Geometría de Triángulos: Introducción, Clasificaciones y Propiedades Fundamentales

INTRODUCCIÓN

JUSTIFICACIÓN DE LA ELECCIÓN DEL TEMA

El presente tema se caracteriza por ser coherente e innovador ya que parte del primer nivel de concreción curricular que son las bases legales que regulan nuestro sistema educativo, como la Ley Orgánica 3/2020 (LOMLOE), de 29 de diciembre, por la que se modifica la Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo de educación (LOE), la Ley de Educación en Andalucía 17/2007 de 17 de diciembre (LEA), y fundamental e imprescindible la Orden del 30 de mayo de 2023. Las matemáticas, presentes en casi cualquier actividad humana, tienen un marcado carácter instrumental que las vincula con la mayoría de las áreas de conocimiento: las ciencias de la naturaleza, la ingeniería, la tecnología e incluso el arte o la música. En particular, el triángulo es la figura más importante de la geometría euclídea, ya que en sus propiedades se fundamenta un gran número de resultados de ésta. Es el único polígono que podemos construir en el espacio tridimensional, dando aleatoriamente tres puntos que no estén sobre una recta. Esto se debe al hecho de que tres puntos no alineados determinan un plano y solo uno en la geometría afín euclídea.

RESEÑA HISTÓRICA

Se ha tomado como referencia bibliográfica para desarrollar este apartado, lo siguientes libros: BOYER, CARL B .: Historia de la matemática y IFRAH, G .: Historia universal de las cifras. La arquitectura monumental de la civilización egipcia entre 2700 y 2500 a.C. es una prueba notable de que los egipcios de esa época tenían conocimientos relativamente sofisticados de geometría, especialmente en el estudio de los triángulos. El cálculo del área de esta figura se analiza en algunos problemas del famoso Papiro de Rhind (1600 a.C.). En la civilización babilónica (2000 a.C.) aparecen ya tablillas con la relación pitagórica, el conceto de semejanza de triángulos y procedimientos basados en la proporcionalidad de los lados correspondientes en triángulos semejantes. Es decir, podemos afirmar que en esta civilización ya se conocían los contenidos de los que hoy llamamos Teoremas de Pitágoras y Thales. Euclides, por su parte, enuncia la propiedad de la suma de los ángulos de un triángulo en su libro "Elementos" (3000 a.C.). Paralelamente se desarrolla la trigonometría, existiendo interesantes trabajos árabes e hindúes al respecto durante la Edad Media.

DEFINICIONES, CLASIFICACIONES Y PRIMERAS PROPIEDADES

Definición Un triángulo es una figura plana formada por 3 puntos no alineados, llamados vértices del triangulo (y que denotaremos con letras mayúsculas), y los segmentos que los unen llamados lados del triangulo (y se suelen designar dando los dos vértices que delimitan el lado o bien por la letra minúscula del vértice que no pertenece al mismo). Los ángulos interiores formados por los lados del triangulo se llaman los ángulos del triángulo (y se designan con la letra del vértice con "gorro" o simplemente con la letra del vértice). Así, se suele denotar ABC al triangulo de vértices A, B y C. B c a A Â Ĉ C b Página 2 de 11Observación De igual forma se pueden dar otras definiciones de triángulo, todas ellas equivalentes:

1. Polígono de tres lados.
2. Figura geométrica plana, determinada por 3 rectas que se cortan dos a dos.
3. Porción del plano común a 3 ángulos coplanarios que tienen dos a dos un lado en común.

Sea cual sea la definición, en todo triangulo existen 6 elementos principales: 3 ángulos y 3 lados. Definición Un ángulo y un lado de un triángulo se dicen adyacentes si el vértice del ángulo esta en ese lado, en caso contrario son opuestos. Definición Llamaremos a un triángulo: a) Atendiendo a sus lados: (según la longitud del lado). · Equilátero: si tiene sus 3 lados iguales. · Isósceles: si tiene 2 lados iguales y otro desigual. · Escaleno: si tiene los 3 lados desiguales. b) Atendiendo a sus ángulos: (según la amplitud del ángulo). · Rectángulo: si tiene un ángulo recto. En este caso, llamaremos hipotenusa al lado opuesto al ángulo recto y catetos a los otros dos lados. · Acutángulo: si tiene todos sus ángulos agudos. · Obtusángulo: Si tiene un ángulo obtuso. Proposición (Propiedades de los triángulos) En todo triángulo se verifica:

1. La suma de sus ángulos es un ángulo llano.
2. A los lados iguales se oponen ángulos iguales, y viceversa.
3. A mayor ángulo se opone mayor lado, y viceversa.
4. Cualquier lado es menor que la suma de los otros dos, y mayor que su diferencia.
5. El segmento que une los puntos medios de dos lados es paralelo al tercer lado e igual a su mitad. Se llama paralela media correspondiente al tercer lado. a a/2 ,'
6. La medida de un ángulo exterior de un triángulo (formado por un lado y la prolongación de otro) es igual a la suma de los dos ángulos (interiores) no adyacentes. B a = TT - Ĉ = Â + ₿ C a A

IGUALDAD Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

IGUALDAD DE TRIÁNGULOS

Definición Dos triángulos son iguales o congruentes si existe un movimiento que transforma uno en el otro, es decir, que al superponerlos coinciden. En este caso, los triángulos ABC y A'B'C' son congruentes si  = Â',Ê =₿',=C',AB = A'B', AC = A'C' , BC = B'C'. Observación Denotamos indistintamente, como AB tanto al segmento como a su longitud. Nota Para probar la igualdad de dos triángulos no se necesita probar la igualdad de sus 6 elementos, puesto que si se verifica que un cierto numero de ellos son iguales, los resultantes han de ser necesariamente iguales. De aquí surgen los criterios de igualdad. Teorema (Criterios de igualdad de triángulos) Las siguientes condiciones son necesarias y suficientes para que dos triángulos sean iguales:

1. Que tengan igual un lado y los ángulos adyacentes. (ALA)
2. Que tengan iguales dos lados y el ángulo comprendido. (LAL)
3. Que tengan iguales los tres lados. (LLL)
4. Que tengan iguales dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos.

