Corso di Fondamenti di Automatica: analisi sistemi con z-trasformata

Analisi con la z-trasformata

Introduzione alla Trasformata Zeta

Anche per i sistemi a tempo discreto risulta utile ricorrere a una particolare trasformata: La Trasformata Zeta Data una funzione reale o complessa f (k) della variabile intera k, nulla per k < 0, si definisce trasformata zeta della funzione f (k) la funzione complessa di variabile complessa

z[f(k)] = F(z) = +00 k=0 f(k)z-k *Non ci interessiamo a studiare la convergenza della serie, assumeremo (per semplicità) che esistano tutte le trasformate delle funzioni di interesse

Proprietà della Z-trasformata

• Linearità: Z[af(k) + ßg(k)] = aF(z) + BG(z)
• Ritardo: Z[f(k- h)] = z-hF(z), h EN
• Anticipo: Z[f(k + h)] = zhF(z) - zh __ h=1f(l)z-l, hEN
• Z[f(k + 1)] = zF(z) - zf(0)
• Scalatura in z: Z[r-kf(k)] = F(rz)
• Derivazione in z: Z[kf(k)] =- zdF(z)/dz
• Convoluzione nel dominio del tempo: . Z[f(k) * g(k)] = Z - k 4h=0 f(k-h)g(h) =F(z)G(z)
• Teorema del valore iniziale: f(0) = lim F (z) Z->00
• Teorema del valore finale: se (z - 1)F(z) ha poli in |z| < 1 = lim f(k) =lim(z-1)F(z) k->+00 Z->1

Z-trasformate notevoli

Impulso e Gradino

+00 8(k)z-k =z-0=1 k=0

Funzione del tempo (k € Z+)	Descrizione	Trasformata Z
δ₀ (k)	impulso unitario	1
δ₋₁(k)	gradino unitario	z/(z-1)
k	rampa unitaria	z/(z-1)²

Serie geometrica di ragione z-1 che converge in |z-1| < 1 => |z| > 1 Z[8_1(k)] = > k=0 8_1 (k)z-k = k=0 z-k = 1 1 - z-1 Z Z -1

Potenza e Sinusoide

ak	potenza	z/(z-a)
kak		az/(z-a)²
sin(kθ)	sinusoide	z sin(θ)/(z²-2z cos(θ)+1)
cos(kθ)	cosinusoide	z(z-cos(θ))/(z²-2z cos(θ)+1)

Z[ak] = > +00 d Z dz z - a akz-k = > (az-1)k : 1 1 - az-1 Z z - a k=0 k=0 Z[kak] = - z z - a -z az -Z (z-a)2 (z-a)2

Gradino unitario con ritardo

8-1(k - h) gradino unitario con inizio in k = h zh_ Z-1

• Oppure §_1(k) = 8(k) + 8_1(k - 1) e quindi Z[8_1(k)] = 1 + z-1Z[8_1(k)] => Z[8_1(k)] = 1-z-1 1 Z-1 Z z[z - cos(0)] Si osservi come a numeratore delle Z trasformate notevoli c'è sempre un termine monomio z! 2 Z[8(k)] =

Risposta dei sistemi lineari a TD

Proprietà anticipo e ISU

Proprietà anticipo: Z[f(k + 1)] = zF(z) -zf(0) > Data la ISU x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), y(k) = Cx(k) + Du(k) x(0) = x0 ! > Trasformiamo secondo Z e applichiamo la proprietà dell'anticipo zX(z) - Zx0 = AX(z) + BU(z) Y(z) = CX(z) + DU(z) Invece di avere equazioni alle differenze abbiamo equazioni algebriche! > Che porta a X(z) = z(zI -A)-1x0 + (zI -A)-1BU(z) Y(z) = Cz(zI -A)-1x0 + [C(zI-A)-1B + D]U(z) > Si definisce funzione (matrice nel caso MIMO) di trasferimento G(z) = C(zI-A)-1B +D > L'evoluzione forzata nell'uscita si può scrivere come Y(z) = G(z)U(z) · Osserva che se u(k) = 8(k) Z[gy(k)] = G(z) . 1

Evoluzione libera e forzata

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), y(k) = Cx(k) + Du(k) x(0) = x0 X(z) = z(zI -A)-1x0 + (zI -A)-1BU(z) Y(z) = Cz(zI -A)-1x0 + [C(zI -A)-1B + D]U(z) Evoluzione libera Evoluzione forzata Confrontando con la soluzione nel dominio del tempo ... k-1 x(k) = Ak x0 + Ak-h-1Bu(h) h=0 La trasformata dell'esponenziale discreto con base matriciale è Z [AK] = z(zI - A)-1 = z agg(zI - A) det(zI - A) Al denominatore abbiamo il polinomio caratteristico di A

