Appunti di Geometria affine per l'Università

Geometria affine

Spazio affine

Uno spazio affine HA è il dato di:

) uno spazio vettoriale V 2) Un insieme S che chiameremo insieme dei punti di /A 3) Who nuova operazione:

,a (punto) v (vettore) P(punto) Una operazione (Pv) -Q punto ? vettore 1 punto Si scriverà Q=P+V - somto "punto" +"Vettore" Si scriverò anche V= Q-P - differenza tra due punti, il risultato è un vettore V=Q-P

Esempio di spazio affine

V= R$ (spazio velt.) S= IR" (insieme di punti) vettore NJ= (a1, a2, ., an) EIR" sono entrambe delle coordinate di uno spazio punto P= (pr,pa,., pn) EIRh Operazione (P,v) -Q a1 22 Pita. Pz+dz . Ph ponton

Esempio in R2

P= (p, p3) v= (2, 2) Q= q1 = pat de (92=p2+2) e così lo porti in tutte le dimensioni Q 9/2 Patda - Q= P+v= p2+22 Pz pi a1 1 1 1 pyvicevasa Posso trovare un vettore che collega due punti Q= (q1, q2) P=(p1,p2) V= Q-P=(q :- p2)

Spazio affine standard

Spazio affine standard /A" è costituito da 11"(vettori), IPh (punti)

Rette in uno spazio affine

servono 2 punti o dare 1 punto e un vettore per determinare una retta basta dare un punto Pe un vettore vo

Vettore direttore

è il vettore o che indica la direzione della retta

Determinare la retta

XER X= P+1v, DEIR L'equazione parametrica della retta 2 (sul parametro ) Questo vale per qualsiasi dimensione , retto z P: Pz v= 22 ah X= X 2 JEIR X=P+dv=> X = p+han X2 = P2+ Naz .... Mh= Pz + dan da questo sistema si possono trovare le equazioni cartesiane L'equazione cartesiano é basta ricavare una À da una delle eq. e sostituire il valore trovo nelle altre en. Semplicemente quella che non dipende da un parametro

Esempio: Retta nel piano (R)

P=(2), v=(2), x=(x)=() X2=41 po 5 x = putdas [% =parmaz parametriche di 2 x=xx y Z 1= x-p. (se v non è nullo) - non ha senso dividere por o + p2+ (2) a= = P2+ 3 2 v/00,3) S az x + 2. trovi tipo y = mx + q

Esempio: retta nella retta 3d

x= pathan dr Ka-Pr (sedit) 1: Z=p2 + das Segnazione di i grado equazioni cartesime L'equazione di 1º grado

Piani nello spazio affine

Servono 2 vettori e 1 punto u=duxuw X= P+u p da cui X= P+dv + Na (x,1) Equazione parametrica di un soltospazio affine In generale dato un punto P e dati dei vettori VI, V ..... , Un posso scrivere l'equazione (D. (R) X=P+di vi+2 V2+. . . + 2 Un è il sottospazio generato dai vettori va, Vz, ... Va À è un sottospazio vettoriale di dim 1 s é un sottospazio affine ovvero che non passa necessariamente per l'origine

Sottospazio affine

In generale un sottospazio affine è del tipo: P + U punto soblospazio vettoriale - p/1,1,1) = Piaz Pz - 21 x y= pz+ haz

Esempio per trovare equazioni cartesiane di un piano in A3

Intersezione di due piani - prato TY fax+by+cz+d=0 1: { ax +by+cz+d=0 ~piano " Intesecando le ey. art. di due sottospazi affini (in realtà anche vettoriali) trovi un sottospazio affine (o vettoriale) che rispetta tutte le eq. cartesiane contemporaneamente Trovo l'intersezione tra due piani