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Definición Dos triángulos ABC y A'B'C' son semejantes, y se denota ABC ~ A'B'C' si y sólo si tiene sus ángulos iguales y sus lados homólogos proporcionales (entendiendo por lados homólogos aquellos que unen vértices de ángulos iguales), es decir, Â = Â', B = B', C = C y AB = AC A'c' B'C' BC = k, siendo k E IR la razón de semejanza. Teorema (Teorema fundamental de semejanza) Sea ABC un triángulo y sean B' E AB, C' E AC con B'C' | BC. Entonces ABC ~ A'B'C'. Demostración A B' 1 1 C' 1 B C M Como los lados de ambos triángulos (ABC y A'B'C') son paralelos dos a dos, se tiene que, Â = Â', B = B' y Ê = C. Falta ver la proporcionalidad de los lados. Por el Teorema de Thales: AB - AB' - AB - AC Trazamos por B' una paralela al lado AC, llamando M al punto de corte de dicha paralela con BC. Página 4 de 11Por el Teorema de Thales: AB AB' AB BC AC CM AB' CM AB BC Pero B'C' CM es un paralelogramo, por lo que B'C' = CM AB' B'C' Teorema (Criterio de semejanza de triángulo) Dos triángulos son semejantes cuando se cumplen alguno de los siguientes criterios:

1. Tienen dos ángulos iguales
2. Tienen un ángulo igual y proporcionales los lados que lo forman
3. Tienen proporcionales todos sus lados

Demostración 1) Sean ABC y A'B'C' dos triángulos. Supongamos  = Â' y B = B'. Considero, por ejemplo, AB > A' B'. Veamos que ABC ~ A'B'C'. A A M I N B C' B C Buscamos sobre AB un punto M verificando que AM = A'B'. Por dicho punto M trazamos una paralela al lado BC, que cortará a AC en N. Por el Teorema Fundamental de Semejanza: AMN ~ ABC. Pero los triángulos AMN y A'B'C' verifican:  = Â', por hipótesis - AM = A'B', por construcción de M >A'B'C' ₿ = M, por ser ángulo de lados paralelos, y Ê = B' por hipótesis. Luego B' = M ) = (Por el criterio ALA de igualdad de triángulos) AMN ~ ABC 2) y 3) Se demuestran de forma análoga, usando el Teorema fundamental de semejanza.

PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO

MEDIATRIZ. CIRCUNCENTRO. CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA

Definición Se llama mediatriz de un lado de un triángulo a la recta perpendicular a dicho lado por su punto medio. En un triángulo cualquiera ABC hay siempre 3 mediatrices, que denotaremos Ma, Mp, Mc respectivamente. Teorema En cualquier triángulo, las 3 mediatrices se cortan en un punto O, que se llama circuncentro. Además, este punto es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo (aquella que contiene a los 3 vértices). Demostración Mb Mc B Ma A C Las mediatrices del triángulo ABC se cortan por ser rectas perpendiculares de rectas que se cortan. Así, si 0 = Man Mb => SO E Ma => 0 equidista de B y C 10 E Mp => 0 equidista de Ay C- 0 equidista de A y B => 0 € Mc Página 5 de 11Luego, 0 = Ma n Mp n Mc. Además, los 3 puntos no alineados (A, B y C) determinan una única circunferencia que pasa por ellos, y cuyo centro es 0 por equidistar de los 3 puntos.

ALTURA. ORTOCENTRO

Definición La altura de un triángulo es el segmento perpendicular a un lado (o a su prolongación) trazado desde el vértice opuesto a ese lado. En un triángulo cualquiera ABC hay siempre 3 alturas, que denotaremos hA, hB, hc respectivamente. Teorema En cualquier triángulo, las 3 rectas que contienen a cada una de las alturas se cortan en un punto H llamado ortocentro del triángulo. B Demostración hc ha H A C hb Sea ABC un triángulo cualquiera y realizamos la siguiente construcción: · Por cada vértice del triángulo trazamos la paralela al lado opuesto. · La paralela a AB por C corta a la paralela a CB por A en un punto B', y a la paralela AC por B en un punto A' · La paralela a AC por B corta a la paralela CB por A en un punto C' B C' A' A , C > B' (El cuadrilátero ABCB'es paralelogramo = AB = B'C => B'C = A'C, siendo C el punto medio de A'B' (Analogamente ABA'C es paralelogramo => AB = A'C Del mismo modo, A es el punto medio de B'C' y B es el punto medio de A'C. La altura ha es la mediatriz de B'C', y análogamente, hp es la mediatriz de A'C' y de hc la de A'B'. Entonces, por el teorema anterior, se sabe que las mediatrices de A'B'C' se cortan en un solo punto H, así como lo hacen las alturas de ABC. Definición Dado el triángulo ABC, llamaremos triángulo asociado A'B'C' al que obtenemos trazando por cada vértice una paralela al lado opuesto (es el triángulo construido en la demostración anterior). Observación Página 6 de 11