Osservazioni sulla soluzione

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), y(k) = Cx(k) + Du(k) x(0) = x0 X(z) = z(zI -A)-1x0 + (zI-A)-1BU(z) Y(z) = Cz(zI - A)-1x0 + [C(zI-A)-1B + D]U(z) Osservazioni · La soluzione nel dominio della variabile complessa è solo formale · Bisogna: 1. Essere in grado di calcolare la trasformata U (z) degli ingressi u(k) 2. Essere in grado di antitrasformare X (z) e Y (z) per ottenere le risposte nello stato e nell'uscita del sistema nel dominio del tempo discreto In analogia a quanto fatto per il tempo continuo · per 1. supponiamo che gli ingressi sono funzioni per cui la trasformata sia ottenibile tramite le trasformate notevoli e le proprietà della Z-trasformata · Il problema 2. sarà oggetto di discussione

Struttura della funzione di trasferimento

Sistemi SISO

• Per sistemi SISO valgono le stesse considerazioni dei sistemi a tempo continuo
• Se D = 0 (sistema strettamente proprio): bn-1zn-1 + ... + biz + bo G(z) = C(zI-A)-1B = zn + an-1zn-1 + ... + az + ao
• È una funzione razionale fratta il cui denominatore è il polinomio caratteristico (minimo) di A e il numeratore ha grado al più n - 1
• Se D # 0 (sistema proprio): G(z) = C(zI -A)-1B + D = bnzn + bn-1zn-1 + ... + biz + bo zn + an-1zn-1 + ... + a1z + ao
• È una funzione razionale fratta il cui denominatore è il polinomio caratteristico (minimo) di A e il numeratore ha grado n
• Se numeratore e denominatore hanno radici in comune (cancellazioni) vuol dire che esiste nel sistema una parte non raggiungibile e/o non osservabile e alcuni degli autovalori di A non sono poli di G (z)

Rappresentazione i-u

Funzione di trasferimento

> La fdt è in relazione biunivoca con la rappresentazione i-u y(k +v) + ay-1y(k +v-1) + ... + any(k + 1) + aoy(k) = byu(k +v) + by-1u(k +v-1) + ... + bju(k + 1) + bou(k) > Trasformiamo a partire da condizioni iniziali nulle zVY(z) + av-1zV-1Y(z) + ··· + a1zY(z) + agY(z) = byzVU(z) + by-1zV-1U(z) + ··· + b1zU(z) + boU(z) > Quindi la f.d.t. Y(z) G(z) = U(z) byz" + by-1zv-1 + ... + biz + bo zV + ay-1zv-1 + ... + a1z + ao

• Esempio
• Integrazione numerica per trapezi y(k + 1) - y(k) = ん 一 2 (u(k+1) + u(k)) => G(z) = h/2(z+1) Z -1

Sistemi con ritardo di tempo

Trasformata di V(z)

Consideriamo il sistema x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k -h), h>0 y(k) = Cx(k) + Du(k - h) Definiamo il nuovo ingresso v(k) = u(k -h) · La trasformata di v(k) sarà V(z) = z-hu(z) Si ha G'(z) = Y(z) = C(zI - A)-1B + D V (Z) Y(z) Y(z) V(z) => G(z) = U(z) V(z) U(z) = G'(z)z-h -h

Calcolo della risposta

Antitrasformata e Risposte

Antitrasformata: f(k) = 1 2Tj Risposta in evoluzione libera Yı(z) = zC(zI -A)-1x0 . Si tratta di una funzione razionale fratta che a denominatore presenta il polinomio minimo di A e a numeratore sempre un termine monomio z (eventualmente moltiplicato per un polinomio di grado al più n - 1) Risposta in evoluzione forzata Yf(z) = [C(zI -A)-1B + D]U(z) = G(z)U(z) · Anche in tal caso si tratta di una funzione razionale fratta con al numeratore un termine monomio z che viene dalla trasformata Z dell'ingresso . Per antitrasformare una funzione razionale fratta, questa va sempre divisa per z e poi scomposta in fratti semplici, in modo che nell'antitrasformare, ciascun fratto semplice abbia a numeratore sempre un termine monomio z Z-1[Y(z)] = Z-1 |z rız Z- P1 Y(z) Z + ... + InZ Z - Pn Z -1 2 Z- P1 + ... + z - Pn = 2-1

Modi di Evoluzione

Risposta nello stato in evoluzione libera

E' di interesse considerare la risposta nello stato in evoluzione libera Xel(z) = z(zI -A)-1x0 Dipende solo dalla matrice dinamica e dalla condizione iniziale Come nel caso tempo continuo al denominatore abbiamo gli zeri del polinomio minimo di A (poli del sistema) Limitandosi alla molteplicità unitaria possiamo avere due casi ! · Polo reale, porta a un fratto semplice del tipo: zRi Z-1 Z - Pi Ripro_1(k) · Polo complesso (coppia di poli complessi p .* ) = a + jw = pe=je), porta a fratti semplici del tipo combinazione lineare di S zp sin(0) z2-2p cos(0)z+p2 + T z[z-p cos(0)] Z-1 pk sin(ek)8_1(k) e pk cos(ek)8_1(k) z2-2p cos(0)z+p2 = 2|Rilpk cos(0k + 2Ri)

