Modelli di variabili aleatorie discrete e di Bernoulli, Uniroma1

Modelli di variabili aleatorie discrete

Roberta Varriale roberta.varriale@uniroma1.it Varriale R. Statistica 1 / 31Variabili aleatorie di Bernoulli

Variabili aleatorie di Bernoulli

Variabili aleatorie di Bernoulli. Supponiamo che sia realizzata una prova (esperimento), che può concludersi in un successo (X = 1), o in un fallimento (X = 0). Una variabile aleatoria X si dice di Bernoulli se la sua funzione di massa di probabilità è del tipo P(X =1) = p P(X = 0) = 1 - p con 0 ≤ p ≤ 1. Varriale R. Statistica 2 / 31Variabili aleatorie di Bernoulli

>p = E[X] = p E[X] = 1 . p + 0 . (1 - p) = p o2 = Var[X] = p(1 - p) Var[X] = (1 - p)2p + (0 - p)2(1 - p) =(1- p)p(1-p+p) =(1-p)p p(1-p) 0.25 0 0.5 p 1 Varriale R. Statistica 3 / 31Variabili aleatorie di Bernoulli e binomiali

Variabili aleatorie di Bernoulli e binomiali

La distribuzione binomiale è un modello per il numero di successi in n prove identiche e indipendenti L'ordine in cui si presentano i successi è irrilevante, conta solo il totale Ogni prova ha come esito successo/insuccesso e quindi ha distribuzione Bernoulli Varriale R. Statistica 4 / 31Variabili aleatorie di Bernoulli e binomiali (Continua)

Formalizzazione delle variabili aleatorie di Bernoulli e binomiali

▶ Formalmente: sia X1, X2, ... , Xn un insieme di n v.a. Bernoulli sia X = >; X; la loro somma. Poiche ogni X; vale 1 in caso di successo e 0 altrimenti, X è interpretabile come il numero totale di successi sulle n prove (e quindi assume come valori gli interi tra 0 e n) Se le n v.a. Bernoulli sono iid-p (indipendenti e identicamente distribuite con probabilità di successo p) allora la v.a. X ha distribuzione binomiale di parametri n e p, in simboli X ~ B(n, p) Varriale R. Statistica 5 / 31Variabili aleatorie di Bernoulli e binomiali (Continua)

Requisiti per la distribuzione binomiale

La variabile somma X = > X; è sempre interpretabile come numero totale di successi sulle n prove, ma la sua distribuzione è binomiale quando le prove soddisfano i due requisiti menzionati:

• Indipendenza: il risultato di una prova non dipende in alcun modo dal risultato delle altre prove P(XinXj) = P(X;)P(X) Vi != j
• Prove identiche: la probabilità di successo è la stessa in tutte le prove P(X;) = P(X;) Vi ! = j

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Violazione dei requisiti di indipendenza e prove identiche

I requisiti di indipendenza e prove identiche sono soddisfatti quando si lancia ripetutamente una moneta oppure quando si effettuano estrazioni da un'urna con reintroduzione Il requisito di indipendenza è violato quando la probabilità di successo in una prova dipende dal risultato delle altre, ad es. quando si effettuano estrazioni da un'urna senza reintroduzione oppure quando si valuta la decisione di acquisto da parte di un insieme di clienti che si influenzano a vicenda Il requisito di prove identiche è violato quando la probabilità di successo cambia nel tempo, ad es. perchè le prove sono effettuate da un soggetto che impara con l'esperienza Varriale R. Statistica 7 / 31Variabili aleatorie di Bernoulli e binomiali (Continua)

Definizione e funzione di massa di probabilità delle variabili aleatorie binomiali

Variabili aleatorie binomiali. Date n ripetizioni indipendenti di un esperimento, ciascuna delle quali può concludersi in un successo con probabilità p o in un fallimento con probabilità 1 - p, se si denota con X il numero totale di successi, allora X si dice variabile aletoria binomiale di paramtri (n, p). La funzione di massa di probabilità è P(X = i) = i n p'(1 - p)"-i, i=0,1, ... ,n dove (") è il coefficiente binomiale che rappresenta il numero di combinazioni differenti che possiamo ottenere scegliendo i elementi da un insieme di n oggetti. Varriale R. Statistica 8 / 31Variabili aleatorie di Bernoulli e binomiali (Continua)

Parametri della funzione di massa di probabilità binomiale

i n P(X = i) = ( p'(1 - p)"-i, i=0,1, ... , n n € {1,2, ... } nelle applicazioni n è noto i E {0,1,2, ... , n} supporto p € {0, 1} spazio parametrico Varriale R. Statistica 9 / 31Variabili aleatorie di Bernoulli e binomiali (Continua)

