Cálculo de los Valores de Probabilidad en distribuciones continuas

Cálculo de los Valores de Probabilidad

1. Distribución de variables continuas. 2. Distribución normal. Propiedades de la curva normal. Distribución normal tipificada. Valores y desviación típica. 3. Cálculo de probabilidad. Límites 2 o

Distribuciones de Variables Continuas

Para examinar los datos de una variable continua, las tablas de distribución de frecuencias, las representaciones gráficas mediante diagrama de tallos, histograma, polígono de frecuencias y el cálculo de los índices estadísticos describen la forma de la distribución, su centro y su dispersión, así como observaciones extremas o atípicas.

Al representar la distribución de frecuencias para una variable cuantitativa continua mediante un histograma, la altura de cada rectángulo de clase representa el total de puntos observados en ese intervalo; es decir, la densidad de puntos o proporción de datos para cada intervalo, de modo que el área total bajo la curva es de 1.

Supongamos la variable glucemia. Al ser cuantitativa continua, en teoría podemos tener infinitos valores de glucemia. Para representar la distribución, dibujamos una columna para cada intervalo, cuya altura sea proporcional al número de casos de este. Si aumentamos el tamaño de la muestra, o el número de observaciones fuese de toda la población, y si también aumentamos el número de intervalos (disminuimos la amplitud de los intervalos), representaremos mayor número de puntos, siendo el polígono de frecuencias una curva lisa, sin cambios bruscos cada vez más suave, que se llama curva de densidad de probabilidad.

Al trabajar con muestras, el polígono de frecuencias es una representación aproximada de la población. En la práctica, se sustituye el polígono de frecuencias por una línea curva que se ajusta al histograma.

Las distribuciones de probabilidad son idealizaciones de los polígonos de frecuencias

Las distribuciones de probabilidad son idealizaciones de los polígonos de frecuencias. El origen de las distribuciones continuas de probabilidad está en el histograma.

En teoría de la probabilidad, la curva de densidad de una variable aleatoria continua permite hacer cálculos de probabilidad (Figura 1).

1Histograma distribución de glucemia Pacientes 18 160 140 120 100 80 60 40 20 0 50-56 56-62 62-68 68-74 74-80 80-86 86-92 92-98 98-104 104-110 110-116 116-120 120-126 132-138 138-144 Glucemia (mg/dL) Figura 1. Histograma obtenido a partir de la determinación de glucemia (mg/dL) para 1020 individuos

Observa que la distribución es bastante simétrica, sin observaciones atípicas. La curva dibujada es un modelo matemático de la distribución idealizado, cuya función matemática función de densidad f(x) es la expresión en términos de ecuación matemática de la curva de Gauss, también conocida como curva normal, campana de Gauss o distribución normal (Figura 2).

f(x)= 1 D N/ x - M) 2 Para -0

RECUERDA QUE La variable estadística está relacionada con la recolección de una muestra de datos y la obtención de frecuencias, mientras que la variable aleatoria siempre está vinculada con un experimento aleatorio. Se diferencian principalmente por el uso que se da a las variables aleatorias. Para las variables aleatorias se utilizan letras mayúsculas X, Y ... Las letras minúsculas (x, y ... ) designan valores concretos de cada una de ellas.

2La forma de la distribución f(x) aparece en la Figura 2, con la característica forma de campana.

Campana de Gauss

f(x) Ν(μ. ) 0 - > u - 0 u+ 0 x Figura 2. Distribución de la curva normal o campana de Gauss.

RECUERDA QUE Una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de media µ y desviación típica o y se designa por N (u, ơ).

La curva de densidad describe el aspecto general de una distribución que se halla sobre el eje de las abscisas (x) y deja por debajo un área igual a 1 que corresponde a una probabilidad total igual a 1.

Como en la ecuación la función incluye dos constantes (1 y e), el valor de la probabilidad de una variable X dependerá de la media (u) y de la desviación estándar (o). La variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor entre más infinito y menos infinito.

Las distribuciones de probabilidad de una variable continua son idealizaciones de las distribuciones estadísticas de variable continua. Asimismo, se definen por medio de una función y = f(x) que se denomina función de probabilidad o función de densidad.

Ha de ser f(x) ≥ 0 para todo x. Las probabilidades vienen dadas por el área bajo la curva. Por tanto, el área encerrada bajo la totalidad de la curva es 1.

Si queremos conocer la probabilidad de que un valor x se encuentre entre dos puntos a y b, hay que calcular el área por debajo de la curva en ese intervalo. La probabilidad de que una variable aleatoria X tome un valor determinado entre dos 3números reales a y b coincide con el área encerrada por la función de densidad de probabilidad f(x) entre los puntos a y b (Figura 3), es decir:

b Plasxsb)={f(x)dx a

RECUERDA QUE La función de densidad es la expresión en términos de ecuación matemática de la curva de Gauss

f(x) 0,7 0,6 0,5 0,4 P(a

Distribución Normal y sus Propiedades

Distribución normal

Las distribuciones de frecuencias de variables aleatorias continuas pueden tomar distintas formas, pero una de las más comunes y frecuentes, que se da en muchos fenómenos tanto biológicos (peso, glucemia ... ) como sociales, es la distribución normal o aproximadamente normal. Esta es la más importante de las distribuciones estadísticas.

