Construcciones geométricas básicas: puntos, líneas, ángulos y polígonos

BASIC GEOMETRIC CONSTRUCTIONS

GEOMETRIC
CONSTRUCTIONS
d
Jesuitas
Fundación Loyola
Colegio San José-Villafranca
ÁREA DE ARTES
Ed. Plástica, audiovisual y visual I- 1º ESO
3ª EVALUACIÓN / 2024 - 2025
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍACONTENTS

1. POINT, STRAIGHT LINE, RAY AND LINE SEGMENT.
   2
2. RELATIONSHIPS BETWEEN LINES OR SEGMENTS.
   2
3. OPERATIONS WITH SEGMENTS.
   3
4. ANGLES
   7
5. WHAT IS AN ANGLE? / THEORETICAL CONCEPTS.
   7
6. OPERATIONS WITH ANGLES
   8
7. THE CIRCUMFERENCE AND THE CIRCLE
   10
8. ELEMENTS OF THE CIRCLE
   10
9. ELEMENTS OF THE CIRCUMFERENCE
   11
10. RELATIVE POSITIONS BETWEEN A CIRCUMFERENCE AND A LINE.
    11
11. THE POLYGONS
    12
12. BUILD POLYGONS.
    13
13. STAR POLYGONS.
    15

jesuitas
Fundación Loyola
Colegio San José-Villafranca
ARTS AREA
E.P.V.A BILINGÜE I - 1st ESO
2024 - 2025
BASIC GEOMETRIC CONSTRUCTIONS
INTRODUCTION TO GEOMETRY
Geometry is a part of mathematics that studies shapes, lines, points, surfaces and bodies in
space. Its name comes from the Greek "geo", which means earth, and "metry", which means
measurement. That is, "measure of the land."
The origins of geometry date back to ancient times, especially to Egypt and Mesopotamia,
where it was used to measure land, construct buildings or design objects. Later, the Greeks
like Euclid organized all this knowledge into rules and definitions that we still use today.
In EPVA, geometry is not only used to calculate, but also to create. It helps us build figures,
patterns, mandalas, structures, and understand space through art and design.
We can classify geometry into two classes:
PLANE GEOMETRY: Study the properties of elements with one or two dimensions. That is,
it only deals with everything that can happen in a plane.
SPATIAL GEOMETRY: It is also called descriptive geometry and studies figures and
everything that can happen in three dimensions. Fundamentally, it deals with the
representation of three-dimensional objects or figures on a plane (paper) that has only two
dimensions.
1

POINT, STRAIGHT LINE, RAY AND LINE SEGMENT

Defining Geometric Points

POINT: Geometrically we can define a point in three ways:
- Intersection of two straight lines or arcs.
B
- Intersection of a line with a plane.
- Circumference of radius 0.
0
0

Understanding Straight Lines

STRAIGHT: A line is a sequence of points in the same direction. According to this definition,
a straight line is infinite and we can only conceive it virtually and not really, since all the
supports (paper, canvas, the class blackboard) are finite.
A line can be defined geometrically by two intersecting planes (descriptive geometry) or by
two points (plane geometry).
r

Ray and Line Segment Definitions

RAY: A ray is a portion of a line delimited by a point.
A
-
LINE SEGMENT: A segment is a portion of a line delimited by two points. Therefore a
segment has a beginning and an end and is finite and can be measured. Actually all the
lines we draw are segments, since they begin and end somewhere. That is why to draw a
segment, the beginning and end points are usually clearly marked.
A
B
1.2. RELATIONSHIPS BETWEEN LINES OR SEGMENTS
Two lines or segments can have three different types of relationships:
PARALLELS: All points on the two lines are always the same distance apart. That is, two
parallel lines never intersect.
2

BASIC GEOMETRIC CONSTRUCTIONS

Perpendicular and Oblique Lines

PERPENDICULARS: Two lines are perpendicular when they intersect at four right angles.
This concept is related to an important adjective, orthogonal, we say that two lines are
orthogonal when they form 90° angles, they are straight or perpendicular.
OBLIQUES: Two oblique lines intersect without forming right angles.