Interpretazione della formula della funzione di massa di probabilità binomiale

Interpretazione della formula della funzione di massa di probabilità della v.a. binomiale: la probabilità di una specifica successione di i successi e (n - i) insuccessi indipendenti è pari a p . p . . . . p . (1 - p) . (1 - p) . .. (1 - p) = p'(1 - p)"-i. Non essendo interessati all'ordine di presentazione dei successi, ma solo al loro numero, tali probabilità dovranno essere sommate (sono eventi incompatibili!) tante volte quante sono le combinazioni di n elementi di classe i. Varriale R. Statistica 10 / 31Variabili aleatorie di Bernoulli e binomiali (Continua)

Forma della distribuzione binomiale

La forma della distribuzione binomiale dipende dai valori di p e n n = 5 e p = 0.1: distribuzione asimmetrica positiva P(x) n = 5 p = 0.1 .6 .4 .2 I - 0 X 0 1 2 3 4 5 n = 5 e p = 0.5: distribuzione simmetrica P(x) n = 5 p = 0.5 6 4 .2 0 - X 0 1 2 3 4 5 Varriale R. Statistica 11 / 31Esercizio

Esercizio sui dischetti difettosi

Un'azienda produce dischetti per PC che sono difettosi con probabilità 0.01, indipendentemente l'uno dall'altro. Questi dischetti sono poi venduti in confezioni da 10 pezzi, con la garanzia di rimborso in caso vi sia più di un pezzo difettoso. Qual è la percentuale delle confezioni restituite? Se si comprano tre confezioni, qual è la probabilità di restituirne esattamente una? Varriale R. Statistica 12 / 31Variabili aleatorie di Bernoulli e binomiali (Continua)

Rappresentazione della variabile binomiale come somma di variabili di Bernoulli

Se X è binomiale di parametri (n, p), si può scrivere x = Xxi i=1 n dove X¡ è la funzione indicatrice del successo dell'i-esimo esperimento Xi := - 1 se la prova i-esima ha successo 0 altrimenti Varriale R. Statistica 13 / 31Variabili aleatorie di Bernoulli e binomiali (Continua)

Media e varianza delle variabili di Bernoulli e binomiali

Ciascuna X¡ è una bernoulliana di parametro p. Ne segue che E[X]] = p E[X2] = p infatti Xi = X2 Var(Xi) = E[X] - E[X¡]2 = p -p2 = p(1 - p) Poichè la variabile binomiale è ottenuta come somma di n variabili bernoulliane indipendenti, allora n E[X] = E[X]] = np i=1 Var(Xi) = np(1 - p) i=1 n Var(X) = > Varriale R. Statistica 14 / 31Variabili aleatorie di Bernoulli e binomiali (Continua)

Esempi di media e varianza per la distribuzione binomiale

n = 5 e p = 0.1; E[X] = np = (5)(0.1) = 0.5 Var(X) = \(5)(0.1)(1 - 0.1) = 0.6708 P(x) n = 5 p = 0.1 .6 .4 .2 - 0 X 0 1 2 3 4 5 n = 5 e p = 0.5; E[X] = 2.5 \ Var(X) = 1.118 P(x) n = 5 p = 0.5 .6 .4 .2 0 X 0 1 2 3 4 5 Varriale R. Statistica 15 / 31Variabili aleatorie di Bernoulli e binomiali (Continua)

Proprietà e calcolo della distribuzione binomiale

Se X1 e X2 sono binomiali di parametri (n1, p) e (n2, p) e sono indipendenti, allora la loro somma X1 + X2 risulterà essere una binomiale di parametri (n1 + n2, p). Calcolo esplicito della distribuzione binomiale. È molto utile la seguente relazione tra P(X = k + 1) e P(X = k) P(X = k +1) = p n- k 1-pk+1 P(X = k) Varriale R. Statistica 16 / 31Variabili aleatorie di Poisson

Variabili aleatorie di Poisson

Variabili aleatorie di Poisson. Una variabile aleatoria X che assuma i valori 0, 1,2, ... , è una variabile aleatoria di Poisson di parametro À con > > 0, se la sua funzione di probabilità è data da P(X = i) = i! i ~ i = 0, 1, 2, ... dove e è la costante di Nepero e A un numero reale positivo. L'unico parametro caratterizzante la distribuzione di Poisson è À, che coincide con la media e la varianza della variabile casuale stessa. Varriale R. Statistica 17 / 31Variabili aleatorie di Poisson (Continua)

