Funciones vectoriales de variable real, Universidad Abierta y a Distancia de México

Matemáticas

Cálculo de varias variables I

Semestre 3 Unidad 2. Funciones vectoriales de variable real Clave Universidad Abierta y a Distancia de México DCEITUnidad 2. Funciones vectoriales de variable real

Índice

UNIDAD 2. FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL.

3 Presentación de la unidad. 3 Competencia específica 4 Logros 4

2.1. Curvas en el espacio

5

2.2. Velocidad y aceleración

10

2.3. La derivada de una función vectorial

10

2.4. Longitud constante.

21

2.4.1. Integral de una función vectorial

23 Aprendo observando 27 Aprendo haciendo 27 Aprendo leyendo 28 Fuentes de consulta. 28 UnADM | DCEIT | MT | MCVV1 2Unidad 2. Funciones vectoriales de variable real

UNIDAD 2. FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL

Presentación de la unidad

Hasta ahora has estudiado funciones reales de variable real, también llamadas funciones escalares, es decir, funciones cuyo dominio y rango es el conjunto de los números reales R. Sin embargo hay funciones que dependen de más de una variable, es decir que su dominio puede ser R2 o R3, o incluso un conjunto de dimensión mayor a tres. También hay funciones cuyo rango es R2, R3, o un subconjunto de alguno de ellos. Mira algunos ejemplos de diferentes tipos de funciones:

Una variable de entrada y una variable de salida f(x) =x3 Varias variables de entrada, una variable de salida f(x) =x3+x5 Una variable de entrada, varias variables de salida f(t)=(cos(t),sen(t)) Varias variables de entrada, varias variables de salida f(u, v) = (u3 - v,u2 + v)

Las funciones de varias variables, tanto de entrada como de salida, son ampliamente utilizadas para modelar fenómenos en la ciencia.

En Cálculo hay dos temas fundamentales:

• Derivadas, que estudian razones de cambio conforme se modifica la variable de entrada. .
• Integrales, que estudian cómo sumar un número infinito de cantidades infinitesimales que constituyen la salida de una función.

El Cálculo de varias variables extiende estas ideas a funciones con entradas y/o salidas de mayor dimensión. UnADM | DCEIT | MT | MCVV1 3Unidad 2. Funciones vectoriales de variable real

En esta unidad estudiaremos funciones que dependen de una variable, es decir que su dominio es R, y cuyo rango es un conjunto de vectores, es decir IR2 o R3, vistos como espacios vectoriales. Decimos que estas funciones son valuadas como vectores, y es aquí donde veremos la relación entre la unidad 1 de esta asignatura y el cálculo. También estudiaremos las derivadas e integrales de estas funciones vectoriales, la longitud, la velocidad, la rapidez y la aceleración a lo largo de ese espacio. Como material adicional se propone estudiar la segunda ley de Kepler.

Figura 1. Competencia

Competencia específica

Utilizarás funciones vectoriales para describir movimientos en el espacio.

Logros

• Desarrollar habilidades para describir la trayectoria del movimiento de un objeto en el espacio por medio de una función vectorial.
• Utilizar funciones vectoriales para describir el movimiento y la trayectoria de un objeto en el espacio, así como su velocidad, aceleración, rapidez, vector tangente y longitud.

Figura 2. Propósito UnADM | DCEIT | MT | MCVV1 4Unidad 2. Funciones vectoriales de variable real

2.1. Curvas en el espacio

En la unidad 2 de la asignatura Geometría analítica I se estudiaron brevemente las curvas paramétricas como la trayectoria del movimiento de un objeto en el plano cartesiano cuya expresión algebraica es P(t) = (x(t), y(t)) donde el tiempo t es un parámetro y x(t), y(t)son las ecuaciones paramétricas de la curva. Viste que de hecho la gráfica de cualquier función real de variable real (f: R -> R) tiene ecuaciones paramétricas: x = x, y(x) = f (x), y se dieron algunos enlaces donde puedes encontrar mucho ejemplos de este tipo de curvas, mismos que incluimos al final de esta unidad.