Operations with Segments

1.3. OPERATIONS WITH SEGMENTS
COPIA DE UN SEGMENTO: Dado el segmento AB, copiarlo con la misma magnitud.
A
B
1º- Trazamos una semirecta desde un punto A'.
2º- Tomamos la medida AB con el compás.
3º- Trasladamos la distancia AB sobre la semirecta que hemos trazado. Con la
medida tomada anteriormente con el compas haremos centro en el punto A'
de la semirecta y la marcaremos obteniendo B'.
4º- Finalmente pasamos a tinta el resultado (IMPORTANTE).
1
2
3
4
A
B
A
B
A
A
B
A
B
1
-
A'
A'
B'
SUMA DE SEGMENTOS: Dados los segmento AB, CD y EF, sumarlos gráficamente.
1º- Trazamos una semirecta desde un punto A'.
A
B C
D
2º- Tomamos la medida AB con el compás y la copiamos en la semirecta, a partir
de A', obteniendo B'. (copiar el segmento AB)
3º- A partir de B' repetimos la operación con el siguiente segmento a sumar (CD).
4º- En este caso tenemos tres segmentos para sumar, repetimos con el último.
5º- La solución es la totalidad d elos segmentos copiados uno detrás de otro, es
decir, A'F'. Pasamos a tinta la solución (IMPORTANTE).
1
A
B C
D
2
A
B C
D
3
A
B C
D
E
F
E
F
E
F
A'
0
o
4
A
B C
D
5
A
B C
D
E
F
E
F
A'
B'C'
A'
B'C'
F'
D' E'
F'
D'E'
F
. T
A'
A'
C
B
B'
H
E
A'
o
3

BASIC GEOMETRIC CONSTRUCTIONS

Segment Subtraction

RESTA DE SEGMENTOS: AB - CD,restarlos gráficamente.
1º- Trazamos una semirecta desde un punto A'.
2º- Tomamos la medida AB, el mayor, con el compás y la copiamos en la semirecta,
a partir de A', obteniendo B'. (copiar el segmento AB)
3º- A partir de A', de nuevo, repetimos la operación con el segmento CD. Es decir,
copiaremos el segmento menor dentro del mayor que ya hemos copiado.
1
A
B
C
D
A'
2
3
4
A
BB
C
D
C
D
C
D
A
|B'
A
B
A'
D'
O
C'
Č

Segment Bisector Construction

Mediatriz de un segmento:
A
B
Dado un segmento AB, hallar la mediatriz.
La mediatriz de un segmento es una recta perpendicular a este por su punto medio. También se puede
definir como "el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos de un segmento"
Procedimiento:
1º- Se trazan dos arcos de igual rádio con centro en ambos extremos A y B. Se obtienen así los puntos
1 y 2 donde ambos arcos se cortan.
2º- Se unen los puntos 1 y 2 para obtener la mediatriz.
3º- Se pasa el resultado a tinta.
1
2
2
X1
X1
A
B
A
B
A
B
A
B
X2
*2

Perpendicular Line Construction

Perpendicular a una recta por un punto exterior a ella:
1º-Con centro en P se traza un arco de circunferencia que corte a la recta en dos puntos: 1 y 2.
2º-Con centro en los puntos 1 y 2, se trazan dos arcos de radio mayor a la mitad de la distancia entre
ellos. Donde ambos arcos se cortan obtenemos el punto 3.
3º-Se une el punto 3 y el punto P.
1
2
3
o P
· P
o P
& P
1
2/
1
2
1
2/
4
× 3
X3
B'
D'
A
B
C
D
4º- La diferencia entre los dos segmentos (distancia de D'a B') es la solución. La
pasamos a tinta.
A
B

BASIC GEOMETRIC CONSTRUCTIONS

Parallel Line Construction Methods

Paralela a una recta por un punto exterior, dos métodos:
1º- Se elige un punto X centrado en la recta como centro y se traza una semicircunfenerncia de
radio XP que la corta en dos puntos: 1 y 2.
2º- Con centro en el punto 1 se toma el radio 1P y desde el punto 2 se traza un arco que corta
al primero en el punto 3.
3º- Seune el punto 3 con P.
1
P
2
P
3
3
P
3
O
1
X
2
1
X
2
1
X
2

THEOREM OF THALES

This theorem tells us:
-
Tode straight parallel to one side of a triangle that
cuts the other two sides, determines another triangle
similar to the initial triangle.
-
If two concurrent lines are cut by a bundle of parallel
lines, the ratio of any two segments of one of them is
equal to the ratio of the corresponding segments of
the other.
C
C'
A
B'
B
In such a way that it allows us to divide a segment into equal parts. The procedure is the same even
if the number of parts into which we want to divide the segment varies.
Let's check it by dividing a segment into 7 equal parts:
A-
B
5