Contesto di applicazione della distribuzione di Poisson

La distribuzione di Poisson riguarda il numero di eventi registrati in un ambito circoscritto di tipo temporale, spaziale, concettuale; cioè, si parla di variabile casuale di Poisson quando interessa conoscere il numero X di eventi (accadimenti, successi, ... ) che si verificano in uno specifico intervallo di tempo o di spazio o di circostanze. Esempi: si distribuiscono secondo una v.a. di Poisson il numero di clienti che arriva allo sportello bancario ogni ora, il numero di chiamate che arriva ad un centralino ogni 10 minuti, il numero di auto in attesa al casello autostradale ogni minuto, il numero di incidenti mortali tra gli operai addetti ad un certo processo chimico pericoloso per ogni impianto funzionante, il numero di pezzi difettosi prodotti da ciascun macchinario di un'azienda, ecc. Varriale R. Statistica 18 / 31Variabili aleatorie di Poisson (Continua)

Somma delle probabilità nella distribuzione di Poisson

La somma delle probabilità, per questa v.a. discreta che può assumere l'infinità (numerabile) di valori diversi 0, 1,2, ... , è pari ad 1: 00 i=0 >P(X= i) = e-> 00 i=0 λ i! i = e e =1 i = 0, 1, 2, ... Varriale R. Statistica 19 / 31Variabili aleatorie di Poisson

Funzione generatrice dei momenti per la distribuzione di Poisson

Per determinare media e varianza, la funzione generatrice dei momenti risulta essere ø(t) := E[et ] = exp[](et -1)]. Infatti: 00 E[etx]= >etip(X=i) =Detine-> i=0 00 i e 00 i=0 i=0 i=0 00 (det)' i! = e-deter = exp[\(et - 1)]. = = e e Varriale R. Statistica 20 / 31Variabili aleatorie di Poisson

Derivazione della funzione generatrice dei momenti e parametri

Derivando la funzione generatrice dei momenti si trova d'(t) = Xet exp[X(et -1)] "(t) = (det)2 exp[>(et -1)] + det exp[x(et -1)] Valutando le due espressioni in t = 0, si ottiene E[X] = ¢'(0) = ) Var(X) = 6"(0) - E[X]2 = 12 + 1 - X2 = 1 L'unico parametro caratterizzante la distribuzione di Poisson ) coincide con la media e la varianza della variabile casuale stessa. Varriale R. Statistica 21 / 31Variabili aleatorie di Poisson (Continua)

Rappresentazione grafica della distribuzione di Poisson

Rappresentazione grafica della distribuzione di Poisson 0.7 0.6 ). = 0.5 05 0.4 f(x) 0.3 0.1 0 0 1 2 3 4 X 0.4 0.35 2 = 1 0.3 0.25 f(x) 02 0.15 0.1 0.05 0 O 1 2 3 4 5 x 0.35 0.3 A =2 0.25 0.2 f(x) 0.15 0.1 0.05 O 0 1 2 3 4 5 6 7 X 0.2 0.18 2 = 4 0.16 0.14 0.12 f(x) 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 × Varriale R. Statistica 22 / 31Variabili aleatorie di Poisson (Continua)

Ulteriore rappresentazione grafica della distribuzione di Poisson

Rappresentazione grafica della distribuzione di Poisson 0.15 2 = 8 0.1 f(x) 0.05 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 x 0.1 0.09 2. = 16 0.08 0.07 0.05 f(x) 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 X Varriale R. Statistica 23 / 31Variabili aleatorie di Poisson (Continua)

Approssimazione e calcolo della distribuzione di Poisson

La variabile aleatoria di Poisson può essere utilizzata come approssimazione di una binomiale di parametri (n, p) quando n è molto grande e p molto piccolo, ponendo à = np. La somma di due variabili poissoniane indipendenti è ancora una poissoniana. Calcolo esplicito della distribuzione di Poisson. È molto utile la seguente relazione tra P(X = i + 1) e P(X = i) P(X = i+ 1) = λ i+1 P(X = i) dove P(X = 0) = e-1. Varriale R. Statistica 24 / 31Esercizio

Esercizio sulle magliette difettose

Il dipartimento per il controllo di qualità della Shirt Manufacturing Company rileva che per ciascuna spedizione di 10.000 magliette circa 5 vengono rimandate indietro in quanto presentano delle imperfezioni nelle cuciture. L'azienda ha in programma 2 spedizioni ad un cliente di New York. Qual è la probabilità che più di 10 magliette siano restituite per la sostituzione? p = probabilità di trovare una maglietta difettosa = 5/10.000 n = numero totale di magliette = 2x10.000 = 20.000 X = n. medio magl. difet. = n · p = 20.000 · (5/10.000) = 10 X = numero di magliette difettose quindi: P(X > 10) = 1 - P(X ≤ 10) = 1 - 10 E i=0 10'e 10 i! 10 > i=0 l'et i! =1- = 1 -0,583 = 0,417 = 41,7% Varriale R. Statistica 25 / 31