Relaciones diferenciales de conservación y ecuación de movimiento

VL ULPGC Universidad de Las Palmas de Gran Canaria ED

Tema 6: Relaciones diferenciales de conservación VE Abril de 2024 Curso 2023-24 UNIVERSIDAD DE LAS PALMAS DE GRAN CANARIA Departamento de Física

Índice

UNIVERSIDAD DE LAS PALMAS DE GRAN CANARIA Departamento de Física

1. - Ecuación diferencial de conservación de la Masa
2. - Ecuación de la cantidad de movimiento en forma diferencial
3. - Ecuación diferencial de la energía
4. - Adimensionalización de las ecuaciones básicas

atc Curso 2023-24

UNIVERSIDAD DE LAS PALMAS DE GRAN CANARIA Departamento de Física Introducción

· Análisis del movimiento de un fluido: i. Efectos globales (flujo másico, fuerza aplicada, intercambio de energía) sobre una región finita o volumen de control (enfoque global) ii. Análisis punto a punto del campo fluido analizando una región infinitesimal del flujo (análisis a pequeña escala o diferencial) · Leyes de conservación a un sistema de fluido infinitesimal-> ecuaciones diferenciales básicas del movimiento del fluido. · Establecimiento de condiciones de contorno apropiadas para encontrar soluciones

1. No resolución de las ecuaciones (alternativa, parámetros adimensionales que gobiernan el movimiento de los fluidos)
2. Hipótesis de flujo estacionario e incompresible
3. Hipótesis de flujo no viscoso (E. Bernoulli)
4. Análisis numérico

atc Curso 2023-24

Ecuación diferencial de Conservación de la Masa

· Análisis diferencial: análisis punto a punto de los detalles del campo fluido a través del estudio de una región infinitesimal del flujo TTR (0=1) VC

∫ op dy + ot - SC pV . dA = 0 T. Gauss VC

∫ (VC fijo, cualquiera) ot op +V.(PV) |dr=0-> Ecuación de continuidad op ôt + V . (PV) = 0 V .(PV) = pV . V + V . Vp d p dt + pV . V = 0 (Independientes del sistema de coordenadas) Coordenadas cartesianas op + o(pVD) 0x ∂ V i = 0 ot at ap + 2 + dx (pu) + ду (pu) + az (pw) = 0 dp + p =0 dt 0x atc Curso 2023-24

Ecuación diferencial de Conservación de la Masa Coordenadas cilíndricas

v, Punto genérico (r, 0, z) Elemento infinitesimal genérico 1 Linea referencia 1 dr - dz r de Eje de revolución r=(x + 12)12 0 = tan -1 V x Z= Z - 1 [Apéndice D] Término convectivo de d/dt V . V = v, ar + + 00 20 + V 3 77 az dl = dre + rdbeg + dzk dA = 2ærdrk Elemento anular de área transversal, dA) Si A=A(r,O,z,t) es un campo vectorial 1 0 . A = 1 2 (PA ) + - (A) + (A) r dr r 00 ap + 12 r ar (rpur) + 1 à (pve) + - (pvz) = 0 az at Ecuación de continuidad en cilíndricas ve

Ecuación diferencial de Conservación de la Masa Flujo compresible estacionario

Flujo compresible estacionario d/ dt = 0 Cartesianas (V) =0 L Cilíndricas (ambas son variables) 2 ax (pu) + (pv) + dy (pw) = 0 1 a 1 ӘӨ (pvg) + dz (pu) = 0 Flujo incompresible dp/ dt = 0 (Si se supone o también uniforme) V. V=0 au + au + dw 0x = 0 dy dw dz 1 d r dr ( ru ) + ( V ) + ( v2 ) = 0 · Un fluido se puede suponer incompresible si el número (adimensional) de Mach (Velocidad del fluido/ velocidad del sonido, Ma=V/a) es muy pequeño (el límite comúnmente aceptado es Ma≤0.3) · Expresar la ecuación de continuidad en función de la derivada material y discutir el fluido incompresible (densidad de partículas de fluido no cambia, pero diferentes partículas de fluido pueden tener diferentes densidades : (d p/dt= Dp/Dt=0) d p dt + @V . V= 0 (tasa de cambio del volumen de una partícula de fluido por unidad de volumen-Velocidad_de deformación volumétrica unitaria) . v: 1 dVol Vol dt (velocidad de deformación volumétrica unitaria) atc Curso 2023-24 1 (rpur) + ar

