calcolare e più vantaggioso.

Le operazioni in regime di interesse semplice

La posticipazione di capitali

La posticipazione di capitali. Dato un capitale Co ed il saggio di interesse r il montante al momento t (Mt) è dato come Mt = Co * (1 +r*t) fattore di posticipazione per l'interesse semplice La posticipazione implica spostare ad un momento successivo il Co accorpandogli i relativi interessi maturati nel corso del periodo ottenendo il montane (Mt). Il montante sarà sempre superiore al capitale iniziale (MĮ>Co).

L'anticipazione di capitali

L'anticipazione di capitali. Dato un capitale M¿ ed il saggio di interesse r il capitale al momento 0 (Co) è dato come Co = Mt * 1 .(1 +r *t) fattore di anticipazione per l'interesse semplice L'anticipazione implica spostare ad un momento precedente il M depurandolo dai relativi interessi ottenendo il montane (Co). Il capitale al momento 0 sarà sempre inferiore al montante (Co