Autovalori distinti con modulo minore di 1

· Modi di evoluzione relativi ad autovalori distinti con modulo minore di 1 · sono tutti convergenti

Pseudo-periodico rpk cos Ok, p < 1 k Im 0 k Aperiodico alternante rp₭, -1 < p<0 0 0 k 0 1 Re X X Aperiodico rpk, 0<r<1 ****** *** 0 k 0 k Impulsivo rok X * X

Autovalori distinti con modulo uguale a 1

· Modi di evoluzione relativi ad autovalori distinti con modulo uguale a 1 · sono tutti ad ampiezza limitata

Periodico r cos 0k * A Im * · 0 k * * 0 k 0 k * * * * * 0 1 Re * * * * *********** 0 k 0 k * * * * * Alternante r (-1)k Costante r1k

Autovalori distinti con modulo maggiore di 1

· Modi di evoluzione relativi ad autovalori distinti con modulo maggiore di 1 · sono tutti divergenti

Pseudo-periodico rpk cos Ok , p> 1 Im 0 k * X X * 0 k 0 k * * X 0 1 Re * * * X 0 k * * * Aperiodico rpk, p>1 Alternante rpk, p <- 1 *********** X k *

Classificazione dei modi di evoluzione

· Classificazione dei modi di evoluzione · Modi di evoluzione relativi ad autovalori doppi con modulo minore di 1 · sono tutti convergenti

Pseudo-periodico rkpk-1 cos ek, p< 1 * 0 k 0 k * * * X X 0 * k * k * * 0 1 Re * X X * 0 k ol k Impulsivo rk0k-1 Aperiodico rkpk, 0< p< 1 Aperiodico alternante rkpk, -1 <p<0 * ** 0 *

Criteri di convergenza e divergenza

· La classificazione dei modi di evoluzione è leggermente più articolata che nel caso a tempo continuo · Modo convergente se e solo se relativi ad un autovalore in modulo minore di 1 · Modo divergente se e solo se relativi ad un autovalore in modulo maggiore di 1 o uguale a 1 con molteplicità maggiore di 1 come radice del polinomio minimo

Im 0 1 Re Frontiera della regione di convergenza

Stabilità dei sistemi LTI

Criteri di stabilità

Come per i sistemi a tempo continuo, la stabilità è una proprietà del sistema, cioè è la stessa per tutti i movimenti del sistema (dimostrazione analoga basata sul principio di sovrapposizione degli effetti) · Quindi si studia la stabilità dell'origine dello spazio di stato che è punto di equilibrio per u = 0 (x = Ax ha per soluzione x = 0) o Il movimento perturbato rispetto al punto di equilibrio è il movimento libero a partire dalla condizione iniziale xo 0 x1(k) = Akx0 o Tale movimento rimane limitato se tutti gli autovalori di A sono in modulo ≤ 1 e quelli con modulo unitario hanno molteplicità unitaria come radici del polinomio minimo o Tale movimento converge a zero (torna nel punto di equilibrio) se tutti gli autovalori di A sono in modulo < 1 0 Negli altri casi, tale movimento si allontana definitivamente dall'origine Teorema 1: Un sistema LTI a tempo discreto è stabile se e solo se tutti gli autovalori di A sono in modulo ≤ 1 e quelli con modulo unitario hanno molteplicità unitaria come radici del polinomio minimo > Teorema 2: Un sistema LTI a tempo discreto è asintoticamente stabile se e solo se tutti gli autovalori di A sono in modulo < 1 > Teorema 3: Un sistema LTI a tempo discreto è instabile se e solo se esiste almeno un autovalore di A in modulo > 1 o con modulo = 1 con molteplicità > 1 come radice del polinomio minimo

Stabilità dei sistemi LTI - Trasformazione bilineare

Criterio di Jury e Trasformazione bilineare

· Stabilità dei sistemi LTI · Occorre un criterio che ci consenta di stabilire se le radici di un polinomio sono in modulo minori di 1 o no, senza calcolarle . Esistono criteri specifici (criterio di Jury), ma è conveniente ricondurre il problema a quello di determinare il segno della parte reale (per usare poi il criterio di Routh) · Trasformazione bilineare 1 +s 1 - s · Basta osservare che, posto s = a + jb, |2|<1 年 1 1 +S V 1 - S ₹1+a<1-a=a<0=n(s)<0 . La trasformazione mappa il semipiano sinistro in s nel cerchio di raggio 1 in z · È sufficiente applicare questa trasformazione al polinomio caratteristico p(z) della matrice dinamica A e applicare il criterio di Routh al numeratore della funzione razionale fratta P(s) che si ottiene P(s) = p(z)| ZE- 1+s 1-S Im(z): 1+s Im(s) 1-s 1 0 Re(z) 0 Re(s)