Por medio de P(t) estamos modelado cómo se mueve un objeto en el plano, por ejemplo una partícula, a través del tiempo, con una función que toma un número, el tiempo, y nos da dos números, las coordenadas de la partícula.

En el siguiente vídeo sobre funciones valuadas en vectores de posición puedes ver la relación entre una curva parametrizada y una función vectorial.

1 0:06/7:46 Funciones de posición con valores vectoriales, tomada de KhanAcademyEspañol (2013), recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=yANR1DI3SYo UnADM | DCEIT | MT | MCVV1 5Unidad 2. Funciones vectoriales de variable real

La función P(t) = (x(t), y(t)) podría expresarse, utilizando la notación de la unidad 1 para vectores, como P(t) = {x(t), y(t)) =x(t)î + y(t)j. O sea que P(t) = P(t) es también un vector en IR2 que indica la posición del objeto para cada tiempo t.

Revisa las secciones Motivación de la unidad didáctica Curvas paramétricas en el espacio, en esta unidad podrás ver dos ejemplos de aplicaciones de estas curvas, y la sección Inicio donde se define la Parametrización de una curva en el espacio.

Curvas paramétricas en el espacio

Movimiento de una particula

Matemáticas El movimiento de un partícula en el espacio describe un curva. El siguiente video muestra una aramación del movimiento de particulas cargadas en un campo electromagnético. 030-Motion of charged particles in perpendic.@ Motivación Inicio Desarrollo Cierre

En esta definición no debes confundir el punto P(f(t), g(t), h(t)) en algún tiempo t, con el vector r(t) = (f(t), g(t), h(t)) en ese tiempo t. Independientemente del nombre, ya sea r(t) o P(t), ésta es una función vectorial donde t es una variable real. Verás que una parametrización es una función con valores vectoriales o función vectorial, que es una regla que asigna un vector en el espacio a cada elemento de su dominio. En la sección Desarrollo puedes ver algunos ejemplos, sus gráficas y cómo varían de acuerdo a ciertos coeficientes. Dejaremos la sección Cierre para más tarde.

En la siguiente sección Ecuación paramétrica de una recta en el espacio puedes ver algunos ejemplos de cómo obtener la parametrización de una recta.

Ecuación paramétrica de una recta en el espacio.

I UnADM | DCEIT | MT | MCVV1 6Unidad 2. Funciones vectoriales de variable real

P = (x,y,z) Po = Punto v =Dirección «

Ejemplo 1.

Escribe la ecuación paramétrica de una recta que pasa por el punto Po = (1,2,3) paralela al vector ī = (1,3,5).

Solución:

Si P = (x, y,z) está sobre la recta, entonces el vector PoP = (x - 1, y - 2, z - 3) es paralelo a (1,3,5). Es decir, POP es un múltiplo escalar de (1,3,5). Llamamos t al escalar y escribimos: (x, y,z) = {x-1,y-2,z-3) = t(1,3,5) = x -1 = t, y -2 = 3t, z - 3 = 5t = x=1+t,y=2+3t, z=3+5t. Entonces la parametrización de esta recta es s(t) = (1 + t, 2 + 3t, 3 + 5t)

Ejemplo 2.

En el ejemplo anterior, si el vector de dirección hubiera sido (2,6,10) = 20 hubiéramos obtenido la misma recta con una parametrización diferente. O sea que el objeto (o partícula) cuya trayectoria es esta recta sigue el mismo camino que la trayectoria en el ejemplo 1, pero llegaría a cada punto en la recta en un tiempo diferente.

En general, la recta por el punto Po = (x0, yo, Zo) en la dirección de v = (11, 12, 13), es decir paralela a ī, tiene la parametrización (x, y, z) = (x) +tv1, yo + tv2, Zo +tv3) x = x0 + tv1, y = yo + tv2, Z =Z0 +tv3.

Ejemplo 3.

