Evolución histórica de la geometría, UNAM

Evolución histórica de la geometría

56. Evolución histórica de la geometría vimat

Contenido

1. Contexto
2. Introducción
3. La idea de la geometría
4. La geometría en la antigüedad. Babilonia y Egipto (SXX-V aC)
5. La geometría en la antigüedad. Grecia (SVI aC)
6. Geometría en la Edad Media
7. Geometría en el Renacimiento
8. Geometría en la Época Moderna
9. Geometría en la Época Contemporánea
10. Bibliografía
11. Posibilidades de ampliación

Índice + historia + introducción: 1.5 páginas Tema: 15 páginas Posibilidades de ampliación: 2 páginas

Nota importante: como casi todos los temas históricos, hemos resumido mucho la historia de la Geometría. Su estudio completo daría para varios volúmenes, así que, si se quiere completar el tema, existen teoremas, demostraciones, autores o anécdotas de todos los tipos, que se pueden añadir al tema.

En el siguiente QR tienes unas de la Universidad Nacional Autónoma de México: UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA & MEXICO POR MI R EL ESPIRITV ZA HABI

Contexto de la geometría

1. Contexto o El tema pertenece al bloque de geometría, el bloque más extenso del temario, que son los temas comprendidos entre el 34 y el 56. Es el último tema, el tema histórico. o Este tema puede servir de introducción a cualquiera de los temas de geometría. o En el currículo, la geometría se disemina por todo el temario, tanto en la ESO como en Bachillerato. La perspectiva historia de las matemáticas sirve no solo para entender la materia, sino para trabajar las competencias culturales, sociales, etc, en tanto que las matemáticas han sido y son uno de los mayores logros intelectuales colectivos del ser humano. www.vimat.info Revisado: 31/08/2023 1 @VConce56. Evolución histórica de la geometría vimat

Introducción a la geometría

2. Introducción En este tema no proponemos ninguna introducción en particular, dado que es un tema histórico. Pueden mencionarse aquí tanto los objetivos del tema, como un breve resumen de los puntos que se van a tratar. Estos puntos tienen que pasar forzosamente por algunos hitos importantes, como la geometría griega, la unión de la geometría y las ciencias naturales, y la evolución de la geometría hasta la geometría diferencial actual, entre otros.

La idea de la geometría

3. La idea de la geometría La etimología de la palabra "geometría" viene del griego, "geo", yw (tierra) y "metría", uEtpwia (medida). Aunque originalmente la geometría se ocupaba de las figuras planas, como los triángulos (como en el tratado Timeo, de Platón), o los cuadriláteros, esta ha ido evolucionando a lo largo de los años, conectando diferentes ramas de las matemáticas y de otras especialidades. Por ejemplo, la geometría descriptiva es la base del actual dibujo técnico, que conecta la arquitectura, el arte, etc, con las matemáticas, pero la geometría diferencial, relativamente reciente, establece conexiones entre la geometría y el álgebra o el análisis. Esta El ejercicio de la geometría es puramente abstracto, en tanto que, en la práctica, solo podemos realizar representaciones de los elementos geométricos. Por ejemplo, entendemos el concepto de punto, pero cualquier punto que podamos dibujar, no dejaría de ser, a lo sumo, un círculo. En este sentido, un punto sería, como afirmaba Platón, algo ideal, que vive en el mundo de las ideas, del que en la práctica realizamos copias imperfectas.

Por supuesto, no podemos dejar de mencionar las relaciones y aplicaciones existentes entre la geometría y la física. Sin ir más lejos, toda la Teoría de la Relatividad General de Einstein, que describe lo solo el comportamiento de los grandes cuerpos como las estrellas, sino el movimiento de algo menos tangible, como la luz, es una teoría enteramente geométrica, que bebe de conceptos relativos al análisis, álgebra, topología, etc.