Punto medio

non ha senso ma funziona Q à M= P+1v = pta - han ha senso sontare

Distanza tra due punti

Dati due punti Pe Q .a dist (P,Q) = llull= vvv V = Q- P

Distanza tra un punto e un sottospazio affine

P dist (P, g)= dist (P,H) dove HEL è il punto tale che il vettore PH sia ortogonale I è detta la proiezione ortogonale di P su 2 IL passa per il punto Q ed è generato da vi, Vz, ... , Tn P W = X - P 02 L PI H 75- Q w . Vn = 0 X=Q+1 v1+1=VE+ +Mva - generico punto del sottospazio a hoi serve che X= H quindi che X sia ortogonale a L w=X-P=(Q-P)+1.v.+.+12v2 distanza di P da un punto generico. dobbiamo fare si che w sia ortogonale FW.V1=0 risolvi nelle incognite M. d., de Ora H=Q+Mv+. +Iva e dist (P,2)= dist (P,H)= P-H due punti

Lezione 40

Esercizio in A3

P= (1,2,-1) Sia la retta e passante por Q= (0,3,2) e parallela al vettore v=(2,-1,-2) 1) Calcola la proiezione ortogonale di Psu 4 2) Calcola la distanza di P da 2 X = Q+Mv w= x-P=(Q-P)+1v 2. 2 = 0 =>(Q-P)+1.v) . v=0 /01 1 2 + -1 -2W/ (1)+ N -14 ( 3-211 -1 +2m 1 - M1 3-24 - 2 2 - 1 =0 =>2(-1+2h)- (1-da)-2(3-2/4) =0 - 2 +ac- 1 + dn - 6 + h\n = 0 -9+9/1=0 94=9 1 .=== 1 Haproiezione ortogonale di P) 1 0 3 2 -2 0 dist (P,z)=dist (P,H)=|P-H|= (2) -2 H ·) -1 Call 11 11+0+1=12

Esercizio con rette in A4

A P V1 Sia e la retta (3,1,1,3)+<(1,1, 2,2) Sia A la retta (0,4,1,-3)+c(-1,2,1,-2)> 2) Stabilire se le tette sono parallele, incidenti o sgnembe Verifico se sono parallele 121-2) 1122 / + ++ 10 122) 330 i due vettori sono Il quindi le tette non sono parallele X=P+dvr X=Q+AND 12 -1 2 2 +1 2 - -1+ 2ds - = 1-M 3 21+1 5 X1 = 3+d ×2 = x= = X4 = S X1= - M X2= 4+2h x3= 1+ M Xu = - 3-2 ML rns d =- 1+a-6-2d = d =- 1 1 C u =- 2 1 =- 1 (+2) =x1-3-d => d =- 1 3+2×=3+6+2× =6=6 1 Per day si ottiene il punto (2,0,-1,1)=Q=2ns b) Trovare le ey cartesiane del piano IT che contiene n es x= Q+ div1 + 10 00 +1 = 2 + da -da x1-2 +3 = d . 5 +2=x1-2+ds+2da => X2=x1-2+3ds = ds= x2-x1 +2 . X3 =- 1+2x1-4+2ds +3 => x3 = - 5+2×1 +3ds => ×3= b +2x1 +x2-x1+2 => X3 = - 3+x1 +X2 X4= 1+2x -4 +2x3-20g => x4 =- 3+2x4 => X4 = - 3+2x1 P w = X - P 02 XX L X=Q+2 Vn + BUS w= Q-P+2vz+ BVD 2 0 / 5 6 +2 + B 1 0 -1 4 1-3 -6 -2 2 22 2d 2 + - 1 3 + W. VL = 0 5 w. V = 0 -3+2-B 2 B -6+2+2B 1+22+B = 3+2 2-2B (3+2-B)-6+d+2B+2 (-1+2+B)+2(3+22-2B)=0 +3-2+B+2-6+2+2 )-1+22+B-2(3+2-2})=0 - (-3+2-B-6+2+2B-2+42+2B+6+42-x$=0 5 -B+102-5 =0 2 =108-16 B-2+B-12+2x+3 -1+x+B-6-xx + + B = 0 108-2-16=0 $ -B+10(10 -16)-S=0 2 3 H 5,- Q -1 1 1 2 - 2 2 - B - 2 B - 2 - ん : 1+2h 3+2d 3+d= - Ml 1+ b=4+2 u 1+2d= 1+h 3+21 =- 3-2/ M =- 3-1 X2 = 0 + dr + 2ds X3= - 1 +2de + das Xu = 1 +21h -2db J c) Determinare la proiezione ortogonale del punto P= (5,6,0,-2) Sul piano t5 165 35 - 3 99 NIM 2 2+ 를 를 N/M + 를 +1 = - -3+4+5 2 -1 4

