Dispense di Geometria: sistemi lineari e metodo di eliminazione di Gauss

VERBUM CUSANO UNIVERSITÀ

Dispense del corso di GEOMETRIA - 9 c.f.u. Prof. Alfredo Donno CdS in Ingegneria Civile (Classe L-7) CdS in Ingegneria Elettronica e Informatica (Classe L-8) CdS in Ingegneria Industriale (Classe L-9) Versione del 29/07/2021

Capitolo 3

Sistemi lineari: prime definizioni

In questa sezione, come in parte delle successive, applicheremo la teoria degli spazi vettoriali R™ e le tecniche del calcolo matriciale allo studio di sistemi lineari. Un sistema lineare di m equazioni in n incognite è un insieme di m equazioni nelle incognite x1, ... , In avente la forma seguente:

@11x1 + @12x2 + .... · + a1nIn = b1 : b2 @21x1 + @22x2 + . . . . . . - am1x1+@m2x2+ ...... +amnIn = bm. . . . . . . . . . (3.1) I numeri reali aij, per ogni i = 1, ... , m, j = 1, ... , n vengono detti i coefficienti del sistema, mentre i numeri reali b1, ... , bm sono i termini noti del sistema. Appare subito evidente che, definite le matrici

. . b2 : b1 A= . @21 am1 @11 . @22 am2 @12 . . . . ... ... · a1n amn a2n . E M(mxn) X= x2 X1 . In E M(nx1) B= E M(m×1), bm . . . il sistema (3.1) può essere riscritto nella forma più compatta AX = B. (3.2) La matrice A E M(m xn) prende il nome di matrice incompleta del sistema. La matrice completa, che denoteremo A', è la matrice da essa ottenuta aggiungendo come ultima colonna

6162 CAPITOLO 3. SISTEMI LINEARI la colonna B dei termini noti, cioè la matrice

A' = @11 @21 am1 am2 . . . @12 · . . . a22 .. ... ... amn a2n . a1n bm b2 . . b1 E M(m x (n+1)). Per come sono definite, si ha sempre r(A) < r(A'). Un sistema si dice omogeneo se b1 = b2 = .. . = bm = 0, si dice non omogeneo in caso contrario. Una n-pla I1, ... , In si dice soluzione del sistema se, ponendo x1 = x1, .. . , In = In nel sistema, tutte le equazioni risultano soddisfatte. Un sistema si dice compatibile quando ammette soluzioni; si dice incompatibile in caso contrario.

Osservazione 3.1.1. Un sistema lineare omogeneo è sempre compatibile, in quanto la n-pla composta da tutti 0 è evidentemente soluzione di ogni sistema omogeneo, detta la sua soluzione nulla o soluzione banale. Sarà interessante, pertanto, stabilire se esso possiede anche soluzioni diverse da quella tutta nulla, dette soluzioni non banali. Diciamo infine che due sistemi lineari sono equivalenti se essi ammettono lo stesso insieme di soluzioni.

Esempio 3.1.2. I due sistemi lineari

3x - 5y = 1 x+y=3 e x- y =1 x-3y = - 1 sono sistemi lineari di due equazioni in due incognite, e risultano equivalenti perché entrambi ammettono la sola soluzione costituita dalla coppia (2,1).

In particolare, quando si effettua sulle equazioni di un sistema una sequenza di trasformazioni, dette elementari, del tipo

• scambio di due equazioni;
• moltiplicazione di una equazione per un numero reale non nullo;
• sostituzione di una equazione con la somma dell'equazione stessa con un multiplo non nullo di un'altra,

si ottiene un sistema che è equivalente a quello dato. Come conseguenza, se ci si accorge che una equazione è combinazione lineare di altre, cioè è somma di altre ciascuna delle quali even- tualmente moltiplicata per un numero reale, tale equazione può essere eliminata senza alterare l'insieme delle soluzioni del sistema. In particolare, se un sistema ha due equazioni uguali, o proporzionali, una delle due può essere soppressa.

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Sistemi normali di n equazioni in n incognite

Esempio 3.1.3. Il sistema

x-y+z=1 {" + y - 2 - 0 3x +y- z =1 di 3 equazioni in 3 incognite è equivalente al sistema di 2 equazioni in 3 incognite

[x-y+z=1 x+y-z=0 da esso ottenuto eliminando la terza equazione, dal momento che la terza equazione risulta combinazione lineare delle prime due (si ottiene aggiungendo alla prima il doppio della seconda). Per stabilire se un sistema lineare assegnato è compatibile o meno, giocano un ruolo essenziale il rango della matrice incompleta A (che chiameremo anche il rango del sistema) e il rango della matrice completa A'. Vale infatti il seguente fondamentale teorema, di cui omettiamo la dimostrazione.