La curva normal es una clase particularmente importante de curvas de densidad que son simétricas y con un solo pico. También se la denomina campana de Gauss, pues al representar su función de probabilidad, adopta forma de campana.

4En un principio, se pensaba que todas las distribuciones seguían una campana de Gauss, por eso se le conoce como "normal" o "estándar", considerando que este tipo de distribución era lo común. Su nombre se atribuyó a Gauss por un error histórico (1809), pero en realidad la primera vez que se empleó fue en 1733 por Moivre y en 1775 por Laplace.

Galton realizó un experimento sobre un tablero inclinado, donde había distribuidos regularmente un sistema de clavos. Estos permitían deslizar un gran número de bolas que procedían de un depósito superior del aparato. Las bolas, al chocar con los clavos, se alejan en mayor o menor medida de la línea central de caída, según la ley del azar. Recogiendo estas bolas en compartimientos estrechos, distribuidos a lo largo del borde inferior del tablero, las alturas que alcanzan las bolas en las distintas columnas dan una idea, bastante clara, de la distribución normal (Figura 4).

.00 Figura 4. Experimento de Galton. https://www.fisterra.com/mbe/ investiga/distr_normal/distr_normal.asp Fisterra.com https:/www.youtube.com/watch?v=5 HVBhwhwV8 Máquina de Galton https://www.youtube.com/ watch?v=8P2pfJ_gXPE Máquina de Galton casera

RECUERDA QUE Una distribución normal de probabilidad es un modelo de una distribución de variables cuantitativas continuas, cuyo origen está en el histograma de frecuencias

Una de sus características más importantes es que casi cualquier distribución de probabilidad, tanto discreta como continua, se puede aproximar por una normal bajo ciertas condiciones.

Las curvas de densidad que nos resultan más familiares son las normales. Así, las distribuciones normales son modelos de probabilidad que asignan probabilidades como áreas por debajo de una curva de densidad.

Propiedades de la curva normal

Las distribuciones normales son modelos de probabilidad que asignan probabilidades como áreas por debajo de una curva de densidad

Las propiedades de la curva normal son: › Todas las distribuciones normales tienen el mismo aspecto de campana. › La curva de densidad es simétrica respecto a su media, mesocúrtica y unimodal. › La moda, mediana y media coinciden en el mismo valor, se sitúan en el centro de la curva simétrica; así, el 50 % del área está a la derecha de la media y el otro 50 % a su izquierda. › El área total comprendida entre la curva y eje de abscisas es la unidad. › La distancia horizontal que hay desde el punto de inflexión de la curva (punto donde la curva pasa de ser cóncava a convexa) hasta una perpendicular levantada sobre la media es igual a la desviación típica (o). › La curva depende de la media (u) y la desviación típica (o). Por lo tanto, para cada par de valores u y o, se obtienen diferentes curvas (Figura 5).

μ = 9 σ = 1 200 μ = 9 σ= 2 180 μ = 9 σ= 4 160 = = 5 0 =1 140 - 120 - O 100 - 1 80 1 60 - - 40 1 1 20 T 1 0 -T 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 μ Figura 5. Función de densidad de probabilidad para la distribución normal.

6 - Distribución normal estándarObserva las curvas en la Figura 5 con distintos valores de desviación típica y la misma media. Si cambia la media (u) sin cambiar la desviación típica (o), se provoca un desplazamiento de la curva de densidad a lo largo del eje de las abscisas sin que cambie su dispersión. La desviación típica o controla la dispersión de la curva normal. Para indicar que una variable aleatoria (v.a.) sigue una distribución normal de media u y desviación estándar o usaremos la expresión: X~N (μ,σ).

RECUERDA QUE La distribución normal es la más empleada y la que se usa como modelo para el mayor número de fenómenos de la vida real. La función de densidad de probabilidad está asociada a las variables cuantitativas continuas y la probabilidad viene dada por el área bajo la curva.

› Una de las características de la distribución normal es que la distribución de probabilidades siempre cumple la regla del 68-95-99,7. Entre la media y más o menos una desviación típica (+1S y -1S) se encuentra el 68 % del área (68 % de los datos). De la misma forma, el 95 % del área se encuentra limitada entre 1,96 ~ 2 (desviaciones típicas a izquierda y derecha de la media) y el 99,7 % entre 3 desviaciones típicas a la derecha e izquierda de la media (Figuras 6-9).

Área (u ± 1g) = 0,6826 ~ 68 % Área (u ± 1,96g) = 0,95 ~ 95 % Área (u ± 2,58g) = 0,99 ~ 99 % Área (u ± 3g) = 0,997 ~ 99,7 %

-30 -2º μL 0 20 30 K 68.26 ₭ - 95.45 99.73 ₭ Figura 6. Áreas bajo la campana de Gauss.