Esercizio con retta in A3

Sia n la tetta in /A3 di equazioni X-Y+22-2=0 2: 2X + 4+32 - 1=0 Trovare un vettore vn=B-A- devi trovare aquati che appartengono alla retta e poi sottorarli 5 Z= 0 X-7 - 2 = 0 => y=x-2 => y =- 1 A= (1,-1,0) L 2x+4- 1=0 2x+x- 2-1 = 0 => x= 1 (x=0 J-4+22-2=0=>4=22-2=> == ==== =-== 6-10=> C=(0,-5,2) 4 + 3 7 - 1 = 0 - 2 7 + 3 2 - 2 - 1 = = = > 52 - 3 = = = === L S y=0 x+27-2=0=x= - 22+2 =>X=4 B(-4,0,3) 2 X + 3 Z - 1 = 0 = - 4 Z + 4 + 3Z - 1 = 0 = -= +3=0 => Z=3

Determinare un vettore ortogonale di un sottospazio affine (CASO PARTICOLARE)

Dato uno spazio affine /A" e un sottospazio U che ha una sola equazione cartesiana e di conseguenza dim (U)= n-1 U: a.x1+2X2+ ... +2,x +d=0 il vettore v=(21,22., an) è ortogonale al sottospazio U 6+2-5 3 H=Q+ 를 ~+ 들 까 = 2 + 2 3 1 11 1 1 - 2 2 2/ 1+1+1 = 1+ 늘 - 을 3 + 5 3 -1 998-165=0 => p =- S 2=3-16=50-48 3 2=108-16 1-B+10(10B-16) -5=0 1 3+4-10 3

Determinare la distanza tra un sottospazio e un punto (CASO PARTICOLARE)

Siamo sempre nel caso in cui il sottospazio ha una sola equazione cartesiana Viaxita2x2 + ... +bhxh+d quindi sitas il vettore ortogonale vx(do, de, . .. , an) quindi ha dimensione h-1. L'equazione della retta a ortogonale a Ue passante per il punto P è X=P+1v Stiamo cercando il punto II OH 2 x1 =P+ das X2=P2+> 22 xi = prt dan 4= pathan X2= P2 +daz la soluzione da il punto H (hai In coordinate +À e hai xeq. +1 del piano) H=rnU x=prtdan ankit ... talxa+d=0 per comodità lavora sullaultima eq in questo modo 2. (pr+dan)+az (pathaz)+. +an (phthan)+d=0 a, Pat.+anp+d) + (2+.+ 2) =0 I =_ IP. + ... + ah Ah +d a2+ ... + az questo valore di li fornisce HI dist (PU)=dist(PH)=\\H-Pl1=| P+T-p\=11 Soll =11- &p + ... duph -. vll = um= dist ( P . U ) lapit.+anin+dl a.2 + ... +2; Va2 + ... +a2

Esempio in A2

P=(3,-5) U: 2X _ X3 + 3 = 0 velbare ortogonale a U.v= (2,-1) H=P+Tv 1 :- (2.3) +5 + 3 1 = 14 2+ (-1)2 S dist (P, U)= 6+5+3 14 = V5 V 5

Esempio in A3

P= (2,-1,3) ( piano nello spazio Y : 2X+2X2 + X3 -5 = 0 dist (PT)= 4 -2+3-5 CI 0 V 4+ 4+1

Lezione 41

Fascio di piani in A3

·TT r: - dix2+2×2 +23'X3+d"= 0 +d) +22 (21x+ 2 +2+23 ×3+d) =0 - rappresenta un piano che contiene la retta Se i piani Ti e IT sono tra loro paralleli allora tutti i fasci del piano sono paralleli e si ottiene un fascio di piani parallel .