Teorema 3.1.4 (Rouché-Capelli). Condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema li- neare di equazioni sia compatibile è che la matrice incompleta e la matrice completa abbiano lo stesso rango.

Sistemi normali di n equazioni in n incognite

Si dice normale un sistema lineare di m equazioni in n incognite, che soddisfi la condizione r(A) = m. In altre parole, un sistema di equazioni lineari è normale se il suo rango, cioè il rango della sua matrice incompleta A, è uguale al numero di equazioni del sistema. Segue dal Teorema di Rouché-Capelli che un tale sistema risulta compatibile. Essendo infatti la matrice A' una matrice m x (n+1), essa deve necessariamente avere rango minore o uguale a m; d'altra parte, per come è costruita la matrice completa A', sappiamo che deve essere r(A') ≥ r(A) = m, e così risulta r(A') = r(A) = m. Pertanto, risulta soddisfatta la condizione necessaria e sufficiente per la compatibilità di un sistema lineare, fornita dal Teorema di Rouché-Capelli: questo ci permette di concludere che un sistema lineare normale è sempre compatibile. Restringiamo per ora la nostra attenzione a sistemi normali di n equazioni in n incognite, cioè sistemi della forma

@11x1 + @12x2 + .. + aInin = b1 . + a2nCn = b2 Jis 02+ . . . . . an1x1 + an2x2+ ...... + annIn = bn. . . . . . . . . Un sistema in cui il numero di righe coincide con il numero di colonne viene anche detto un sistema quadrato, poiché la sua matrice incompleta A è una matrice quadrata. L'ipotesi che

64 CAPITOLO 3. SISTEMI LINEARI esso sia normale garantisce inoltre che il sistema ammetta soluzioni. In particolare, osserviamo che si ha det A + 0, in quanto la matrice incompleta A ha per ipotesi rango n. Vale il seguente fondamentale teorema.

Teorema 3.2.1 (Cramer). Un sistema di n equazioni lineari in n incognite la cui matrice incompleta A ha determinante non nullo ammette una e una sola soluzione, data dalla n-pla:

71 = det 1 2 - de det A2 det A ' , In = det An det A ' dove det Ai è il determinante della matrice ottenuta da A, sostituendo la sua i-esima colonna con la colonna dei termini noti.

Esercizio 3.2.2. Risolvere il seguente sistema utilizzando il Teorema di Cramer.

{2 + 2 = 0 2x - y = 3. Si tratta di un sistema quadrato di 2 equazioni in 2 incognite non omogeneo. La matrice incompleta del sistema è A = 1 . Si ha det A = - 5 / 0 e quindi r(A) = 2. Pertanto 2 2 -1 il sistema è un sistema normale e quindi compatibile, che possiede un'unica soluzione che può essere individuata utilizzando il Teorema di Cramer. Si trova:

0 1 2 2 3 -1 -6 2 3 = 1 6 5 y = 1 2 0 -1 = 3 -5 − = 3 5 . 2 -5 -1 2 La soluzione del sistema è quindi la coppia (5, -3).

Esercizio 3.2.3. Verificare che il seguente sistema è compatibile e risolverlo.

3x-y-2z =0 2x +y+ z = 3 x+3y-3z =- 8 (3 -1 -2) 1 Si tratta di un sistema quadrato di 3 equazioni in 3 incognite non omogeneo. La matrice incompleta del sistema è A = 2 Si verifica che det A = - 35 # 0 e quindi r(A) = 3. Pertanto il sistema è un sistema normale e quindi compatibile. In particolare, esso ammette un'unica soluzione che può essere individuata utilizzando il Teorema di Cramer. Si trova:

x = 0 3 -8 -1 1 3 1 -1 -2 2 1 1 1 3 3 -2 -3 -3 y= 2 3 1 -8 3 -1 2 1 0 -2 1 -2 35 = : - 1 -35 1 3 -3 1 -3 = 3 1 1. -3, = -35 -35 =1 3

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Sistemi normali di m equazioni in n incognite

3 2 1 2 1 -1 1 3 0 3 -8 = -2 -70 -35 =2. 1 -3 L'unica soluzione del sistema è quindi la terna (1, -1,2).