De igual forma, podemos conectar la geometría fácilmente con la geografía (por ejemplo, mediante la cartografía), la astronomía, o incluso con teorías más complejas como la teoría de campos o la física cuántica.

Y es que, como atestiguaban los eruditos en la antigüedad, todo es geometría.

Geometría en la antigüedad: Babilonia y Egipto (SXX-V aC)

4. La geometría en la antigüedad. Babilonia y Egipto (SXX-V aC) Como en otras tantas ramas de las matemáticas, resulta muy complicado establecer cuando el ser humano empezó a preocuparse por la geometría. A fin de cuentas, el propio cerebro trabaja constantemente con geometría (no hay más que analizar la necesidad de utilizar dos ojos o dos oídos para la perspectiva). Pero más atrás, para la fabricación tanto de estructuras (casas o puentes), como en el propio arte, conceptos como el plano, las simetrías, las rectas o las distancias siempre han tenido un papel preponderante en la vida cotidiana. 2 www.vimat.info Revisado: 31/08/2023 @VConce56. Evolución histórica de la geometría vimat

Geometría en Mesopotamia y Egipto

Mesopotamia (tierra entre ríos, en griego), fue la cuna de la civilización y, como tal, los primeros escritos sobre matemáticas, y sobre geometría en particular, se remontan a los siglos XX a V a.C. en esta tierra, especialmente en Babilonia. Por otro lado, la cultura egipcia, en la misma época, también produjo numerosos resultados. Podemos establecer los primeros estudios rigurosos sobre geometría, con el cálculo del área y volumen de algunas figuras planas y tridimensionales, entre estas dos tierras. Por ejemplo, medían la circunferencia de un círculo como tres veces el diámetro, y el área como la doceava parte del cuadrado circunscrito en ella, en una primera aproximación del número pi. Lo mismo ocurría con los volúmenes de revolución, como el cilindro. Estudios actuales muestran como los babilonios llegaban a aproximar T ~ 3 + = = 3.25. A su vez, existen referencias sobre cuestiones tales como la semejanza, muchas de ellas relacionadas a su vez con la astronomía. Pero no solo utilizaban estos conceptos para las figuras planas y espaciales, sino que se les atribuyen descubrimientos como que el ángulo inscrito en una circunferencia es recto, o una de las primeras demostraciones geométricas para el cuadrado de la suma:

a b b a2 a a.b a b2 b a b a2 a.b a (a+b)2=a2+2ab+b2 b b2 a.b A (Fuente: https://www.geogebra.org/m/cevpedu5)

Cada vez que el Nilo se desbordaba en Egipto, había que volver a rehacer los campos de cada agricultor. Para ello, era necesario la medición de ángulos rectos, para que no se desviasen respecto a la orilla los márgenes de las parcelas. Los egipcios todavía no poseían el teorema de Pitágoras (aunque posiblemente, este lo dedujo de ellos), pero sí sabían que una cuerda con doce nudos, al estirarla, formaba un triángulo rectángulo: AM 3 www.vimat.info Revisado: 31/08/2023 @VConce56. Evolución histórica de la geometría vimat

Papiro de Ahmes y Heródoto

Tenemos referencias también del papiro de Ahmes (o papiro matemático de Rhind, por su descubridor), que dta del 1700 aC, una obra didáctica con 87 problemas matemáticos. Entre ellos, los problemas del 41 al 46, y del 56 al 60, tratan sobre volúmenes y poliedros, mientras que del 48 al 55, sobre áreas de figuras planas.

401.113 3115

Según afirmaba Heródoto, los egipcios fueron los padres de la geometría, considerando en particular las grandes construcciones que llevaron a cabo. Sin embargo, el desarrollo geométrico de los egipcios es meramente descriptivo, sin rigurosidad ni demostraciones formales.