Esempio: Piano contenente retta e punto

in A3 sià la retta 2: 53x-Y+z-1=0 X- 32+2= 0 Sia P= (3,1,-2) determina l'equazione del piano che contiene la retta r e il punto P Procedimento senza fasio di rette B Scelgo 2 punti a caso della retta (fisso una x e una 2 ad esempio) trovo i vettori v e rt P+V=B> V= B-P P+W=A= W= A-P ord X= P+ d,w + 12v imposto il sistema e passo alle cartesiano Con il fascio di piano - Scrivo l'ey. del fasio di piani dela retta 2 2 3x-y+2-1) +B X-3Z+2 =0 Sostituisco Prelley. 5 2/9-1-2-1 +B 11 3+6+2 ) == = > 2 =- 11ª V A .Ppongo B=5 - d =- 11 adesso -11 3x-4+2-1) + 5 ) X-37+2 =0 è l'equazione del piano

Prodotto vettoriale di due vettori

Vale solo in dimensione 3 ML, VEIRS w= uxv è il vettore ortogonale a le a v. kw Il wll=lluxo|=llull.llull.sin (2) V 2 Il verso di nu è det. dalla "regola della mano destra" h= llull sind h 12 u luxvll=llull.llull sin2 = Area del parallelogramma h Quindi luxvill è l'area del parallelogramma che formano we v u= (an, a, a3) v= (b1, b2, b3) an az as 2. Ta2 as 24 /2/2 /23 by D2 43 1/1 b2 B3 b1|2|b3 det = dnb2- 22h det = 2 b3 -d3 b2 det = d3 b1-2 b3 coord 3 coord 2 coord 1 uxv=(22b3-d3b2, a3by-a,b3, a,b2-a,b1)

Esempio in A3

Sia « la retta :(4,7,-1)+c (1,2,-1), Vz Sia TY il piano di equazione NY: 2x-y+3 =- 4=0 × ×2 X3 1) Det. il punto di intersezione tra n e T n: X= P+Iva *= 4+ ג 2: x2=7+2X1-8 = X2= 2×1 -1 X3 =- 1-2 X3 =- 1-X1+4 = x3 =- 14+3 1 2 X2= 2×1-1 x3 =- X1+3 ×3 =- X1+3 = X3=1 A=MATT= 3 1 2x - X2 + 3X3 - 4 = 0 3km-2×1+1-3x+y-4=0 =x=6 2 3 2) Det. la retta s contenuta nel piano " passante por A e ortogonale an W=(X, x3) S w.V=0 2×1-X2+3X3-4=0 2×1-X2+3X3=0 X2= 2X1+3X3 - 1 X2= 1 s: (2,3,1)+c (1,-1,1)>

Esempio in A4

1: (1,1,-2) + c(2,-1,3)> A P= (5,1.1) Potremmo procedere al solito modo: Calcolare dist (P,z) =h P -X= A++un punto generico di a - 2=X-P vettore generico che collega 1 ap · V. Vn=0 e dovrei trovare A che messo in X= A+hva mi da la proiezione ortogonale H - dist (P,z)=|H-P11 Iv. xml= Area del parallelogramma - - Base . Altezza th . 11 well quindi Il VAxWUll -h II vall fisso xi= 1 x1+2X2-X3 = 0 S 5×1+5x3=0 = $x1 =- 8×3 =>X1 =- X3 $ X3 = - 1 1) A =P.A=($)-(1)=(%) X2 =2x4-1 => X2=3