Sistemi normali di m equazioni in n incognite

Consideriamo un sistema normale di m equazioni in n incognite, con m / n, cioè un sistema della forma

@11x1 + @12x2 + ... @21x1 + @22x2 + ... . .. + ain n = b1 + @2nIn = b2 . . . . . . . . . . . . am1x1+am2x2+ ...... +amnIn = bm in cui la matrice A E M(m x n) incompleta del sistema ha rango esattamente m, cioè pari al numero di equazioni presenti nel sistema. Osserviamo che deve necessariamente essere r(A) = m <n. Infatti non può essere m > n, altrimenti il rango di A, che è uguale a m per l'ipotesi fatta che il sistema sia normale, sarebbe strettamente maggiore del numero di colonne di A, il che non può mai accadere. Sappiamo già che un tale sistema è necessariamente compatibile, in quanto risulta soddisfatta la condizione necessaria e sufficiente del Teorema di Rouché-Capelli che assicura che il sistema ammetta soluzioni. Vedremo che, a differenza del caso normale quadrato n x n, esso ammette infinite soluzioni e non un'unica soluzione. Dal momento che r(A) = m, esiste una sottomatrice mxm di A il cui determinante è diverso da 0. Supponiamo, per pura semplicità di notazione, che si tratti della sottomatrice A1 ... m,1 ... m, cioè quella individuata dalle prime m colonne. In ogni equazione del sistema, allora, portiamo a destra dell'uguale, insieme ai termini noti, tutti i termini relativi alle incognite xm+1, 2m+2, ... , In. Essi sono in numero di n - m. Per le incognite xm+1, 2m+2, ... , In, fissiamo dei valori arbitrari che denotiamo t1, t2, ... , tn-m. Otteniamo allora il sistema

@11x1 + @12x2 + ... +@1mIm = b1 - a1 mtit1 -... - aintn-m a21x1 + a22x2 + ... + @2mm = 02 - 02 m+1+1 -...- a2ntn-m . . . . . . . . . . . . . . . . am1x1 + am2x2 + · + ammm = bm - amm+1+1 -· - amntn-m. 1 2 = -1 1 3 . . . .

66 CAPITOLO 3. SISTEMI LINEARI Risolviamo ora questo sistema di m equazioni rispetto alle m incognite x1, ... , Im. Per come è stato ricavato, si tratta di un sistema di m equazioni in m incognite, la cui matrice incompleta coincide con la sottomatrice A1 ... m,1 ... m e ha quindi determinante non nullo. Si può quindi risolvere il sistema applicando il Teorema di Cramer. Osserviamo che le soluzioni del sistema dipenderanno dai parametri reali t1,.,tn-m: al variare di tali parametri troviamo diverse soluzioni. Diciamo allora che il sistema ammette con-m soluzioni, per esprimere il fatto che si trovano infinite soluzioni, dipendenti da n - m parametri reali.

Osservazione 3.3.1. L'ipotesi che abbiamo fatto che le m colonne linearmente indipendenti della matrice A fossero proprio le prime m non è restrittiva. In generale, se le colonne associate al minore non nullo di A sono le colonne j1,j2, ... ,jm, occorre lasciare a sinistra del segno di uguaglianza le corrispondenti incognite xj1, xj2, ... , Ijm e portare a destra i termini che si trovano nelle altre colonne, assegnando alle corrispondenti incognite dei valori arbitrari che saranno comunque in numero di n - m.

Esempio 3.3.2. Verificare che il seguente sistema è normale e risolverlo.

x1-x2+2x3+2x4=1 2x1-2x2-x3+3x4=5 x1+x2-x3-x4=2 La matrice incompleta associata al sistema è la matrice

(1 -1 2 2 3 . A= 2 -2 -1 1 1 -1 -1 1 -1 Con facili calcoli, si trova @123,123 = 2 1 -1 2 -1 = 10 ± 0, e così si ha r(A) = 3 e il sistema 1 -2 è normale. Sappiamo inoltre che esso ammetterà 4-3 = c×1 soluzioni, cioè infinite soluzioni dipendenti da un parametro reale. Dal momento che il minore di ordine 3 non nullo individuato contiene le prime 3 colonne di A, è la quarta incognita che dobbiamo sostituire con un parametro t E R. Posto quindi x4 = t, troviamo il sistema (ottenuto portando a destra i termini corrispondenti a x4):

x1-x2+2x3=1-2t 2x1-2x2-x3 = 5-3t x1+x2-x3=2+t. Trattasi di un sistema 3 × 3 nelle incognite x1, x2 e x3, la cui matrice incompleta associata è quadrata con determinante diverso da 0. Infatti, tale matrice è esattamente la matrice

/1 -1 2 -1 (2 - 2 -1 11