BASIC GEOMETRIC CONSTRUCTIONS

Dividing a Segment into Equal Parts

1º- Desde un extremodel segmento dado trazamos una recta auxiliar. No importa
la abertura del ángulo que esta forme con el segmento dado.
1
A
B
2
1
2º- Tomamos un radio de compás ( no importa la abertura del compás, solo
que quepa tantas veces como divisiones nos pide el problema sobre la recta
auxiliar) y con centro en el vértice del ángulo trazamos una marca sobre la
recta auxiliar.
6
5
3
4
13
2
1
4
5
3
12
7
A
B
5º- Trazamos paralelas a la última recta pasada. estas pasan por las
divisiones que hemos trazado sobre la racta auxiliar y cortan al segmento
dado den el enunciado del problema.
7
6
6
15
4
3
2
1
+
A
1 2
3
4
5
6
B
4º- Trazamos un segmento que une la ÚLTIMA DIVISIÓN de la recta
auxiliar con EL EXTREMO B del segmento dado.
7
6
5
14
3
2
1
A
B
6°- Los puntos de corte de las paralelas con el segmento dado son la
solución, las divisiones del segmento en el nº de partes que pedía el
enunciado.
*If we want to divide a segment into another number of parts we will do the same
procedure.
6
A
B
3º- Con centro en esa primera marca, y con el mismo radio de compás repetimos
la operacion hasta tener tantas partes como nos pide el problema en la recta
auxiliar.
17
16
A
B
5

BASIC GEOMETRIC CONSTRUCTIONS

Angles: Theoretical Concepts

2. ANGLES
2.1. WHAT IS AN ANGLE? / THEORETICAL CONCEPTS
It is the portion of the plane included between two rays called sides that start from a common
point called vertex.
An entire circle measures 360º.
Types of angles according to their magnitude:
Llano
= 180º
Obtuso
+ de 90°
Recto
= 90°
Agudo
- de 90°
Cóncavo
- de 180º y + de 0° -
Convexo
+ de 180º y - de 360º
/
And depending on how they are related, they can be:
- Angles Complementary: They
are those that add up to 90º
- Angles Supplementary: They
are those that add up to 180º.
- Angles Conjugates: They are
those that add up to 360º.
COMPLEMENTARIOS
SUPLEMENTARIOS
A
A
B
B
7

BASIC GEOMETRIC CONSTRUCTIONS

Operations with Angles

2.2. OPERATIONS WITH ANGLES
COPYING ANGLES WITH COMPASS AND RULER: given an angle (a), draw another equal angle
(a').
1º- Se traza un segmento o semirecta y se indica v' que será el vertice del nuevo ángulo copiado.
2º- Con centro en el punto v se traza un arco de radio cualquiera que corta los lados de este en
los puntos 1 y 2. Con centro en v' se traza un arco de igual rádio que cortará al lado ya dibujado
en el punto 1'.
3º- Desde el punto 1 del ángulo dado, se mide con el compas la distancia desde 1 hasta 2. En
el nuevo ángulo copiado con centro en 1' se traza un arco que corte al anterior obteniendo 2'
4º- Se une v' con 2'.
1
2
3
4
a
a
1
VO
O
VO
VO
2'
V'
O
v'o
a'
1'
v'o
a'
1'
a
ADDING ANGLES WITH COMPASS AND RULER: given the angles (a) and (b), draw another
angle (c) = (a+b)
It involves copying one angle on top of the other, both sharing a side that will ultimately not be part of
the result.
1º- Se traza un segmento o semirecta y se indica v' que será el vertice del nuevo ángulo resultado a+b.
2º- Con centros en los puntos (va) y (vb), se traza un arco de radio cualquiera pero igual, que
corta ambos lados de los ángulos en los ptos 2a y ab. Con centro en v' se traza un arco de
igual rádio que cortará al lado ya dibujado en el punto 1'.
3º- Desde el punto 1a, se mide con el compás la distancia desde 1a-2a, colocándola en el resultado
desde 1', obteniendo así el pto. 2'.
4º- Se mide, con compás, la distancia 1b-2b.Desde 2' trazamos un arco de radio 1b-2b para
obtener 3'.
5°- Se une v' con 3'.
1
2
3
4
2b
2b
vb
1b
O
C
C
3
3'
2
2'
V'
C
1'