Ecuación diferencial de Conservación de la Masa Ejemplo de campo de velocidades incompresible

Un campo de velocidades incompresible está dado por u = a (x2 - y2) v desconocida w =b donde a y b son constantes. ¿ Cuál debe ser la forma de la componente v de la velocidad? v (x, y, z, t) = - 2axy + f(x, z, t) atc Curso 2023-24

Ecuación diferencial de Conservación de la Masa Ejemplo de densidad de partícula fluida

Para el campo de velocidad u = ax + by, =cx + dy, siendo a, b, c y d constantes, determinar la densidad de una partícula fluida en función del tiempo suponiendo que la densidad inicial es po. atc Curso 2023-24

Ecuación diferencial de Conservación de la Masa Ejemplo de campo de velocidad de un líquido

Comprobar si el campo de velocidad siguiente puede corresponder al movi- miento de un líquido: u = x2 + y2, v = - 2ay(x+z), w = bz2 (a y b son constantes). atc Curso 2023-24

Ecuación diferencial de Conservación de la Masa Ejemplo de flujo incompresible

De un flujo incompresible se conocen dos componentes de la velocidad: u = a(x2 - z2), v = b, siendo a y b constantes. Determinar la forma que debe tener la expresión de la componente w. ¿Puede el flujo ser no estacionario? atc Curso 2023-24

Ecuación diferencial de Conservación de la Masa Ejemplo de pistón en cilindro

Un pistón se desplaza con velocidad constante V en el interior de un cilindro estanco de sección circular de diámetro D. El movimiento del pistón produce la expansión del gas contenido en el cilindro. En cada instante, se supondrá que la densidad p del gas en el cilindro es uniforme, y que la distribución de velocidad en el gas es u = Vx/L, siendo x la coordenada longitudinal, con origen en el extremo fijo del cilindro, y L la posición con respecto a dicho origen de la superficie del pistón en contacto con el gas. En el instante inicial (t = 0), L = Lo y p = Po. Determinar:3 a) Densidad del gas en función del tiempo. atc Curso 2023-24

Ecuación diferencial Cantidad de Movimiento

Resultante de todas las fuerzas d dt 1 V (t) pVd TTR (0=V) - ΣΕ d dt ∫ pVdy + Vc(t) + [ PVV, .dA=F Ac (t) · Si el VC es fijo (pero arbitrario) ∫ VC (PV) ot do + | (PV)V . dA = >F Ac T. Gauss ∫ VC o(PV) ôt + V . (pVV) |dr = >F Y de la derivación del producto y de V . (VV) = VV . (PV) + (V . V) V Ec. de Continuidad Derivada Material ∫ d V dt dy = \ padr => F VC VC Suma para todo el Volumen la 2ª Ley de Newton de las partículas fluidas que lo integran atc Curso 2023-24

Ecuación diferencial Cantidad de Movimiento Fuerzas

1. Fuerzas de largo alcance (volumétricas) F, = ff, dV V F = | f, pdV V Fuerza gravitatoria dFy = dF grav ⇒ dF = pg =- pgk grav dy (Si Z es el eje vertical g= - gk) d 7; dm dF 2. Fuerzas de corto alcance (de superficie) f =T .n Tensor de esfuerzos en un fluido Txx Txy Txz -p+txx = Tyx T = f SISTEMA dAŽ dF S T = - po + ' k x i j V- AC atc (Resultante de las fuerzas de superficie sobre la superficie AC) Curso 2023-24 Fs = ffs dS = t S AC · nds = [T ·ds ‘ XZ Týz -p +tzz 𝝉𝝉𝒛𝒛𝒛𝒛 n A 1 yx Tyy tyz 1zx 1 zy Tzz ‘ Zx ‘ xy -p + Tyy T'zy