Geometría en la antigüedad: Grecia (SVI aC)

5. La geometría en la antigüedad. Grecia (SVI aC) Los geómetras helenos (Grecia, SIV aC), tomaron muchos de sus conocimientos de los babilonios y egipcios. Fueron los primeros en ser capaces de pasar de los casos particulares a los casos generales. No obstante, se atribuye a Thales de Mileto (630aC-545aC) el mérito de establecer rigurosamente las primeras demostraciones matemáticas, como aquella que lleva su nombre. No en vano fue uno de los siete sabios de la antigüedad, destacando en filosofía y en matemáticas. No obstante, en Mesopotamia ya conocían y usaban este y otros teoremas, aunque sin darles forma como los geómetras griegos. Se le atribuyen demostraciones geométricas utilizando el razonamiento lógico, y fundó la geometría como una ciencia en base a axiomas y proposiciones abstractas.

Teorema de Thales

Fue a través del teorema que lleva su nombre, que mediante un bastón, Thales fue capaz de calcular la altura de las pirámides de Egipto, aprovechando la sombra del sol en el suelo.

Teorema de Thales: dadas tres o más rectas paralelas, cortadas por dos rectas transversales, cortan a estas en segmentos proporcionales.

Demostración del Teorema de Thales

0 S U A E B F C G D H V Sea el punto O la intersección de las rectas transversales r1 y r2, y sean las rectas Sk las rectas paralelas, con k = 1,2 ... Los triángulos OAE, OBF, etc tienen en común dos lados y el punto O, es decir, tienen en común el ángulo relativo al punto O. A su vez, los ángulos en A, B, C, etc, así como los ángulos en E, F, G, etc, también son iguales. Por tanto, por el criterio de semejanza, los triángulos son semejantes, lo que significa que los segmentos que forman son proporcionales:

OA OB AE - OF - ...

Demostración 2 del Teorema de Thales (esquemas sacados de edu.xunta.gal)

Dada la siguiente configuración:

O A' A B' h1 B O A A B' h2 B Las áreas de los triángulos AB'B y A' B'B son:

AB . h1 AAB'B = 2 AA'B'B = 2 Y son evidentemente iguales. El área de los triángulos OB'A y OA'B son:

OA . h1 OA' . h2 AOB'A = 2 AOA'B = - 2 Que también son iguales. Por tanto, formamos las siguientes igualdades, y dividimos las expresiones:

AB . h1 2 A'B' . h2 2 2 2 AB 11 OA A'B' OA . h1 OA' . h2 OA' Que es justo lo que queríamos demostrar.

Para calcular la altura de la pirámide, Thales usó el siguiente esquema (imagen tomada de matematicascercanas.com).

www.vimat.info Revisado: 31/08/2023 @VConce 56. Evolución histórica de la geometría 5 A'B' . h256. Evolución histórica de la geometría vimat

x bastón Sombra de la pirámide Sombra del bastón

Pitágoras de Samos y su teorema

El siguiente matemático que debemos considerar es Pitágoras de Samos (582aC- 500aC), considerado el primer "matemático puro", por la calidad y rigurosidad de sus apreciaciones. Se cree que fue discípulo de Thales. La filosofía y las matemáticas convergían de manera natural en sus razonamientos lógicos. Fue el fundador de la Escuela Pitagórica, interesada en el conocimiento hasta el punto que de ella surgieron influencias poderosas en otros personajes históricos como Platón o Aristóteles. Además de su famoso teorema (que posiblemente surgió de otro miembro de su escuela, pues los descubrimientos de sus miembros convergían en su maestro), trabajó en sólidos perfectos, triángulos, cuadriláteros, o el "Tetraktys", que es una figura triangular que cobró especial relevancia para su escuela, hasta el punto que se realizaban juramentos sobre ella. V

Teorema de Pitágoras: dado un triángulo rectángulo, de catetos a y b, e hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto), h, se cumple que:

h2 = a2 + b2

Demostración del Teorema de Pitágoras

Demostración: dado el triángulo:

A a b c B h 90° ₿ c E n E a www.vimat.info Revisado: 31/08/2023 B 6 @VConce