Encuentra la recta que pasa por los puntos Po = (1,2,3) y P1 = (2,5,8). UnADM | DCEIT | MT | MCVV1 7Unidad 2. Funciones vectoriales de variable real

Solución:

Utilizamos los datos para encontrar los datos necesarios, un punto y una dirección. Nos dan dos puntos, elegimos uno, digamos Po = (1,2,3). El vector de dirección es POP1 = (1,3,5). Así, obtenemos (x, y, z) = OPo + tī = (1 + t, 2 + 3t, 3 + 5t) = x=1+t,y=2+3t,z=3+5t. Por lo que la parametrización de esta recta es s(t) = (1 + t, 2 + 3t, 3 + 5t).

Veamos un ejemplo un poco menos sencillo pero clásico, una hélice. Observa que la siguiente función vectorial está definida para todos los valores reales de t r(t) =(cost) î+ (sent}}+ tk. Para saber cómo es la curva correspondiente observemos que las componentes î y î de r son las coordenadas x y y de r, y satisfacen la ecuación del cilindro x2 + y2 = (cost)2 + (sent)2 = 1. Observemos también que la curva se eleva conforme a la componente k, es decir la coordenada z = t, aumenta de valor. Por lo tanto la curva se encuentra sobre el cilindro y tiene la siguiente forma:

Z 1 2.TT t = TT t = 2TT I t = r 2 1 (1, 0, 0) t=0 x2 + 2 = 1 x

Figura 3.Cilindro Tomada de Thomas, G. (2005). Cálculo. Varias variables. México. Pearson Educación. Pg. 856. UnADM | DCEIT | MT | MCVV1 8Unidad 2. Funciones vectoriales de variable real

A partir del siguiente ejemplo podrás entender la importancia de representar una curva en forma paramétrica.

La ecuación canónica de una hélice es x + y = 3 con x y y no negativas. Si estuviéramos considerando el plano R2 sería la ecuación de una recta. En el espacio (R3), si consideramos una vista tal que veamos desde arriba el plano XY, esta ecuación muestra una recta, pero la trayectoria paramétrica solo traza una parte de ella:

y T

Figura 4. Trayectoria paramétrica

De hecho, va hacia adelante y hacia atrás sobre parte de la recta en el primer cuadrante, puesto que con x y y son no negativas.

Sin embargo si consideramos su forma paramétrica (o su parametrización), x = 3(cost)2, y = 3(sen t)2, expresada como una función vectorial: r(t) =(3(cost)2,3(sent)2) es una hélice alrededor del eje z.

Z m > y

Figura 5. hélice alrededor del eje Z

Podemos concluir que a veces se pierde información al considerar cierto tipo de ecuación de una curva. En este caso, la ecuación paramétrica nos proporciona más información. UnADM | DCEIT | MT | MCVV1 9Unidad 2. Funciones vectoriales de variable real

2.2. Velocidad y aceleración

Mencionamos en la presentación de la unidad que uno de los objetos de estudio del cálculo es la razón de cambio. ¿ Cuál podría ser un ejemplo de razón de cambio que podría interesarnos en el caso del movimiento de un objeto que tiene como trayectoria una curva en el espacio? Seguramente te viene a la mente la velocidad del objeto en movimiento, que además podemos expresar como un vector; la aceleración, también expresada como vector; y la razón a la que cambia la coordenada x o y del objeto.

2.3. La derivada de una función vectorial

En tu curso de Cálculo diferencial se da una interpretación de la derivada de una función como la pendiente de la recta tangente en cada punto de la gráfica de la función. La interpretación de la derivada de una función vectorial es diferente a la de una función real de variable real. Veamos un ejemplo: Consideremos la función r(t) =(cost,sent,t/3)=(cost)î+(sent}}+t/3k, para calcular su derivada, calculamos la derivada de cada una de sus componentes: ar (t)=((cost)}+((sent)+(at/3)k =(-sint)î + (cost)} + 1/3 k Sir(t) = (x(t), y(t), z(t)), podemos escribir la derivada como r'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t)). Para el ejemplo anterior, ¿cómo podemos visualizar lo que significa la derivada? Sabemos que cada punto de la curva está justo en la punta del vector de posición (costo , sento , to/3) para algún to específico. Por ejemplo para to = 1 dibujamos un vector r(1) = (cos 1, sen 1, 1/3) ~ (0.54, 0.84, 1/3) UnADM | DCEIT | MT | MCVV1 10