Ecuación diferencial Cantidad de Movimiento Ecuación de Cauchy

∫ Vc dV dt dr = >F = [ pgd + [T .dA = [ pgd/ + |T .dA Ac Ac c (T. Gasuss) , VVc fijo p = pg + V .t = [[pg+ V.t ]dV V Ecuación de Cauchy del movimiento = [[pg + V .t']dV Vc pg - Vp+V.t=0 dV dt p DV Dt Ec. diferencial de la cantidad de movimiento pgi ax; at ij + 0x op = p dV. dt = p ∂ V ôt i + V j OV 0x j (componente i) atc Curso 2023-24 Vc dV dt

Ecuación diferencial Cantidad de Movimiento Flujo no viscoso

dF dv dF d°V =- Vp + Viscous =- Vp + V . T ‘ surf 1 .- Flujo no viscoso: ecuación de Euler tý=0 pg - Vp = p dV dt atc Curso 2023-24

Ecuación diferencial Cantidad de Movimiento Ejemplo de campo de presiones

Un campo de velocidades estacionario, incompresible y no viscoso viene dado por: V = 2xyi - y2 j Sea la densidad p. constante. Despreciando la gravedad, obtenga una expresión para el campo de presiones. ¡Ojo no es solución de la ED! atc Curso 2023-24

Ecuación diferencial Cantidad de Movimiento Ejemplo de campo de presiones con densidad constante

Un campo de velocidades estacionario, incompresible y no viscoso viene dado por: V = 2xyi - y2 j Sea la densidad p. constante. Despreciando la gravedad, obtenga una expresión para el campo de presiones. a) Ecuación de Euler: P Dt Du = - Vp + pg En componentes y teniendo en cuenta todas las características que presenta el fluido las ecuaciones del movimiento quedarían: op dy =- 2poxy 2 Op -=- 20gy3 Comprobar que se verifica la ecuación de continuidad con ese campo de velocidad b) Campo de presiones: p =- Py"+Cte 1 Curso 2023-24

Ecuación diferencial Cantidad de Movimiento Ejemplo de campo de presiones con aceleración

Un campo de velocidades estacionario, incompresible y no viscoso viene dado por: v = 2xyi - y2 j Sea la densidad p. constante. Despreciando la gravedad, obtenga una expresión para el campo de presiones. ¡Ojo no es solución de la ED! Sea la densidad po constante. a) Despreciando la gravedad, obtenga una expresión para el campo de presiones. b) Repetir el apartado anterior si se supone que el movimiento del fluido está descrito respecto de un barco que viaja con una aceleración presión para (0, 0,0) vale pe -. ã‚ =- 2xy2i y sabiendo que la c) ¿Cómo cambiaría el campo de presiones si ahora no se desprecia la gravedad? ¡Ahora sí! atc Curso 2023-24

Ecuación diferencial Cantidad de Movimiento Fluido newtoniano: ecuaciones de Navier-Stokes

· Son las ecuaciones del movimiento para un fluido newtoniano (los esfuerzos viscosos, tij, son proporcionales a la velocidad de deformación y al coeficiente de viscosidad, µ ) ∂ V i + дх; OV, j 0x · Para un fluido newtoniano incompresible (coeficiente de viscosidad, u, constante) pg - Vp + uV2V = p- dV dt Ecuaciones de Navier-Stokes para flujos incompresibles 22 pgx - du dt Su= ij 1 2 x OV, ∂ + 0x i j (Representa la rapidez con la que una partícula fluida experimente una deformación lineal, volumétrica o angular por unidad de tiempo) (fluido newtoniano incompresible) - + u aw 2x 2 + 2 av2 + 2 a2w az2 = p dw dt atc Curso 2023-24 2 S Tensor velocidades de deformación др дх + u azu 2x2 + a2u 212 + az azu ,2 = p pgy ap dy ap az + u 22u 0x 2 2 + 2 dy 22u 2 22. .2 = p du dt az azw pgz T'= 2us ôVi j ‘ =